考慮不對中-不平衡耦合故障影響下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動抑制研究

令狐梓豪，楊 洋，葛玉梅

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031）

引言

由于材料、加工等因素的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會存在質(zhì)量不平衡、聯(lián)軸器安裝偏差等故障。據(jù)統(tǒng)計，不平衡和不對中故障占轉(zhuǎn)子故障的70%以上［1］，這些故障會引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)劇烈振動，影響設(shè)備的正常運行，嚴(yán)重時會導(dǎo)致軸系斷裂等嚴(yán)重事故［2］。傳統(tǒng)消除轉(zhuǎn)子不平衡、不對中等故障的方法主要是對轉(zhuǎn)子進(jìn)行動平衡處理，然而無論是使用動平衡機(jī)或者現(xiàn)場動平衡處理都要經(jīng)過多次啟停機(jī)和拆裝轉(zhuǎn)子才能完成，這將造成高昂的費用和大量的人力［3］。除了上述措施以外，開展有效的振動抑制策略也是提升轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行平穩(wěn)性的方法之一。

振動抑制方法主要包括主動控制和被動控制兩種。受旋轉(zhuǎn)機(jī)械運行環(huán)境以及工作轉(zhuǎn)速等因素的影響，被動控制因其不需要外界能量注入等優(yōu)勢得到了更為廣泛的應(yīng)用［4］。其中，采用動力吸振器實現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動抑制是目前關(guān)注的熱點之一。當(dāng)動力吸振器連接到主系統(tǒng)時，通過能量轉(zhuǎn)移機(jī)制，將主系統(tǒng)中的振動能量有效的傳遞到子系統(tǒng)中，進(jìn)而實現(xiàn)主系統(tǒng)（轉(zhuǎn)子系統(tǒng)）的振動抑制。當(dāng)動力吸振器連接到主系統(tǒng)時，通過能量轉(zhuǎn)移機(jī)制，將主系統(tǒng)中的振動能量有效的傳遞到子系統(tǒng)中，進(jìn)而實現(xiàn)主系統(tǒng)（轉(zhuǎn)子系統(tǒng)）的振動抑制。傳統(tǒng)的線性動力吸振器，如調(diào)諧質(zhì)量吸振器（TMD）僅能在狹窄的頻帶內(nèi)降低系統(tǒng)振動［5-6］，且容易出現(xiàn)非線性失穩(wěn)［7-8］等問題。相較之下，非線性動力吸振器以其減振頻帶寬，抑制效果好等優(yōu)勢逐漸受到了更為廣泛的關(guān)注。

Valalis等［9］設(shè)計了一個小質(zhì)量具有非線性彈簧和粘性阻尼器的減振器，他將這種具有強(qiáng)非線性剛度，能單向吸收主體結(jié)構(gòu)振動能量并通過耗能元件將其耗散的吸振器命名為Nonlinear energy sink（NES）。研究表明［10］NES能夠在較寬的頻帶范圍內(nèi)高效吸收被吸附結(jié)構(gòu)的能量，同時用自身的阻尼器件將其消耗。對于NES質(zhì)量、剛度以及阻尼系數(shù)的選擇，熊懷等［11］用理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，非線性耦合系統(tǒng)要實現(xiàn)能量傳遞，NES的參數(shù)在這一過程中有著重要作用。文獻(xiàn)［12］研究了NES對施加簡諧激勵力的兩自由度系統(tǒng)的減振效果。文獻(xiàn)［13］對NES中非線性耦合振子傳遞能量的條件進(jìn)行了分析，并研究了在雙共振峰工況下NES的力學(xué)特性。文獻(xiàn)［14-16］通過數(shù)值仿真和實驗手段，在線性振子施加一簡諧載荷并用NES與振子連接的耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［15］發(fā)現(xiàn)在準(zhǔn)周期激勵時，NES對耦合系統(tǒng)的減振效果十分明顯。文獻(xiàn)［16］研究了耦合系統(tǒng)的周期響應(yīng)中出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生準(zhǔn)周期響應(yīng)的原因。Starosvetsky等人［17-18］發(fā)現(xiàn)，NES產(chǎn)生強(qiáng)制振動時，其對耦合系統(tǒng)的減振效果最明顯。

