端部參數(shù)激勵(lì)下水中懸浮隧道錨索振動(dòng)響應(yīng)分析

王金龍 巫志文

作者簡(jiǎn)介：

王金龍（1988—），工程師，從事橋梁隧道施工管理工作;

巫志文（1984—），博士，講師，從事海洋橋梁隧道工程研究工作。

文章通過(guò)建立參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)理論模型進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真計(jì)算，研究了端部參數(shù)激勵(lì)下水中懸浮隧道錨索的振動(dòng)響應(yīng)，并對(duì)不同阻尼比、垂度、錨索長(zhǎng)度、水流速度、傾斜角度、管體重浮比等關(guān)鍵敏感性參數(shù)對(duì)錨索的振動(dòng)響應(yīng)影響作用進(jìn)行分析，主要得到以下結(jié)論：在相同錨索長(zhǎng)度、垂度的情況下，阻尼比越小，錨索中跨位移均方根值越大;隨著錨索長(zhǎng)度、垂度的增加，錨索中跨位移均方根值也越來(lái)越大;隨著水流速度的不斷增加，錨索中跨位移均方根值呈現(xiàn)出先增大后減小，并最終趨于平穩(wěn)的狀態(tài);隨著傾斜角度的不斷增加，錨索中跨位移也隨之不斷增加，這表明選擇合適的傾斜角度對(duì)于控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)也很重要;在實(shí)際錨泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過(guò)增加預(yù)張力的方式來(lái)控制錨索的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，但增加預(yù)張力會(huì)導(dǎo)致錨索固有頻率的改變，使結(jié)構(gòu)共振頻率比增加，導(dǎo)致其疲勞屈服損傷加深。

懸浮隧道;錨索;參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)

U459A351195

0 引言

隨著現(xiàn)代科技與社會(huì)的發(fā)展，生產(chǎn)和生活水平的提高，人們?cè)絹?lái)越渴望更加高效、便捷的交通方式，正是這樣的需求促進(jìn)著懸浮隧道等新型交通設(shè)施的提出和研究。

水中懸浮隧道，學(xué)名Submerged floating tunnel（SFT），是依據(jù)阿基米德原理（hydrostatic thrust）采用靜壓推力構(gòu)思出來(lái)的新穎的交通結(jié)構(gòu)[1]，以隧道的形式穿越大型深水域，因此更廣泛使用的名字是阿基米德橋。它的主體是滿足公路及鐵道交通要求的管狀結(jié)構(gòu)，由海床上的錨固系統(tǒng)或水上浮箱等方式加以固定，懸浮在水中一定深度，與兩岸的建筑結(jié)構(gòu)相連接，受自身重力、水體浮力和支撐結(jié)構(gòu)的錨固力來(lái)穩(wěn)定在構(gòu)筑位置上。

根據(jù)目前的研究設(shè)計(jì)，懸浮隧道最有可能采取的是墩柱式、錨固式這兩種支撐體系。關(guān)于這兩種體系的相關(guān)分析，學(xué)者[2-5]在結(jié)合了波浪、海流、地震等因素以及其他環(huán)境作用下，研究了它們的穩(wěn)定性和相應(yīng)的承載力。比較重要的因素是環(huán)境動(dòng)荷載作用，因此國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者在這方面的研究也更為廣泛。

P.Fogazzi和F.Perotti[6]嘗試建立墨西拿海峽水中懸浮隧道的有限元模型，由于存在變化的軸力作用，需要研究錨索單元的橫向振動(dòng)，并將實(shí)際應(yīng)用中的錨固系統(tǒng)模型化，視為兩個(gè)桿件面積和柔度都相等的5個(gè)自由度的平面鉸接桿單元。為了得到該單元?jiǎng)偠染仃囘€需要一些其他假設(shè)：可忽略轉(zhuǎn)動(dòng)及橫向位移;軸向變形足夠小，并且不沿桿長(zhǎng)改變，是關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的一個(gè)二次函數(shù);材料是彈性的。為了完善模型，在桿件單元底部的數(shù)值和水平方向分別設(shè)了兩個(gè)彈簧和兩個(gè)平行于彈簧的線性阻尼。雖然其地震激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果不足以配合工程要求，但仍非常具有參考意義。

