漸近的魯棒分布式假設(shè)檢驗(yàn)*

劉 穎,顧菊平,牛頓標(biāo),曹竹君,宋恩彬

(1. 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610065;2. 南通大學(xué)電氣工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)

分布式系統(tǒng)包含多個(gè)傳感器,每個(gè)傳感器將各自的局部決策傳給融合中心,融合中心再作出全局決策。相比于中心式系統(tǒng),分布式系統(tǒng)有多個(gè)優(yōu)點(diǎn),例如降低通信帶寬、提高計(jì)算效率、具有容錯(cuò)性以及可以使用不同的傳感器技術(shù)。

大多數(shù)研究基于簡(jiǎn)單假設(shè),即觀測(cè)的先驗(yàn)信息是完全已知的,再使用貝葉斯準(zhǔn)則或奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則,對(duì)每個(gè)傳感器尋找最優(yōu)的決策規(guī)則。然而在實(shí)際情況中,觀測(cè)的統(tǒng)計(jì)信息一般是不完全已知的,此時(shí)僅已知某個(gè)名義分布。對(duì)于具體的觀測(cè)模型,可能存在多個(gè)與名義分布相關(guān)的決策方案,但是當(dāng)真實(shí)分布與名義分布存在微小差異時(shí),系統(tǒng)性能急劇退化[1]。因此，系統(tǒng)具有魯棒性是非常必要的。

在分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)中,對(duì)于單個(gè)傳感器的決策規(guī)則及融合中心的融合規(guī)則,有很多相關(guān)的資料。文獻(xiàn)[2]將局部決策的門限固定,并優(yōu)化了融合規(guī)則;文獻(xiàn)[3-4]同時(shí)優(yōu)化融合規(guī)則和局部決策;經(jīng)典教材[5-7]整合了不同準(zhǔn)則(貝葉斯、奈曼-皮爾遜、極小極大等)下的最優(yōu)決策規(guī)則和融合規(guī)則及它們的迭代算法等結(jié)論。此外,也有很多針對(duì)魯棒性的資料。文獻(xiàn)[8]介紹了魯棒的統(tǒng)計(jì)量;文獻(xiàn)[9]在分布式系統(tǒng)中考慮2-交替Choquet容度[10]描述的不確定類,從而得到魯棒的數(shù)據(jù)融合規(guī)則;文獻(xiàn)[11]將有限集統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于分布式融合問題:即融合由地理分隔的數(shù)據(jù)融合系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出,并提出最優(yōu)和魯棒兩種不同的方法;文獻(xiàn)[12]基于網(wǎng)絡(luò)中的分布式平均一致性,提出了一種簡(jiǎn)單的分布式魯棒迭代方法,以計(jì)算參數(shù)的極大似然估計(jì)。也有許多文獻(xiàn)考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng):文獻(xiàn)[13]介紹了帶有漸近多傳感器的魯棒分布式系統(tǒng),利用漸近相對(duì)效率度量表明系統(tǒng)具有較好的性能;文獻(xiàn)[14]考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題,當(dāng)傳感器數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí),會(huì)將傳感器進(jìn)行最優(yōu)分組,每組所有傳感器使用相同的決策規(guī)則來決定傳輸給融合中心的內(nèi)容。

多傳感器數(shù)據(jù)融合是一種新興技術(shù),例如:自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別,戰(zhàn)場(chǎng)監(jiān)視以及自動(dòng)駕駛汽車的制導(dǎo)和控制,復(fù)雜機(jī)械的監(jiān)視,醫(yī)療診斷和智能建筑。多傳感器數(shù)據(jù)融合的技術(shù)來自包括人工智能、模式識(shí)別、統(tǒng)計(jì)估計(jì)和其他領(lǐng)域在內(nèi)的廣泛領(lǐng)域[15]。文獻(xiàn)[15]提供了有關(guān)數(shù)據(jù)融合的教程,介紹了數(shù)據(jù)融合的應(yīng)用、過程模型以及適用技術(shù)的標(biāo)識(shí),評(píng)論了有關(guān)數(shù)據(jù)融合的最新技術(shù)。

