《等比數(shù)列》教學(xué)案例

唐春嬌

【案例背景】

數(shù)列是研究現(xiàn)實(shí)世界離散問題的數(shù)學(xué)工具，其中蘊(yùn)含著函數(shù)思想以及方程思想，而等比數(shù)列是數(shù)列模塊的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)等差數(shù)列相關(guān)知識后展開的學(xué)習(xí)活動。對此，教師可采用與等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容類比的方法，進(jìn)而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

【案例片段】

一、構(gòu)建情境，引入課題

由于等比數(shù)列的定義較為抽象，因此，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知需求構(gòu)建了趣味化的情境，其中，情境1為“細(xì)胞分裂”的實(shí)例，讓學(xué)生列出每次分裂后細(xì)胞的個數(shù);情境2以“一日之棰、日取其半、萬世不竭”為背景，分別列出所剩的量;情境3：計(jì)算機(jī)病毒的傳播速度為1，20、......，讓學(xué)生通過對三個情境問題進(jìn)行自主分析、觀察、比較，找出所列式子共同的特點(diǎn)。隨后，教師再引導(dǎo)學(xué)生仿照以上數(shù)列寫出一個具有以上特點(diǎn)的數(shù)列，這便使得每個學(xué)生對等比數(shù)列產(chǎn)生初步的感性認(rèn)識，為后續(xù)完成等比數(shù)列相關(guān)概念的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。

二、強(qiáng)化類比，自主感悟

由于學(xué)生對等差數(shù)列的相關(guān)概念有了一定的理解與認(rèn)識，基于此，教師讓學(xué)生根據(jù)概念的理解列出幾組等差數(shù)列，對比等比數(shù)列，自主感悟兩種類型數(shù)列的不同，并結(jié)合等差數(shù)列的概念，概括等比數(shù)列的概念。在此過程中，教師將課堂還給學(xué)生，并給他們一定的空間，完全讓學(xué)生根據(jù)原有認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)說出等比數(shù)列的概念，這樣一來，既發(fā)揮學(xué)生的能動性，還強(qiáng)化了新舊知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生建立新舊知識體系。

三、合作完善，得出概念

在學(xué)生運(yùn)用個人語言說明等比數(shù)列概念后，為了進(jìn)一步完善概念的準(zhǔn)確性，教師首先組織學(xué)生進(jìn)行討論，再與師生共同討論。其中，教師重點(diǎn)指出幾個問題，如：等比數(shù)列實(shí)質(zhì)上是“比相等”的數(shù)列，但公比是指后一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值，而不是前一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的比值;要正確理解常數(shù)的含義，這個常數(shù)是相對項(xiàng)數(shù)而言的，也就是這個常數(shù)與項(xiàng)數(shù)無關(guān)。此外，對一個數(shù)學(xué)概念除了充分理解這個概念的引入、本質(zhì)意義等基本要素外，還需要挖掘更加深層次的含義，為了讓學(xué)生澄清迷惑點(diǎn)以及易錯點(diǎn)，教師提出問題，即：等比數(shù)列的第一項(xiàng)可以為0嗎？公比q是否可以為0？以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生深入探討，這樣能夠使學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，進(jìn)而幫助他們切實(shí)掌握等比數(shù)列的概念。

四、實(shí)踐落實(shí)，當(dāng)堂訓(xùn)練

為了使學(xué)生真正理解、領(lǐng)會、掌握和鞏固等比數(shù)列的概念，教師指導(dǎo)學(xué)生當(dāng)堂訓(xùn)練，并出示問題，如：如果一個公比為q的等比數(shù)列各項(xiàng)均改為它本身的相反數(shù)，所得到的數(shù)列是否為等比數(shù)列？如果一個等比數(shù)列的各項(xiàng)均改為它本身的倒數(shù)，所得到的數(shù)列是否為等比數(shù)列？類似這樣的問題能夠引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的積極思考與探究。在探究活動中，學(xué)生能夠?qū)⒌缺葦?shù)列的概念遷移到具體問題中，經(jīng)過辨析的過程，充分把握了等比數(shù)列的本質(zhì)與內(nèi)涵。

五、反思提升，歸納總結(jié)