麥繼婷等[7]采取了另一種簡(jiǎn)化方式，為計(jì)算參數(shù)激勵(lì)頻率對(duì)張力腿一階渦激動(dòng)力響應(yīng)的影響，將張力腿簡(jiǎn)化為豎向簡(jiǎn)支梁有如下假設(shè)：張力沿錨桿方向的變化很小;將參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的頻率視為與車輛響應(yīng)頻率相同;以流向?yàn)閤軸正方向。在此假設(shè)下應(yīng)用渦激振動(dòng)方程，考慮非線性流體阻尼、參數(shù)激勵(lì)，結(jié)合伽遼金法、數(shù)值積分法，可以達(dá)到計(jì)算目的。

秦銀剛[8]等最先使用Lyapunov函數(shù)計(jì)算參數(shù)激勵(lì)下張力腿穩(wěn)定性，包括振動(dòng)階次、張力腿軸向剛度、參數(shù)激勵(lì)頻率、張力腿長(zhǎng)度、初始張力大小、動(dòng)張力系數(shù)對(duì)張力腿穩(wěn)定性的影響。

懸浮隧道的振動(dòng)參數(shù)問(wèn)題一直是可行性研究的重點(diǎn)。懸浮隧道豎向的穩(wěn)定主要是靠自身的重力和錨索的拉力來(lái)平衡其浮力，而其水平方向的平衡則主要是靠斜拉錨索的拉力來(lái)平衡其所受到的波浪力和水流力，因此，錨索的穩(wěn)定問(wèn)題也就顯得越來(lái)越重要了[9]。由此，研究懸浮隧道錨索在渦激振動(dòng)下的穩(wěn)定性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

本文詳細(xì)研究了端部參數(shù)激勵(lì)下水中懸浮隧道錨索振動(dòng)分析，通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真計(jì)算，對(duì)不同阻尼比、垂度、錨索長(zhǎng)度、水流速度、傾斜角度、管體重浮比等關(guān)鍵敏感性參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)影響作用進(jìn)行深入研究。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 建立參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)理論模型

根據(jù)實(shí)際錨索設(shè)計(jì)，建立如圖1所示的坐標(biāo)系。

錨索端部激勵(lì)方程：

Z=ZccosωTt（1）

式中：Zc——幅值;

ωT——頻率。

此外有以下假設(shè)：不考慮錨索的抗彎剛度;考慮水體附加慣性力以及水體阻尼力;考慮垂度。

關(guān)于垂度的討論：錨索的跨中垂度f(wàn)應(yīng)小于錨索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度L的1/8。假設(shè)錨索在初始狀態(tài)處于拋物線型，則有[10]：

x=4fzL1-zL（2）

式中：LE——靜力狀態(tài)下錨索長(zhǎng)度;

θ——傾角;

E——彈性模量;

A——橫截面積;

m——無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下單位長(zhǎng)度質(zhì)量。其中：

LE=L1+8f/L2

（3）

設(shè)靜力狀態(tài)下錨索的張力為：

T0=T0（s）（4）

式中：s——弧長(zhǎng)坐標(biāo);

u——沿錨索軸向的法線方向由靜力平衡位置開(kāi)始的位移，可以用來(lái)表示動(dòng)荷載下的動(dòng)力構(gòu)型。

由相關(guān)原理可以得到最終的錨索振動(dòng)方程：

m2ut2+Csut-ΔH2xz2-H0+ΔH2uz2=FD

（5）

ΔH=EALEZccosωTt+8fL2L0udz+12L0uz2dz

（6）

f=γfVsL2cosθ8T0（7）

式中：Cs——錨索黏性阻尼系數(shù);

FD——錨索振動(dòng)引起的水體對(duì)其的作用力;

H0——沿z向的錨索初張力。假設(shè)垂度很小，有T0≈H0，且ds≈dz;

ΔH——振動(dòng)引起的附加錨索張力;

f——錨索跨中垂度;

γf——錨索浮容重;

Vs——錨索單位長(zhǎng)度的體積。

考慮水體的附加慣性力和阻尼力時(shí)，由于錨索直徑與入射波的波長(zhǎng)相比尺度非常小，計(jì)算水體的作用力時(shí)可以應(yīng)用Morison方程。用附加慣性力和水體阻尼力之和來(lái)表示錨索橫向振動(dòng)產(chǎn)生的水體對(duì)單位長(zhǎng)度的作用力：

FD=-πD24ρWCmü-12ρWDCD||（8）

式中：ρW——水的密度;

D——錨索外直徑;