本文考慮帶有漸近多傳感器的魯棒分布式系統(tǒng),每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè),觀測(cè)基于信號(hào)選擇模型。這里的漸近多指的是傳感器的數(shù)目是一個(gè)接近正無(wú)窮的整數(shù),并且本文考慮的是同構(gòu)傳感器網(wǎng)絡(luò),即所有傳感器節(jié)點(diǎn)類型相同,都對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè),并對(duì)觀測(cè)進(jìn)行進(jìn)一步處理。文獻(xiàn)[13]研究了確定性信號(hào),且兩個(gè)假設(shè)為高斯ε-污染類,其名義分布均值不同方差相同,最后給出了一個(gè)線性的魯棒檢測(cè)函數(shù)。本文也研究確定性信號(hào),但名義分布方差不同,由此推導(dǎo)出每個(gè)傳感器如何作決策(利用平方魯棒檢測(cè)函數(shù)),并通過漸近相對(duì)效率度量分布式傳感器系統(tǒng)的漸近性能。

1 預(yù)備工作

考慮先驗(yàn)信息不完全已知的分布式假設(shè)檢驗(yàn)問題:

(1)

其中,F0,F1表示密度函數(shù)類,f0,f1分別是F0,F1中的密度函數(shù)?；谟^測(cè)數(shù)據(jù)判斷觀測(cè)來自f0還是f1。分布式系統(tǒng)包含漸近多傳感器,每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè)。假設(shè)觀測(cè)滿足信號(hào)選擇模型

(2)

其中,S0,S1是信號(hào),W0,W1是高斯白噪聲。基于該模型可以考慮多個(gè)有意義的問題,例如,信號(hào)選擇中的散度和Bhattacharyya距離測(cè)度[16],通信和雷達(dá)系統(tǒng)中的信號(hào)選擇[17],部分相關(guān)的二進(jìn)制通信的最佳檢測(cè)和信號(hào)選擇[18]。當(dāng)H0中信號(hào)不存在時(shí),該模型化為信號(hào)檢測(cè)模型:

基于該模型也有許多研究,例如:考慮稀疏信號(hào)的檢驗(yàn)問題,即在一定條件下通過少量觀測(cè)來精確重建稀疏信號(hào)[19];低信噪比環(huán)境中檢測(cè)信號(hào)存在與否[20];柯西噪聲下的相關(guān)性檢測(cè)[21]。本文考慮確定性信號(hào)的情形。

傳感器網(wǎng)絡(luò)有N個(gè)傳感器和一個(gè)融合中心。分布式系統(tǒng)中,傳感器配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)作出局部決策傳給融合中心,最終對(duì)不同信號(hào)作出決策。中心式系統(tǒng)的融合中心配置相應(yīng)的檢測(cè)函數(shù)。利用漸近相對(duì)效率研究魯棒分布式系統(tǒng)的漸近性能。漸近相對(duì)效率指分布式系統(tǒng)與中心式系統(tǒng)要達(dá)到相同的性能水平,即相同誤警率和功效

α=P(H1|H0)
β=P(H1|H1)

所需要的傳感器數(shù)目之比。

(3)

?f1∈F1,?δ(n)

以及

P(δ*(n),f0)≤α,?f0∈F0

(4)

特別地,考慮似然比檢驗(yàn)。決策規(guī)則δ*(n)對(duì)應(yīng)的檢測(cè)函數(shù)為

(5)

(6)

考慮ε-污染類

Fk={fk:fk=(1-εk)gk+εkhk;hk∈H},k=0,1

(7)

作為密度函數(shù)類。其中g(shù)0,g1是已知的名義密度,ε0,ε1是介于(0,1)之間的污染常數(shù),H是所有密度函數(shù)組成的集合。本文考慮高斯密度函數(shù)類。

相應(yīng)的最不利對(duì)數(shù)似然比為[22]

(8)

當(dāng)ε0<0.5,ε1<0.5時(shí),截?cái)喑?shù)c0,c1被唯一確定[23]。由于每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè),則式(5)中n=1,于是每個(gè)傳感器都配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)(8)。當(dāng)出現(xiàn)異常值的時(shí)候,該檢測(cè)函數(shù)能夠避免系統(tǒng)出現(xiàn)性能故障。

引理1[13]式(8)中的最不利密度也是KL散度意義下的最不利密度。

假設(shè)信號(hào)是確定性信號(hào),此時(shí)各傳感器觀測(cè)獨(dú)立同分布。假設(shè)某時(shí)刻觀測(cè)到H0,H1下的信號(hào)分別為s0,s1,則傳感器獲得的最終觀測(cè)為

(9)

1.1 線性魯棒檢測(cè)函數(shù)

假設(shè)F0的名義密度為g0(x)=σ-1φ(x/σ),其中φ(x)是均值為0方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。F1中的名義密度是F0通過參數(shù)變動(dòng)所得,即對(duì)于g0(x)∈F0有g(shù)1(x)=g0(x-θ)∈F1,θ為給定常數(shù),則F1的名義密度為

g1(x)=σ-1φ((x-θ)/σ)

