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    基于空間反射鏡的點陣結(jié)構(gòu)非均勻尺寸優(yōu)化設(shè)計

    2021-06-13 17:34:30張牧堯蘇云王超
    航天返回與遙感 2021年2期
    關(guān)鍵詞:單胞面形反射鏡

    張牧堯 蘇云 王超

    (北京空間機電研究所,北京 100094)

    0 引言

    空間反射鏡作為光學遙感系統(tǒng)的主要零部件之一,對于成像品質(zhì)有著重要意義。反射鏡的質(zhì)量作為重要指標,決定著航天器的發(fā)射成本與光學相機的成像品質(zhì)。因此反射鏡結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計是如今光機結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵步驟。

    輕量化設(shè)計作為航空航天業(yè)內(nèi)的傳統(tǒng)課題,一般通過選擇輕質(zhì)材料以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計兩種方法實現(xiàn)。從材料的角度,采用如鈦合金、陶瓷、碳纖維復合材料等輕質(zhì)材料可達到輕量化的目的。而從結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度,點陣結(jié)構(gòu)作為新興結(jié)構(gòu)形式,可以在實現(xiàn)減質(zhì)量的同時保持結(jié)構(gòu)的承載力,實現(xiàn)輕量化和結(jié)構(gòu)性能的完美平衡。該結(jié)構(gòu)由節(jié)點和桿件作為基本元素構(gòu)成,一般通過使用不同的單胞構(gòu)型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能性變化,特點是質(zhì)量較小、比強度高以及特定部位的剛度高,并且能帶來許多熱力學特征。增材制造(3D打?。┑目焖侔l(fā)展給點陣結(jié)構(gòu)的制備提供了實現(xiàn)的條件,使設(shè)計人員能夠嘗試一些顛覆性的點陣設(shè)計方案。國內(nèi)外學者使用點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計了許多航空航天零部件[1],如:文獻[2]在航空渦輪發(fā)動機上使用了點陣技術(shù);文獻[3]使用點陣結(jié)構(gòu)輕量化處理制造了小型反射鏡,并對其進行了光學表面的鍍鎳處理以及X射線探傷;文獻[4]在設(shè)計相變熱控制器時填充了點陣結(jié)構(gòu),實現(xiàn)了60%的輕量化率,并且結(jié)構(gòu)在受壓實驗中表現(xiàn)良好,防漏性能令人滿意。傳統(tǒng)點陣材料為均勻分布,但是非均勻點陣結(jié)構(gòu)有著更好的力學性能,可以根據(jù)結(jié)構(gòu)特性達到更好的材料分布[5-7],一般用拓撲優(yōu)化實現(xiàn)點陣結(jié)構(gòu)的非均勻性。在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法中,主流手段為變密度法中采用的固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Material with Penalization,SIMP)[8]、水平集法[9]等:文獻[10]提出一種新的變密度點陣結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化方法,通過3D打印制造出具有變密度點陣的汽車連桿;文獻[11]使用多尺度點陣拓撲優(yōu)化方法優(yōu)化了點陣結(jié)構(gòu),得到胞元結(jié)構(gòu)在點陣之中的最優(yōu)分布。移動閾值切面法(Moving Iso-surface Threshold Topology, MIST)[12]是一種新型的拓撲優(yōu)化方法,它無需在顯示靈敏度分析的條件下完成結(jié)構(gòu)的拓撲,而且算法難度不大,利于工程人員在商業(yè)有限元軟件上實現(xiàn)。

    綜上所述,點陣結(jié)構(gòu)已經(jīng)在航空航天領(lǐng)域得到了很多應用,主要體現(xiàn)在新設(shè)計提升了結(jié)構(gòu)的剛度以及輕量化率。但是,在結(jié)構(gòu)的功能性上,如提升結(jié)構(gòu)的力熱穩(wěn)定性方面還未有更多的突破。本研究致力于在使用點陣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)輕量化設(shè)計之外,通過一定程度的優(yōu)化安裝應力,實現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能以及輕量化一體化設(shè)計。

    由于傳統(tǒng)的背部開口輕量化形式不足以達到指標要求,故對于空間反射鏡進行了均勻點陣填充設(shè)計,之后基于MIST法對反射鏡進行了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化,在保證面形精度的條件之下,有效地提升了輕量化率,提升了結(jié)構(gòu)剛度,最后在有安裝應力的工況下驗證了結(jié)構(gòu)性能。