CD——拖拽力系數(shù)，取CD=0.7;

Cm——附加質(zhì)量系數(shù)，取Cm=1。

考慮到錨索的垂跨比很小，可以近似地取標(biāo)準(zhǔn)線的振動(dòng)模態(tài)：

uz，t=∑Nn=1untsinnπzL

（9）

將式代入，采用伽遼金法化簡(jiǎn)，可得：

L0Rz，tsinjπzLdz=0 j=1，2，…，∞（10）

式中：R（z，t）——留函數(shù)。

Tagata由實(shí)驗(yàn)指出，對(duì)于張緊的弦，在其端部激勵(lì)振動(dòng)中占主要部分的是基本模態(tài)，因此可將下式作為一階振動(dòng)模態(tài)的化簡(jiǎn)式：

ü+2ωsξs+ω2s+EAπ2mL2LEZccosωTtu+24fEAπmL3LEu2+ EAπ44

mL3LEu3+32fEAmL2LEπZccosωTt+2DnL·m=0（11）

其中：

Dn=12ρWDCDL0sinπzL2sgnsinπzLsinπzLdzm=m+πD24ρWCm，為單位長(zhǎng)度質(zhì)量與附加質(zhì)量之和;

ω2s=T0mπL2+512f2EAmL3LEπ2

，ωs為一階固有頻率;Cs=2mωsξs，ξs為阻尼比。

若不考慮垂度的影響，也可以得到不含垂度的振動(dòng)方程：

ü+2ωsξs+ω2s+EAπ2mL3ZccosωTtu+EAπ44mL4u3+2DnL·m=0（12）

若將式（11）與式（12）做比較可以發(fā)現(xiàn)，不考慮垂度則振動(dòng)方程中少了u2項(xiàng)和32fEAmL2LEπZccosωTt項(xiàng)。u2項(xiàng)是為了使錨索振動(dòng)偏離平衡位置，32fEAmL2LEπZccosωTt項(xiàng)表示端部激勵(lì)在振動(dòng)方程中即充當(dāng)參數(shù)激勵(lì)的作用，也充當(dāng)外部振動(dòng)荷載。

若對(duì)比錨索在空氣中的振動(dòng)方程，可得：

ü+2ωsξs+ω2s+EAπ2mL2LEZccosωTtu+24fEAπmL3LEu2+EAπ4mL3LEu3+32fEAmL2LEπZccosωTt=0（13）

這個(gè)方程可以看作是關(guān)于錨索自身質(zhì)量的部分，另一部分是水中的附加質(zhì)量，此外錨索還受阻尼力作用。計(jì)算錨索跨中垂度需要利用浮容重，因此若其他條件不變，水中的垂度會(huì)小于空氣。

1.2 方程數(shù)值解的求解

為求非線性常微分方程的數(shù)值解，考慮采用Matlab中的ode45函數(shù)。ode45函數(shù)采用的方法是4階RungeKutta算法，用5階公式做誤差估計(jì)來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，是一種自適應(yīng)步長(zhǎng)（variablestep變步長(zhǎng)）的常微分方程數(shù)值解法，也是求非剛性常微分方程數(shù)值解的首選方法。RungeKutta法是一種高精度單步算法，易于改變步長(zhǎng)，比較穩(wěn)定，在工程上應(yīng)用廣泛，但計(jì)算量較大。四階RungeKutta法精度更高，也是最為常用的一種。

由于誤差累計(jì)，Matlab中的ode45是經(jīng)過(guò)改造的，其基礎(chǔ)是經(jīng)典的4階RungeKutta公式[11]，見(jiàn)式（14）：

k1=fxi，yi

k2=fxi+12，yi+h2k1

k3=fxi+12，yi+h2k2

k4=fxi+1，yi+hk3

yi+1=yi+h6k1+2k2+2k3+k4

（14）

求解高階常微分方程時(shí)，不能直接應(yīng)用ode45求解，需先將方程化為一階常微分方程組。對(duì)于式（13），用兩個(gè)新的變量來(lái)代換u和，才可以達(dá)到這一目的。為了方便表示清晰，先將方程簡(jiǎn)化為式（15）：