即名義密度對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)均值不同方差相同。通過一系列假設(shè)可得檢測(cè)函數(shù)[13]

(10)

常數(shù)b滿足b>0。該檢測(cè)函數(shù)將絕對(duì)值過大的異常值截?cái)唷?/p>

1.2 平方魯棒檢測(cè)函數(shù)

f1(x)=σ-1f0((x-θ)/σ)=

(1-ε0)σ-1g0((x-θ)/σ)+ε0σ-1h0((x-θ)/σ)=

(1-ε0)g1(x)+ε0σ-1h0((x-θ)/σ)∈F1

此時(shí)名義密度的比值為

(11)

注意到污染常數(shù)ε0=ε1,于是

(12)

式(12)第二個(gè)式子整理可得

令

相應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為

(13)

則第二個(gè)式子化為

(14)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)

(15)

將不等式(15)右邊的式子記為c2,c≥0,同理可得

(16)

將不等式(16)右邊的式子記為d2,d≥0,于是有

將logc0,logc1代入式(12)可得

(17)

(18)

(19)

在后面的定理和仿真中,魯棒的檢測(cè)函數(shù)(19)表現(xiàn)出好的性能,則說明c=1/d假設(shè)對(duì)原檢測(cè)函數(shù)(18)不會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)影響。因此假設(shè)c=1/d是合理的。記

(20)

2 確定性信號(hào)下的平方魯棒分布式系統(tǒng)

考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng),每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè),觀測(cè)服從信號(hào)選擇模型(2)。假設(shè)第j個(gè)傳感器的局部決策為

(21)

當(dāng)傳感器的數(shù)量較大時(shí),所有傳感器使用相同的決策門限,融合中心作決策不損失融合規(guī)則的最優(yōu)性[24]。于是λ1=λ2=…=λN=λ是一個(gè)合理的假設(shè)。那么第j個(gè)傳感器的局部決策化為

(22)

假設(shè)每個(gè)傳感器配置了魯棒的檢測(cè)函數(shù)(19)。令傳感器數(shù)目趨于∞,利用漸近相對(duì)效率研究檢測(cè)函數(shù)(19)的性能。漸近相對(duì)效率指分布式系統(tǒng)與中心式系統(tǒng)要達(dá)到相同的性能水平,即相同誤警率和功效,所需要的傳感器數(shù)目之比。相關(guān)結(jié)果在下面的定理1中。

定理1 考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng)。每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè)。觀測(cè)基于模型(2),其中信號(hào)是確定性信號(hào),觀測(cè)滿足式(9),服從分布

(23)

其中，

m0=m(θ0,σ0),m1=m(θ1,σ1)

其中1/d<λ≤d,d>1,λ2是每個(gè)傳感器的決策門限。定理1將λ看成未知常數(shù),下一節(jié)仿真會(huì)進(jìn)一步分析,因此定理1的漸近相對(duì)效率ARE(∞,zd,G)僅是截?cái)喑?shù)d的函數(shù)。

證明:

1)證明中會(huì)用到以下幾個(gè)式子

(24)

(25)

(26)

分布式系統(tǒng)和中心式系統(tǒng)要滿足的誤警率α和功效β是給定的。

2)先考慮中心式結(jié)構(gòu)。融合中心的決策為

(27)

zd(xi)獨(dú)立同分布,滿足中心極限定理的條件,于是

(28)

其中，

m0=m(θ0,σ0),m1=m(θ1,σ1)

[σy(y2+3σ2)+4θσ(y2+2σ2)+

[σy(y2+3σ2)+4θσ(y2+2σ2)+

根據(jù)誤警率α可以得到中心式結(jié)構(gòu)融合中心的門限λ(N),將其代入功效β的表達(dá)式可得所需的傳感器數(shù)目N。

(29)

(30)

其中Φ-1(x)=y意味著x=Φ(y)。

3)接下來討論分布式系統(tǒng)。傳感器數(shù)目M趨于∞,每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè),局部決策為式(22)

定義每個(gè)傳感器的誤警率和功效為

pλ,kP[zd(x)≥λ2|Hk]=

(31)

k=0,1。選擇1/d2<λ2≤d2,d>1,于是有

pλ,0=P[zd(x)≥λ2|H0]=

(32)

(33)

該定理將每個(gè)傳感器的決策門限λ2看成未知常數(shù),下一節(jié)仿真會(huì)進(jìn)一步分析。

融合中心的決策為

(34)

