帶阻尼項(xiàng)的g-Navier-Stokes方程的全局吸引子

劉文婧，姜金平，熊坤翠

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

(1)

其中g(shù)=g(x1,x2)是定義在(x1,x2)?Ω上的合適的光滑實(shí)值函數(shù)，滿足00是兩個(gè)常數(shù)，u和p表示速度和壓力。如果c=0，g(x1,x2)=1，則方程為通常的二維Navier-Stokes方程。

ROH于2001年提出了二維g-Navier-Stokes(g-N-S)方程后[1]，g-N-S方程被學(xué)者廣泛研究，當(dāng)下已有一些研究成果[2-9]，但g-N-S方程加入非線性阻尼項(xiàng)時(shí)，它的長(zhǎng)時(shí)間行為尚無(wú)結(jié)果，本文通過(guò)驗(yàn)證解半群存在有界吸收集和滿足漸近緊性建立含非線性阻尼項(xiàng)的g-N-S方程的全局吸引子的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[10-12]若{S(t)}t≥0為Banach空間X上的半群。當(dāng)集合∈X且具有性質(zhì)：

引理1.1[13](Gronwall’s Inequality)令x(t)∈R滿足不等式，

則，

引理1.2[14](Gagliardo-Nirenberg Inequality)令Ω=Rn或Ω?Rn為帶有光滑邊界?Ω的一個(gè)有界域，u∈Lq(Ω)，Dmu∈Lr(Ω)，1≤q，r≤∞，則存在一個(gè)常量c使得，

其中，

c依賴于n,m,j,a,q,r。

設(shè)R2上具有緊支集的C∞函數(shù)的集合為D(R2)，令，

D={v∈(D(R2))2;▽·gv=0,?v∈R2}。

D(A)=(L2(g))2∩Vg

定義一個(gè)g-Laplacian算子：

利用上式將方程(1)寫作如下形式：

(1.1)

若將g-正交投影Pg:L2(g)→Hg作用于式(1.1)上，則可得方程(1.3)，設(shè)f∈Vg，u0∈Hg，u∈L∞(0,T;Hg)∩L2(0,T;Vg),T>0

(1.2)

使得，對(duì)?t>0，

(1.3)

其中，bg:Vg×Vg×Vg→R滿足，

(1.4)

則式(1.3)與(1.5)等價(jià)。

(1.5)

〈Agu,v〉=((u,v)),?u,v∈Vg

(1.6)

(1.7)

2 解和吸收集的存在性

命題2.1若f∈L2(g)，u0(x)∈Hg，則方程(1.1)一定存在唯一的解，

u(x,t)∈L∞(R+;Hg)∩L2(0,T;Vg∩C(R+;Hg)(?T>0)，使得式(1.3)成立。

證明證明過(guò)程類似于ROH[2]定理3.1。下面證明吸收集的存在性。

故由 (1.5)

因bg(u,u,u)=0,?u,v∈Vg,故有，

(2.1)

則，

因此，

(2.2)

利用引理1.1，得，

(2.3)

在[0，t]積分得，

(2.4)

由命題2.1，可在Hg中定義一個(gè)連續(xù)半群{S(t)}t≥0,使得，

S(t)u0=u(t),t>0

其中，u(t)是滿足u(0)=u0∈Hg的(2.3)的解，此外，由式(2.3)可得，

(2.5)

是半群在Hg中的吸收集。

定理2.1{S(t)}t≥0為完備度量空間X上的連續(xù)半群。

證明證明過(guò)程與文獻(xiàn)[6]命題2.2類似。

命題2.2假設(shè)u0∈V,f∈H，則存在一個(gè)常量ρ1和時(shí)間t1使得，

|Agu(t)|2≤ρ1，對(duì)于t≥t1

證明由(1.5)1，應(yīng)用Minkowski不等式，有，

μ|Agu|2≤|ut|2+|B(u)|2+c|uβu|2+|f|2+μ|Ru|2

(2.6)

由[13]

因此

(2.7)

應(yīng)用引理1.2得，

=c1。

(2.8)

由(2.6) (2.7) (2.8)得，

≤c2。

對(duì)于t≥t1。

故存在一個(gè)正常量ρ1，使得，

|Agu(t)|2≤ρ1，對(duì)于t≥t1。

命題2.3假設(shè)u0∈V,f∈H，則存在常量I1,ρ2和時(shí)間t1使得，

|ut(s)|≤ρ2，對(duì)于t≥t2

證明過(guò)程參照命題2.2和文獻(xiàn)[16]中命題6。

3 半群的緊性

引理3.1[15]令X是一個(gè)完備度量空間，{S(t)}t≥0是上X的連續(xù)半群，則{S(t)}t≥0在X上有一個(gè)全局吸引子當(dāng)且僅當(dāng)，

(1){S(t)}t≥0在X中存在有界吸收集；

(2){S(t)}t≥0在X上是漸近緊的。

證明由定理2.1，{S(t)}t≥0是連續(xù)半群，因?yàn)樵?3.5)式中定義的B是吸收集，我們只需要證明半群的漸近緊性，令un(t)=S(t)u0n，wn(tn)=

則由(2.5)有，

μAgun(tn)=f-wn(tn)-B(un(tn))-G(un(tn))-μR(un(tn))

(3.1)

由命題2.2和命題2.3得存在T>0，對(duì)所有tn≥T的

(3.2)

因?yàn)閠n→∞，存在一個(gè)N>0使得t≥T對(duì)所有的n≥N。

因此由(3.2)，有，

|Aun(tn)|2≤ρ1

(3.3)

由Aubin-lions引理得，存在w∈Vg，v∈D(A)使得，

wn(tn)在Hg中強(qiáng)收斂到w。

(3.4)

un(tn)在Vg中強(qiáng)收斂到v。

(3.5)

由[16]

‖un(tn)‖∞≤c,?n≥N

因此由(3.5)，有，

則G(un(tn))在H中強(qiáng)收斂到G(v)。

(3.6)

由[16]得B(un(tn))在H中強(qiáng)收斂到B(v)。

(3.7)

?v∈Vg,00

cT‖v‖(un(tn)-v)1/2。

其中cT>0是獨(dú)立于n的正常數(shù)，則對(duì)v=R(un(tn))-R(v)，一定有，

cT(un(tn)-v)1/2‖R(un(tn))-R(v)‖；

則由(3.5)可得出R(un(tn))強(qiáng)收斂到R(v)。

(3.8)

則由(3.4) (3.6) (3.7) (3.8)得μAgun(tn)→f-w-G(v)+B(v)-μRu(v),n→∞。

這說(shuō)明半群{S(tn)un}在Hg中是相對(duì)緊的，因此，{S(t)}t≥0在Hg中滿足漸近緊性。因{S(t)}t≥0在Hg中存在有界吸收集B,故證明了全局吸引子的存在性。

4 結(jié)論