    1 反射鏡優(yōu)化算法的數(shù)學模型

    使用點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計反射鏡結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)反射鏡輕量化孔的設(shè)計方法不同,需要將傳統(tǒng)反射鏡參數(shù)分解到每一根點陣單胞的桿件之上,所以需要針對點陣結(jié)構(gòu)組成的反射鏡建立優(yōu)化的數(shù)學模型,并對于結(jié)構(gòu)的安裝應力進行分析計算。

    1.1 MIST法模型

    2013年,仝立勇教授提出了MIST法[12],作為拓撲優(yōu)化方法中的一種,它旨在找到元素的權(quán)重因子x與等值面S的閾值t,使得結(jié)構(gòu)設(shè)計中的某個變量J(如結(jié)構(gòu)應變能)最小化,約束條件則為結(jié)構(gòu)的材料約束gs以及有限元方程gr。具體形式為:

    式中xl為結(jié)構(gòu)參量的最小值;xu為結(jié)構(gòu)設(shè)計參量的最大值。

    MIST法定義了一個響應函數(shù)的曲面φ(一般為應力或者應變能的函數(shù)),然后使用一個等值面S去切割該響應函數(shù),它們相交的輪廓作為結(jié)構(gòu)的邊界。MIST法迭代開始前的初始化中,對于設(shè)計空間進行有限元網(wǎng)格的劃分并存儲節(jié)點單元信息;與SIMP法的相似之處是,MIST法在每一個有限元網(wǎng)格之中均設(shè)置了權(quán)重因子x,該值若為0,則相當于拓撲優(yōu)化中的孔洞材料(該單元無結(jié)構(gòu)材料分布),若為1,則相當于拓撲優(yōu)化中的實體材料分布(該單元有結(jié)構(gòu)材料分布)。之后在每個有限單元節(jié)點上計算響應函數(shù)的值,并生成響應函數(shù)的曲面φ;然后使用等值面S切割響應函數(shù)曲面φ,等值面S的閾值t由結(jié)構(gòu)的體積約束決定,在權(quán)重因子x更新的過程之中,所有元素單元的響應函數(shù)值大于等值面的閾值t時讓單元向?qū)嶓w材料方向演變(權(quán)重因子變向1),當單元的響應值小于等值面的閾值時讓單元向孔洞材料方向演變(權(quán)重因子變向0)。若單元中的響應值既有在等值面閾值之上以及等值面閾值之下的,權(quán)重因子x則為在等值面閾值以上部分的響應函數(shù)的投影面積分數(shù)。若x和t的值均收斂則結(jié)束循環(huán),否則進入下一循環(huán)。

    MIST法的具體操作流程圖如圖1所示。

    等值面S對應的閾值t使用二分法進行計算,具體計算方法如下:

    1)令tmax0= max(φ),tmin0= min(φ),其中tmax0和tmin0為二分法首次迭代的參數(shù)。2)計算水平等值面對應的閾值。其中tk為k次循環(huán)時的閾值。

    3)在全部有限單元計算域內(nèi)計算φ-tk的值,若計算值均為正,則該單元節(jié)點為實體則增加xjk;若計算值均為負為孔洞則減少xkj;若有正有負則根據(jù)兩部分對應面積的比例計算。其中xkj為k次循環(huán)時第j個單元的權(quán)重因子值。

    4)若迭代到k次循環(huán)時的結(jié)構(gòu)總體積kV、結(jié)構(gòu)總體積

    約束Vcons與二分法的收斂指標數(shù)ζ滿足則結(jié)束循環(huán)。

    1.2 基于MIST的點陣桿件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

    本文基于MIST法對于反射鏡的點陣結(jié)構(gòu)進行了桿件的尺寸優(yōu)化。點陣結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)為桿件長度以及桿徑大小,故將桿件的橫截面積作為MIST法之中的權(quán)重因子。優(yōu)化模型之中包含了結(jié)構(gòu)的體積約束,桿件截面積的下限一般由增材制造的工藝水平?jīng)Q定。

    點陣優(yōu)化算法的數(shù)學模型列式如下:

    圖1 MIST法優(yōu)化流程Fig.1 Flow chart of MIST method optimization

    式中 設(shè)計變量iA為桿件的橫截面積;f(r)為結(jié)構(gòu)總形變勢能;F為結(jié)構(gòu)的外載荷向量;K為有限元結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣;U為有限元節(jié)點位移向量;Li為點陣單胞桿件的長度;為點陣桿件的體積約束;aA為桿件橫截面積上限;bA為桿件橫截面積下限。本文使用結(jié)構(gòu)的形變勢能作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的響應函數(shù),故根據(jù)材料力學,它的具體表達式為:

