淺談如何在數(shù)學知識的形成過程中落地思想方法

張吉

【摘 要】只有認真研讀教材，挖掘提煉數(shù)學知識背后蘊藏的數(shù)學思想方法，才能通過日常教學活動讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成，有效落地思想方法的教學，最終達成發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的目標。

【關(guān)鍵詞】感受數(shù)學思想;體會數(shù)學思想;感悟數(shù)學思想;建立數(shù)學思想

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0210-02

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》在闡述課程目標時明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動的經(jīng)驗。長期以來，一線數(shù)學教師往往關(guān)注教材中顯性的基礎(chǔ)知識，也有意識地培養(yǎng)學生的一些基本技能，但對蘊含于知識中的數(shù)學思想往往不清楚，更不重視，而數(shù)學思想的提煉與教學恰恰是培養(yǎng)學生思維能力、提高學生解決問題能力的關(guān)鍵，是學生進一步發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)必需的部分。本文結(jié)合蘇教版五年級“解決問題的策略——畫線段圖”一課的教學，闡述如何在學生知識形成中落實數(shù)學思想方法的教學[1]。

1 ? 在回顧整理的過程中，感受數(shù)形結(jié)合的思想

1.1 ?從生長點引入

在復習引入環(huán)節(jié)，出示問題。小軍：我有8枚郵票。芳芳：我有12枚郵票。思考：要讓兩人的郵票枚數(shù)一樣多，有什么辦法？

分別用紅色和藍色的圓片代表兩人的郵票，擺一擺，體會這樣擺有什么好處？

學生看著圓片，思考出了三種不同的解決方案：①小軍添上4枚郵票。②芳芳拿走4枚郵票。③拿出芳芳的2枚郵票給小軍。

對二年級舊知識進行回顧，用不同顏色的圓片代表郵票，一個對著一個進行排列，既有助于讓學生感受符號表示的簡潔美，又能讓學生體會一一對應的清晰與方便。導入活動，從學生學習的生長點引入符號思想、對應思想，合理滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生把抽象的知識直觀化，有助于學生比較兩個量，用假設(shè)的多種方法解決“同樣多”的問題，為新知的展開做好必要的鋪墊。

1.2 ?在聯(lián)系處加強

在教學“畫線段圖解決實際問題”的新知后，再引導學生回顧以往所學的內(nèi)容，啟發(fā)學生開展討論活動：在以往的學習中，還有哪些地方也用到過畫圖的策略？

學生1：低年級認數(shù)的時候，每10個數(shù)一組，能幫助我們數(shù)出一共有幾十個數(shù)。

學生2：在學習平均分的時候，我們會用圈一圈或者連一連的方法表示平均分的結(jié)果。

學生3：還通過畫一畫、圈一圈的方法，認識了一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍。

學生4：解決實際問題的時候，有時也要畫示意圖或者線段圖表示已知的條件和要求的問題。

學生5：學習周期問題的時候，用畫圖表示規(guī)律。

……

不同的學段，不同的學習內(nèi)容，都用到了畫圖的策略。學生在知識回顧整理的過程中可再次體會數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學知識形成中的廣泛適用性，以及數(shù)學知識學習中的重要價值[2]。

2 ? 在兩次改編的過程中，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想

在教學新知的過程中，不直接出示例題，而是對復習題進行兩次改編，在新舊知識之間架構(gòu)一個橋梁，這有助于學生更順利地理解和運用轉(zhuǎn)化思想解決問題。

（1）第一次改編：小寧和小春共有郵票72枚，已知兩人的郵票枚數(shù)一樣多，兩人各有郵票多少枚？

提問：如果讓你用畫圖的方法來表示題中的信息，你打算怎么畫？

在學生獨立畫圖的過程中，發(fā)現(xiàn)個別學生試圖畫圓片，但難以畫出，更多的學生開始嘗試畫線段圖。

追問：為什么這次不再畫圓片圖，而是畫線段圖？

發(fā)現(xiàn)：這里小寧和小春的郵票數(shù)都不確定，沒有辦法用圓片表示，而用兩段相同長度的線段能正確表示兩人郵票數(shù)量間的關(guān)系，這里使用線段圖更恰當、合適。