ü+A+Btu2+Cu2+Du3+Et=0（15）

再分別設(shè)u1=u，u2=，可將原二階常微分方程轉(zhuǎn)化為如下一階常微分方程組，見(jiàn)式（16）：

1=u2

2=-Au2+Btu21+Cu21+Du31+Et

（16）

式（16）即成為可以由ode45求解的形式。

2 數(shù)值分析與結(jié)果

錨索端部參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)方程的計(jì)算主要通過(guò)Matlab編程實(shí)現(xiàn)，采用四階Runge-Kutta法計(jì)算式（13）的數(shù)值解。基本參數(shù)的確定是根據(jù)國(guó)外懸浮隧道設(shè)計(jì)方案中的參數(shù)來(lái)選取適當(dāng)范圍，并設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)。取標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)如表1所示。

2.1 特定參數(shù)的變化對(duì)振動(dòng)的影響

本章節(jié)通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真計(jì)算，對(duì)不同阻尼比、垂度、錨索長(zhǎng)度、水流速度、傾斜角度、管體重浮比等關(guān)鍵敏感性參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)影響作用進(jìn)行深入研究。

2.1.1 阻尼比、垂度及錨索長(zhǎng)度的影響

根據(jù)國(guó)外設(shè)計(jì)方案中的擬建數(shù)值，阻尼比取值為0.001 6。在阻尼比參數(shù)的一系列對(duì)比中，選取的變化范圍是0.001 0～0.002 2。

如圖2所示，在三種不同的阻尼比的情況下，均表現(xiàn)出當(dāng)錨索長(zhǎng)度<180 m時(shí)，錨索中跨位移均方根值保持在一個(gè)較穩(wěn)定的值，當(dāng)長(zhǎng)度超過(guò)180 m，錨索中跨位移均方根值出現(xiàn)陡增式的增長(zhǎng)。另一方面，比較不同的阻尼比可以發(fā)現(xiàn)，在相同的錨索長(zhǎng)度下，阻尼比越大，錨索中跨位移均方根值越小。

隨著錨索長(zhǎng)度地不斷增大，錨索中跨位移均方根值也在不斷增大，這說(shuō)明錨索的長(zhǎng)度對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性有著重要的影響，長(zhǎng)度超過(guò)一定限度范圍，將降低結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，并且這種對(duì)穩(wěn)定性的破壞呈現(xiàn)出指數(shù)型的增長(zhǎng)。另一方面，隨著錨索阻尼比的增大，錨索中跨位移不斷減少，說(shuō)明阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有著一定影響，并且阻尼比越大，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定。

如圖3所示，在三種不同阻尼比的情況下，隨著錨索垂度的增加，錨索中跨位移均方根值也在不斷地增大。另一方面，比較不同的阻尼比可以發(fā)現(xiàn)，在垂度相同的情況下，阻尼比越大，錨索中跨位移均方根值越小。

因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)及選取懸浮隧道錨索材料、調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)腻^索長(zhǎng)度、垂度關(guān)鍵參數(shù)，在錨索及隧體安裝阻尼器等方式增加結(jié)構(gòu)的阻尼比，從而提高懸浮隧道錨泊系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性和安全性。

2.1.2 傾斜角度的影響

如圖4的計(jì)算結(jié)果所示，隨著水流速度的增大，錨索中跨位移也有著較大的波動(dòng)。當(dāng)水流速度達(dá)到約2 m/s時(shí)，錨索動(dòng)力響應(yīng)最強(qiáng)烈，錨索中跨位移達(dá)到最大值。當(dāng)水流速度繼續(xù)增大時(shí)，錨索中跨位移則迅速減小直至穩(wěn)定狀態(tài)。另外，隨著傾斜角度的不斷增加，錨索中跨位移也隨之不斷增加，這表明選擇合適的傾斜角度對(duì)于控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)也很重要。

2.1.3 管體重浮比的影響

管體重浮比是懸浮隧道設(shè)計(jì)中一個(gè)很重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，因此有必要對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的研究。如圖5所示，隨著水流速度的增大，錨索中跨位移均方根值表現(xiàn)出先不斷增大，后逐漸減小并最終趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)。大約在水流速度為2 m/s時(shí)，錨索中跨位移達(dá)到最大值。另一方面，在相同水流速度的條件下，隨著重浮比的增加，錨索中跨位移均方根值也隨之不斷減小，這說(shuō)明重浮比也會(huì)顯著影響控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