    式中iF為桿件受到的軸力;E為材料的彈性模量。點陣優(yōu)化模型的目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)的固有頻率(剛度)最大,根據(jù)式可知剛度最大可轉(zhuǎn)化為形變勢能最小。

    1.3 擰緊力矩M

    對于空間反射鏡的安裝來說,鏡面面形精度一般要求為納米級別,所以不僅要保證連接部件的螺釘強度足夠抵消發(fā)射振動,還要準確控制預緊力矩,以免對于反射鏡面形造成精度缺失。金屬反射鏡與鏡框之間的連接方式為螺栓連接,將反射鏡使用螺栓連接至鏡框上時,需要克服螺紋的螺紋阻力矩M1以及螺釘頭和連接件支撐面的摩擦力矩M2。其中,擰緊力矩M可以用如下形式表征[13]:

    式中F'為螺釘?shù)念A緊力;d2為螺紋中徑;d為螺紋大徑;φ為螺紋升角,其中P為螺距;ρ'為螺紋副的當量摩擦角,ρ' = arctanμ,其中μ為螺紋當量摩擦因數(shù);μe為螺釘頭與聯(lián)接件支撐面之間的摩擦因數(shù);1D為螺釘頭聯(lián)接面的外徑;d0為釘孔直徑;tQ為擰緊力矩因數(shù),與螺釘尺寸、螺紋副和支撐面的摩擦因數(shù)等有關(guān)。

    2 反射鏡結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析

    2.1 優(yōu)化方案

    本文中的反射鏡在自由邊界條件之下,主鏡頻率要高于550Hz,質(zhì)量不能超過850g,面形均方根誤差故使用基于MIST的優(yōu)化方法對于190mm鋁合金反射鏡進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。反射鏡材料采用可增材制造的AlSi10Mg,材料參數(shù)彈性模量為62GPa,泊松比為0.32,目標后續(xù)以3D打印制備反射鏡。反射鏡采用側(cè)面三點支撐方法。根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗,反射鏡設(shè)計模型之中初始側(cè)面壁厚為2mm,鏡面厚度為4mm,設(shè)計空間邊緣厚度為3mm,反射鏡的初始結(jié)構(gòu)如圖2所示。

    圖2 反射鏡初始結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The initial structure of space mirror schematic

    使用3-matic軟件對設(shè)計空間進行均勻點陣結(jié)構(gòu)的填充,設(shè)計空間為實體鏡坯。圖3單胞為6mm×6mm×6mm的BCC點陣單胞,填充整體設(shè)計空間后,單胞個數(shù)為220個,邊緣處點陣分布5層,中心處點陣分布4層。點陣邊界處使用基于表面網(wǎng)格的方式處理,手動將邊界網(wǎng)格節(jié)點連接至單胞節(jié)點之上,最后填充之后的整體點陣如圖4所示??梢钥吹剑嗽诜瓷溏R與實體接觸部分使用了表面網(wǎng)格的形式填充,其余點陣單胞均勻分布在反射鏡內(nèi)部結(jié)構(gòu)之中,此填充模型將作為下節(jié)點陣橫截面積優(yōu)化的初始輸入。

    圖3 BCC單胞示意Fig.3 BCC lattice cell structure

    使用基于MIST法對于點陣結(jié)構(gòu)進行非均勻尺寸優(yōu)化,優(yōu)化問題描述如下:外載荷為螺紋孔處的安裝應力,基于衛(wèi)星環(huán)境規(guī)范以及擰緊力矩的計算公式計算得扭矩2.5N·m,約束條件為鏡面位移最小以及點陣結(jié)構(gòu)體積(質(zhì)量)上限值,目標函數(shù)為點陣結(jié)構(gòu)的總應變能最低(剛度最大),設(shè)計變量為點陣結(jié)構(gòu)的桿件截面積局部最優(yōu)。初始設(shè)置桿件的直徑為1.2mm,根據(jù)工藝要求,桿件直徑最小為0.8mm,最大為2.4mm。使用優(yōu)化程序優(yōu)化桿徑變量,經(jīng)過300次迭代過后,得到的點陣優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