其中uj是第j個(gè)傳感器的局部決策,j=1,…,M。當(dāng)M→∞時(shí),uj獨(dú)立同分布,滿足中心極限定理的條件,于是

(35)

其中，

skE{uj|Hk}=pλ,k,

根據(jù)誤警率α可以得到中心式結(jié)構(gòu)融合中心的門限μ(M),將其代入功效β的表達(dá)式可得所需的傳感器數(shù)目M。

μ(M):α=P(v(M)=1|H0)=

(36)

M:β=P(v(M)=1|H1)=

(37)

4)用式(37)除以式(30)可得式(23)。

注釋1 分布式系統(tǒng)將傳感器的決策門限λ2看成未知常數(shù)。為了得到分布式系統(tǒng)真實(shí)的傳感器數(shù)目,下一節(jié)仿真將給出λ的近似值,進(jìn)一步分析漸近相對(duì)效率。結(jié)果顯示在分布式系統(tǒng)中配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)會(huì)提高系統(tǒng)性能。

3 仿真分析

分布式系統(tǒng)包含漸近多傳感器,每個(gè)傳感器只收集一個(gè)觀測(cè),并配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)zd(x)作出局部決策。觀測(cè)基于模型(2),其中信號(hào)是確定性信號(hào),觀測(cè)滿足式(9),服從分布

圖1 中心式傳感器數(shù)目隨截?cái)喑?shù)的變化

分布式系統(tǒng)傳感器數(shù)目與局部決策門限λ2相關(guān)。要得到分布式系統(tǒng)所需要的最小傳感器數(shù)目,應(yīng)該對(duì)λ取下確界。接下來通過圖像給出λ以及傳感器數(shù)目的近似值。

由定理1的證明可知，λ屬于區(qū)間(1/d,d],d>1,現(xiàn)在給出傳感器數(shù)目隨λ變化的圖像,如圖2所示。

圖2 分布式傳感器數(shù)目隨傳感器門限的變化

由圖2可知,圖像在1.6左右取最小值。因此λ=1.6對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,向上取整為154,可以近似最小的傳感器數(shù)目。已知λ屬于區(qū)間(1/d,d],因此，截?cái)喑?shù)d應(yīng)該滿足d≥1.6。接下來給出ARE隨截?cái)喑?shù)d的變化圖像,如圖3所示。

圖3 ARE隨截?cái)喑?shù)的變化

由圖3可知,截?cái)喑?shù)越接近1.6,分布式系統(tǒng)所需的傳感器數(shù)目越接近中心式;截?cái)喑?shù)d>4時(shí),分布式系統(tǒng)的傳感器數(shù)目和中心式比值穩(wěn)定在1.549左右;截?cái)喑?shù)d漸近大時(shí),截?cái)嗷颈幌?此時(shí)魯棒檢測(cè)函數(shù)和一般的似然比檢測(cè)函數(shù)等價(jià)。

相比于一般的似然比檢測(cè)函數(shù),傳感器配置魯棒檢測(cè)函數(shù)時(shí),隨著截?cái)喑?shù)d減小,即系統(tǒng)的魯棒性越高,中心式系統(tǒng)需要更多的觀測(cè)才能達(dá)到給定的性能水平,而分布式系統(tǒng)基本上不受影響。這個(gè)特性說明在分布式系統(tǒng)中配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)是必要的。

注釋2 本文分布式網(wǎng)絡(luò)中所有傳感器僅僅基于某一時(shí)刻對(duì)信號(hào)的觀測(cè)而作出決策。從仿真中可看出魯棒的分布式網(wǎng)絡(luò)具有良好的性能。在實(shí)際應(yīng)用中,基于有限數(shù)量的傳感器連續(xù)觀測(cè)獲得的數(shù)據(jù),使用同樣的決策規(guī)則也能實(shí)現(xiàn)好的性能,因?yàn)榇藭r(shí)同一個(gè)傳感器不同時(shí)刻的觀測(cè)、不同傳感器的觀測(cè)均是獨(dú)立同分布的,證明方法完全同定理1。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了包含漸近多傳感器的分布式假設(shè)檢驗(yàn)問題,所有傳感器都配置魯棒的檢測(cè)函數(shù)?？紤]的兩個(gè)假設(shè)是高斯密度函數(shù)類,特別強(qiáng)調(diào)ε-污染類。根據(jù)漸近相對(duì)效率以及系統(tǒng)對(duì)異常值的抵抗能力描述了魯棒檢測(cè)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。今后將進(jìn)一步考慮隨機(jī)信號(hào)觀測(cè)的情形。