2.1.4 預(yù)張力和頻率比的影響

如圖6所示，在三種不同預(yù)張力下，錨索中跨位移均方根值都是先增加后減小，并且隨著預(yù)張力的增大，峰值處的ωs/ω1值也在變大。對(duì)比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ωs/ω1=1時(shí)，三種預(yù)張力下其峰值大小相差不大，但當(dāng)ωs/ω1=2，預(yù)張力為T(mén)0時(shí)，其峰值明顯比預(yù)張力為1.4T0和1.8T0時(shí)的值要增大很多。

由此可見(jiàn)，在實(shí)際錨泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過(guò)增加預(yù)張力的方式來(lái)控制錨索的動(dòng)力響應(yīng)，但是務(wù)必注意的是，增加預(yù)張力會(huì)導(dǎo)致錨索固有頻率的改變，使結(jié)構(gòu)共振頻率比增加，但是會(huì)導(dǎo)致其疲勞屈服損傷加深。因而，工程設(shè)計(jì)應(yīng)同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)及屈服強(qiáng)度，利用結(jié)構(gòu)優(yōu)化控制策略來(lái)確定合理的預(yù)張力。

3 結(jié)語(yǔ)

文章詳細(xì)研究了水中懸浮隧道錨索端部參數(shù)振動(dòng)，通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真計(jì)算，對(duì)不同阻尼比、垂度、錨索長(zhǎng)度、水流速度、傾斜角度、管體重浮比等關(guān)鍵敏感性參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)影響作用進(jìn)行深入研究，主要得到以下結(jié)論：

（1）在相同錨索長(zhǎng)度、垂度的情況下，阻尼比越小，錨索中跨位移均方根值越大;隨著錨索長(zhǎng)度、垂度的增加，錨索中跨位移均方根值也越來(lái)越大。

（2）隨著水流速度的不斷增加，錨索中跨位移均方根值呈現(xiàn)出先增大后減小，并最終趨于平穩(wěn)的狀態(tài)。

（3）隨著傾斜角度的不斷增加，錨索中跨位移也隨之不斷增加，這表明選擇合適的傾斜角度對(duì)于控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)也很重要。

（4）在實(shí)際錨泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過(guò)增加預(yù)張力的方式來(lái)控制錨索的動(dòng)力響應(yīng)，但是務(wù)必注意的是，增加預(yù)張力會(huì)導(dǎo)致錨索固有頻率的改變，使結(jié)構(gòu)共振頻率比增加，但是會(huì)導(dǎo)致其疲勞屈服損傷加深。

[1]蘇志彬，孫勝男.參數(shù)激勵(lì)下水下懸浮隧道錨索的穩(wěn)定性研究[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，44（6）：2 549-2 553.

[2]董滿生，趙佳佳，牛忠榮，等.隨機(jī)地震激勵(lì)作用下水中懸浮隧道錨索的動(dòng)力響應(yīng)[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，36（1）：74-78.

[3]DONG M，MIAO G，YONG L，et al.Effect of escape device for Submerged Floating Tunnel（SFT）on hydrodynamic loads applied to SFT[J].Journal of Hydrodynamics，Ser. B，2012，24（4）：609-616.

[4]Luca Martinelli， Gianluca Barbella， Anna Feriani. A numerical procedure for simulating the multi-support seismic response of submerged floating tunnels anchored by cables[J].Engineering Structures，2011（33）：2 850-2 860.

[5]田雪飛，董滿生，逄煥平.海洋內(nèi)波和洋流聯(lián)合作用下水中懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2014，1（35）：71-79.

[6]Di Pilato M， Perotti F，F(xiàn)ogazzi P. 3D dynamic response of submerged floating tunnels under

seismic and hydrodynamic excitation[J]. Engineering structures，2008，30（1）：268-281.

[7]麥繼婷，楊顯成，關(guān)寶樹(shù).懸浮隧道和支撐結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析[J].鐵道工程學(xué)報(bào)，2009（7）：67-71.

[8]秦銀剛，周曉軍.張力腿型懸浮隧道渦激響應(yīng)影響因素分析[J].鐵道工程學(xué)報(bào)，2009（1）：77-81.

[9]陳健云，王變革，孫勝男.水流作用下懸浮隧道錨索的動(dòng)力響應(yīng)[J].工程力學(xué)，2007，24（10）：229-234.

[10]孫勝男，蘇志彬，白衛(wèi)峰.軸向激勵(lì)下懸浮隧道錨索參數(shù)振動(dòng)分析[J].工程力學(xué)，2011，6（28）：170-174.

[11]趙佳佳.地震作用下懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2013.