以上的研究表明了NES在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中振幅抑制效果的有效性，但是在針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究中，NES對轉(zhuǎn)子不對中、不平衡引起故障的減振方面研究較少。因此，本文提出了一種用于耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的NES具體結(jié)構(gòu)，通過數(shù)值仿真得到對該系統(tǒng)的減振效果。

1 轉(zhuǎn)子-NES耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程

1.1 NES-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程

為了減少不對中及不平衡故障帶來的振幅，使用了NES對其減振，NES按結(jié)構(gòu)分為3部分：NES質(zhì)量、非線性彈簧結(jié)構(gòu)和阻尼元件。NES質(zhì)量m通過兩個非線性彈簧以及阻尼元件與轉(zhuǎn)子進(jìn)行耦合，為了將NES的運動限制在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向，需要一根固定的桿在轉(zhuǎn)子內(nèi)并與NES連在一起，即NES只能沿著固定的桿滑動。由于轉(zhuǎn)子存在不對中、不平衡故障，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，會與NES產(chǎn)生一個相對運動，從而將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移到NES上并通過阻尼元件耗散，從而減少轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障引起的振幅。

如圖1所示，模型的左側(cè)為電機(jī)，電機(jī)與右側(cè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由聯(lián)軸器相連。令mrp、mrbL和mrbR分別為轉(zhuǎn)盤、左端軸承和右端軸承的等效質(zhì)量，k為轉(zhuǎn)盤左右轉(zhuǎn)軸的剛度，kL為彈性軸承的剛度，crp、crb分別為轉(zhuǎn)盤、軸承處的阻尼，ΔE為綜合不對中量，e為轉(zhuǎn)盤的不平衡量，mc為聯(lián)軸器的質(zhì)量，kNES、cNES為NES的非線性彈簧剛度和阻尼器的阻尼。

圖1 耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

為了計算方便，采用了集中質(zhì)量法，因為是對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)軸的質(zhì)心在轉(zhuǎn)盤上，同時轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量相較于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言影響較小，可以忽略不計。轉(zhuǎn)軸是細(xì)長柔性的，當(dāng)轉(zhuǎn)軸的振動較為劇烈時，位移-應(yīng)變的幾何非線性較為明顯。因此結(jié)構(gòu)共有7個自由度，分別為轉(zhuǎn)盤的水平位移xrp和豎直位移yrp，左端軸承處等效質(zhì)量的水平位移xrbL和豎直位移yrbL，以及右端軸承處等效質(zhì)量的水平位移xrbR和豎直位移yrbR，還有NES在轉(zhuǎn)盤相對滑動位移r。

NES結(jié)構(gòu)模型以及在轉(zhuǎn)子圓盤中的安裝位置如圖2所示。用直角坐標(biāo)系來描述轉(zhuǎn)子形心O（x1，y1）、轉(zhuǎn)子質(zhì)心O′（x2，y2）、NES質(zhì)心O″（x3，y3）的位置，NES的安裝角度β是相對于轉(zhuǎn)子質(zhì)心設(shè)定的，圓盤處的運動方程為：

其中x3＝xNES，y3＝y(tǒng)NES。

圖2 NES結(jié)構(gòu)模型以及在轉(zhuǎn)子圓盤安裝位置

根據(jù)該模型得到轉(zhuǎn)子-NES耦合系統(tǒng)的動能、勢能、耗散能函數(shù)為：

將式（2）代入式（3）中，即可得到該轉(zhuǎn)子耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

在上式右邊中，F(xiàn)xL、FyL、FxR、FyR是左端支承、右端支承的x、y方向的支撐力，mrbL、mrbR、mrp、mNES分別為左端支承、右端支承、轉(zhuǎn)盤、NES的集中質(zhì)量，F(xiàn)px、Fpy為x、y方向的不對中激振力，F(xiàn)x、Fy為x、y方向的不平衡激勵力。由于不對中故障產(chǎn)生的激振力對轉(zhuǎn)盤的影響較大，將其作用在轉(zhuǎn)盤上［19］。在轉(zhuǎn)子支撐處，線性支撐對系統(tǒng)提供的支撐力為：