    圖5 中點陣結(jié)構(gòu)桿徑的大小分布非均勻性明顯,在螺栓耳片位置以及中心孔附近的桿徑明顯大于其他位置的桿徑,結(jié)果與預期設(shè)計相符合。結(jié)合連續(xù)體的拓撲優(yōu)化結(jié)果,外觀也是相似的。表1為優(yōu)化前后均勻點陣與非均勻點陣的設(shè)計結(jié)果對比。

    圖4 均勻點陣填充反射鏡結(jié)構(gòu)Fig.4 Uniform lattice infill space mirror

    圖5 優(yōu)化后的非均勻點陣Fig.5 Non-uniform lattice after optimization

    表1 點陣優(yōu)化設(shè)計參數(shù)結(jié)果Tab.1 Parameters result of lattice optimization design

    表1 中,優(yōu)化之后的非均勻點陣結(jié)構(gòu)中單胞個數(shù)仍為220個,桿件個數(shù)為1129,桿件截面直徑最大為1.8mm,最小為0.8mm。優(yōu)化后的剛度相對于均勻點陣結(jié)構(gòu)提升明顯。

    2.2 性能分析以及對比

    為了模擬反射鏡安裝狀態(tài),對于優(yōu)化結(jié)果進行安裝應力的工況分析。不同于以上優(yōu)化工況,選擇在螺紋孔處施加0.01mm的法向強迫位移模擬安裝,另外附加沿Y軸向下的重力(反射鏡光軸豎直狀態(tài))。在此工況下,對比分析傳統(tǒng)背部輕量化形式以及非均勻點陣結(jié)構(gòu)形式的反射鏡的面形精度。有限元分析得到的節(jié)點位移僅為節(jié)點各個自由度的位移量,包含了結(jié)構(gòu)的剛體位移,故對于節(jié)點位移進行處理,使用基于Zernike多項式擬合的仿真技術(shù)得到反射鏡面形,見表2。

    表2 兩種結(jié)構(gòu)面形精度以及質(zhì)量對比Tab.2 Comparison of mass and surface shape between two sturctures

    表2 對兩種質(zhì)構(gòu)形式的質(zhì)量以及剛度進行了對比,統(tǒng)背部開口形式反射鏡和點陣結(jié)構(gòu)反射鏡均可以滿足結(jié)構(gòu)剛度和面形的要求,而經(jīng)過非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的反射鏡鏡面面形比起常規(guī)形式來說,質(zhì)量減少了20%,輕量化率得到了明顯提升。由此可見,非均勻點陣反射鏡結(jié)構(gòu)應用于小口徑金屬反射鏡上,具有著輕量化以及功能化的優(yōu)勢。圖6為兩種結(jié)構(gòu)形式的反射鏡節(jié)點位移對比。

    圖6 優(yōu)化后反射鏡節(jié)點位移Fig.6 Mirror optimization displacement result

    由圖6(a)優(yōu)化后的非均勻點陣結(jié)構(gòu)節(jié)點位移云圖與圖6(b)所示的傳統(tǒng)點陣結(jié)構(gòu)節(jié)點位移云圖的對比來看,除了施加強迫位移處的最大節(jié)點位移相似,其余節(jié)點均有著不同程度的減少,在中心孔處的節(jié)點位移優(yōu)化程度尤為明顯。

    為了分析非均勻點陣結(jié)構(gòu)對于不同安裝應力的面形精度影響,改變了強迫位移的大小,如圖7所示,當施加少于0.01mm的強迫位移時,非均勻點陣結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的面形精度較為一致,但是隨著強迫位移的逐漸加大,非均勻點陣結(jié)構(gòu)的面形精度的優(yōu)勢越為明顯,可以承受更高的安裝應力。

    由圖6~7以及表2可以看出,使用了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的金屬反射鏡,鏡體節(jié)點變形量顯著下降,剛度得到了明顯提升,驗證了優(yōu)化目標函數(shù)的合理性。

    圖7 兩種結(jié)構(gòu)在不同強迫位移下的面形對比Fig.7 Comparison of surface shape of two structures under different forced displacements

    3 結(jié)束語

    本文基于MIST法對于空間金屬反射鏡進行了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計,在輕量化的同時提升了反射鏡的剛度,獲得了較好的面形精度,且有效抵消卸載了部分安裝應力。與傳統(tǒng)的蜂窩式輕量化結(jié)構(gòu)形式相比,具有設(shè)計裕度大、針對目的性強等優(yōu)勢。點陣結(jié)構(gòu)的形式可以推廣到整個相機結(jié)構(gòu)以及其他部件之上,使得整體光機結(jié)構(gòu)獲得更高的結(jié)構(gòu)性能。

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