在小結(jié)過程中，教師給學(xué)生充分的空間，讓他們結(jié)合本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行反思、總結(jié)，這樣既有利于學(xué)生區(qū)別等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)概念，還能通過反思找到易錯點(diǎn)，并找到思維矛盾、解決思維矛盾，深化對等比數(shù)列相關(guān)知識的內(nèi)化與吸收，此外，也實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平的不斷提升以及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善。

【案例反思】

一、調(diào)動學(xué)生的主體性

現(xiàn)代教育理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生主觀能動性的發(fā)揮，而傳統(tǒng)的教育理念卻忽視了這一點(diǎn)，對此，在本章節(jié)教學(xué)中，教師落實(shí)“以學(xué)生為主”的教育觀，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體性的彰顯，其中，一方面，教師在構(gòu)建情境時，主要圍繞著學(xué)生的認(rèn)知需求，結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知思維水平構(gòu)建具體的問題情境。學(xué)生能夠自主參與到問題的探究活動中，并初步對等比數(shù)列產(chǎn)生感性認(rèn)識。另一方面，由于學(xué)生對等差數(shù)列的概念有了充分的理解，在此基礎(chǔ)上，教師并沒有將等比數(shù)列直接告訴學(xué)生，而是建立在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，給學(xué)生一定的空間，讓他們運(yùn)用自己的語言初步表達(dá)等比數(shù)列的概念，這樣一來，不僅能夠使學(xué)生找到舊知識的生長點(diǎn)，以此構(gòu)建新的認(rèn)知體系，還能充分發(fā)揮學(xué)生的能動性，使他們完成新知識的建立?？梢姡菊鹿?jié)教學(xué)活動主要圍繞著學(xué)生的學(xué)而展開，并且教學(xué)活動的效果落實(shí)到每個學(xué)生身上，將以學(xué)科中心的理念轉(zhuǎn)化為以學(xué)生為中心的理念，以此強(qiáng)化了學(xué)生主體性的發(fā)展。

二、培養(yǎng)學(xué)生的探究力

數(shù)學(xué)知識是學(xué)生自主構(gòu)建的結(jié)果，并且高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)并不僅僅需要學(xué)生把握基礎(chǔ)知識，還需要達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思維的目的，進(jìn)而讓學(xué)生的探究能力得到不斷提升。對此，在本章節(jié)教學(xué)活動中，教師采用“啟發(fā)式”的教學(xué)方法，首先，在引入教學(xué)主題時，教師采用情境的方式導(dǎo)入，讓學(xué)生思考情境問題，列出具體的數(shù)學(xué)模型，隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸結(jié)總結(jié)初步對等差數(shù)列有了感性認(rèn)識。其次，為了使學(xué)生能夠避免進(jìn)入到等差數(shù)列概念的思維誤區(qū)中，教師則以問題的方式啟發(fā)學(xué)生的思考，這樣便使得每個學(xué)生產(chǎn)生探究的興趣，并產(chǎn)生積極的探究行為。在思考問題的過程中，學(xué)生能夠深入思考，分析等比數(shù)列的第一項(xiàng)以及公比的范圍，使學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力。

三、隨堂練習(xí)層次不足

雖然在本章節(jié)教學(xué)活動中，教師落實(shí)了學(xué)生為主的教育觀，并以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力為主，但還未真正落實(shí)因材施教原則，這主要體現(xiàn)在隨堂練習(xí)的層次不足。首先，基礎(chǔ)較好的學(xué)生反映出課堂容量較小，也有部分學(xué)生反映了練習(xí)題比較簡單，這便直接體現(xiàn)出了隨堂練習(xí)在層次上沒有太大差異，不能很好地滿足各個層次學(xué)生的需要，對此，教師在今后的練習(xí)題選擇方面應(yīng)精心設(shè)計(jì)，并多查閱資料，精選細(xì)練，對不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)出符合他們認(rèn)知需求的練習(xí)問題，進(jìn)而讓每個學(xué)生都能找到適合他們個人實(shí)際的練習(xí)，幫助他們更好地理解當(dāng)堂的基礎(chǔ)知識，這樣不僅能夠使每個學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)提高數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，還能滿足學(xué)生個人數(shù)學(xué)認(rèn)知需求，實(shí)現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)的時效性。