1.2 不平衡激故障

圖3所示為帶有不平衡故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，轉(zhuǎn)盤質(zhì)量為mrp，轉(zhuǎn)子圓盤的剛度和阻尼分別為krp、crp。轉(zhuǎn)盤的形心和質(zhì)心分別為O、O′，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的角速度為ω。得到轉(zhuǎn)子的動能、勢能、耗散能分別為：

式中x1、y1為轉(zhuǎn)盤形心處的水平和豎直位移，x2、y2為轉(zhuǎn)盤質(zhì)心處的水平和豎直位移。質(zhì)心和形心的水平位移關(guān)系為x2＝x1＋e cos（ωt），豎直位移關(guān)系為y2＝y(tǒng)1＋e sin（ωt）。

圖3 轉(zhuǎn)子不平衡模型圖

令L為Lagrange函數(shù)，L＝T-V，其中，T為廣義動能，V為廣義勢能；廣義力為Qj，廣義坐標(biāo)為qj，則該系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為：

將式（6）代入式（7）得到該系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

式（8）右邊第一項為偏心質(zhì)量產(chǎn)生的不平衡激振力，即水平和豎直方向上的不平衡激振力為：

當(dāng)引入NES吸振器后，不平衡激振力將滯后一個β角度，即吸振器安裝位置與轉(zhuǎn)盤質(zhì)心的夾角。式（9）變?yōu)椋?/p>

1.3 不對中故障

轉(zhuǎn)子的不對中模型如圖4所示，其中右、左半聯(lián)軸器的運動中心分別為O1、O2，兩半連軸器之間的距離為ΔL，角度偏差為α，平行不對中量為γ，聯(lián)軸器外殼的靜態(tài)、動態(tài)運動中心分別為O、P。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)動時，點P以O(shè)點為圓心，半徑為綜合不對中量ΔE做圓周運動，其中ΔE＝γ＋ΔL tanα。

圖4 綜合不對中故障運動模型示意圖

聯(lián)軸器的運動軌跡可以表示為P（x，y），轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，以轉(zhuǎn)角α為自變量，則x、y的表達(dá)式為：

將式（11）對t求2階導(dǎo)數(shù)，得到點P的加速度為：

當(dāng)聯(lián)軸器的質(zhì)量較大時，會對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)軸承施加一個不對中的激振力Fp，導(dǎo)致不對中故障的產(chǎn)生，激振力Fp在x、y方向上的分力分別表示為：

在上式中mc為聯(lián)軸器質(zhì)量，ΔE為綜合不對中量。聯(lián)軸器對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生x、y方向上的不對中激振力Fpx、Fpy。

2 數(shù)值仿真與分析

為了方便運算與優(yōu)化NES的參數(shù)，將式（4）進(jìn)行化簡，其中NES質(zhì)量和剛度的參數(shù)為ε、η，化簡得：

本文采用四階-龍格庫塔法對該模型進(jìn)行數(shù)值仿真與分析，根據(jù)文獻(xiàn)［20］中的轉(zhuǎn)子參數(shù)，選取本文中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的計算參數(shù)為：mrp＝32.1 kg、mrb＝4 kg、mc＝2.61 kg、crp＝2100 N·s/m，crb＝1050 s/m，k＝2.5×107N/m，e＝1 mm，為了達(dá)到NES有良好的減振效果，需要對其質(zhì)量參數(shù)ε、剛度參數(shù)η進(jìn)行優(yōu)化，同時也要確定安裝位置對減振效果的影響。

2.1 NES對耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振控制分析

當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高速運轉(zhuǎn)時，為了保證NES對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減振效果的有效性，需要對其本身結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行選擇，同時安裝角度也是不可忽視的一個重要因素。圖5（a）～圖5（c）為不同故障下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅-轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線，各圖中第一個峰值是不對中故障引起的，第二個峰值是不平衡故障引起的，以第二個峰值為參考開始對NES進(jìn)行優(yōu)化。

圖5 不同故障下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅-轉(zhuǎn)速關(guān)系

根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及仿真證明，當(dāng)NES的安裝位置角度β＞π時，它的減振效果與安裝位置角度2π-β是一樣的。圖6所示為NES不同安裝位置以及不同參數(shù)下對耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減振控制的影響分析。從圖6中可知，當(dāng)安裝角β＜π/2時，它不能使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅減小反而使得振幅加劇。當(dāng)安裝角為β＝3π/4時，其較優(yōu)參數(shù)可以將耦合系統(tǒng)的振幅降低到1.29×10-3m，相當(dāng)于未安裝NES之前的隨著安裝角度逼近β＝π/2，NES對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振愈發(fā)明顯，當(dāng)安裝角為β＝π/2且參數(shù)最優(yōu)時，能將耦合系統(tǒng)的振幅降低至1.52×10-5m，相當(dāng)于減振前的0.82%，減振效果十分明顯。

對于NES的參數(shù)除了考慮其質(zhì)量與剛度外，還需要考慮阻尼元件的阻尼系數(shù)。圖7所示為NES不同阻尼系數(shù)下的時間隨振幅變化曲線。由圖7可知，阻尼系數(shù)的取值只是影響達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時間，對系統(tǒng)本身的減振控制并未有影響。另外NES的響應(yīng)為轉(zhuǎn)子振幅的1.5倍，對于大型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)完全是可行的。

圖6 NES不同安裝位置（β）以及不同參數(shù)下對耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減振控制的影響圖

圖7 NES不同阻尼系數(shù)下的時間-振幅響應(yīng)圖

圖8 所示為NES對不同故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅抑制情況。由圖8可見，NES對不同故障均有減振效果，因為NES本身安裝位置以及結(jié)構(gòu)限制，在不平衡故障上有著極佳的減振效果，但是針對不對中故障只能減少15%～20%左右。為了能更好的研究NES的振動抑制效果，接下來保持質(zhì)量、阻尼、剛度相同的情況下，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅抑制情況進(jìn)行比較。

圖8 NES（β＝π）對不同故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅抑制情況

2.2 系統(tǒng)減振裝置對耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振控制分析

在使用傳統(tǒng)減振器時，偏移距離r0是非常關(guān)鍵的一個參數(shù)，用來減少不平衡故障帶來的振幅。它的安裝距離將決定TMD吸振器對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減振的控制效果，這一安裝的結(jié)構(gòu)如圖9所示。r0表達(dá)式為：

根據(jù)該模型得到轉(zhuǎn)子-NES耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

圖9 傳統(tǒng)TMD安裝位置以及結(jié)構(gòu)模型

圖10所示為TMD偏移距離對減振的仿真曲線。圖11所示為NES與TMD對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅影響對比情況。由圖10與圖11的仿真結(jié)果可知，偏移距離γ0對減振效果影響明顯，只有當(dāng)偏移距離達(dá)到合適的值，才能對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)起到良好的減振效果。同時TMD對于不對中故障、不平衡故障都有一定的抑制效果，但是在減振效果上不如NES。相較于TMD，NES不需要測量偏移距離即可起到很好的減振效果。在實際轉(zhuǎn)子振動抑制中，測量吸振器安裝的偏移距離是十分困難的，所以NES吸振器有著更廣泛的適用范圍。

圖10 TMD偏移距離γ0對減振的影響

圖11 NES與TMD對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅抑制對比

3 結(jié)論

本文設(shè)計了NES-綜合不對中-不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合系統(tǒng)的模型，并進(jìn)行了減振仿真，得到的主要結(jié)論如下：

（1）NES與TMD兩種減振器在對綜合不對中-不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有明顯的振動抑制效果，兩種減振器的安裝位置對耦合系統(tǒng)的振動抑制有很大的影響。

（2）NES減振器在面對不對中故障、不平衡故障引起的振幅時，相較于TMD有更好的減振性能，且安裝使用更加方便，不用計算安裝的偏移距離。

（3）由于NES本身安裝位置及結(jié)構(gòu)特點，在針對不對中故障引起的振幅時，減振效果較弱。