根據(jù)畫出的線段圖，學生發(fā)現(xiàn)這其實是關(guān)于平均分的問題，可以用除法72÷2計算出兩人均有36枚郵票。

（2）第二次改編：小寧和小春共有郵票72枚，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

讓學生根據(jù)題中的信息和問題，再次嘗試畫線段圖，并比對題目中的信息和問題，逐步完善。

提問：讀題解答，你是愿意看上面的文字信息還是看剛才完成的線段圖，為什么？

學生幾乎異口同聲地選擇看線段圖，他們在選擇比較的過程中體會到：線段圖同樣能展示題目中的信息和問題，且比文字描述更直觀清晰，便于比較數(shù)量關(guān)系。

（3）利用兩幅線段圖，針對兩次改編的習題進行比較：這兩道題中，同樣知道兩人郵票的總數(shù)，而對小春和小寧各有多少枚郵票都不確定，你覺得解決哪一題更簡單？為什么？

學生在對比中發(fā)現(xiàn)當小春和小寧的郵票枚數(shù)存在“同樣多”這一特殊情況的時候，其實就是把兩個量變成了一個量，可以直接用除法表示平均分，求出兩人各有多少枚;而在小春和小寧的郵票枚數(shù)不同樣的情況下，求兩者各自的枚數(shù)也就是要求兩個不同的量，這就存在一定的困難。

在比較中學生產(chǎn)生了把兩個不同的量轉(zhuǎn)化成一個量的需求，此時筆者適時點撥：那你能不能把這個困難的問題轉(zhuǎn)化成剛才簡單的問題呢？能否想辦法讓兩人的郵票枚數(shù)變得同樣多，然后再解決這個問題呢？請學生試著討論，利用線段圖來操作。

兩次改編，在難度上是遞進的，能充分調(diào)動學生的挑戰(zhàn)意識與探索興趣。學生在解決問題的過程中能自然而然地體會到把繁瑣的文字轉(zhuǎn)化為線段圖清晰、簡明的優(yōu)勢，又在比較中明確操作活動的方向，也就是把兩人不同的郵票枚數(shù)變成兩人同樣多的郵票枚數(shù)，把兩個量轉(zhuǎn)化成一個量。這樣的活動過程，以“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想引領(lǐng)，化困難問題為簡單問題，化陌生問題為熟悉問題，學生的學習活動目標指向明確，真正做到有的放矢。

3 ? 在操作和比較的過程中，感悟優(yōu)化的數(shù)學思想

對復習題的第一次改編使學生體會到了圓片圖的不足，他們轉(zhuǎn)而采用線段圖，這同樣是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。學生在棄與選的過程中體會到了優(yōu)化的數(shù)學思想，對數(shù)學方法應用性的認識得到了相應提高。

學生在討論活動中發(fā)現(xiàn)對同一類型的復習題，可采用假設(shè)的方法，使兩人的郵票枚數(shù)同樣多。小組學生發(fā)言的過程中，一人用語言表達想法，一人上臺操作，對原有的線段圖進行修改，動態(tài)生成了新的線段圖。這樣的過程讓學生真實地經(jīng)歷了轉(zhuǎn)化，體會了假設(shè)過程中信息是怎樣發(fā)生變化的。

（1）在線段圖中將小春多出的12枚郵票去掉，兩人郵票數(shù)量變得相同。

發(fā)現(xiàn)：不變的量：小寧（72?12）÷2=30（枚）;變化的量：小春30+12=42（枚）

（2）在線段圖上給小寧補上少的12枚郵票，兩人郵票數(shù)量變得相同。

發(fā)現(xiàn)：不變的量：小春（72+12）÷2=42（枚）;變化的量：小寧42?12=30（枚）

（3）在線段圖上小春把多出的12枚郵票分一半給小寧，兩人郵票數(shù)量變得相同。

發(fā)現(xiàn)：不變的量：小寧和小春的郵票總數(shù);變化的量：小寧72÷2?12÷2=30（枚），小春 72÷2+12÷2=42（枚）

通過對線段圖的動態(tài)操作，學生判別出了算式中不變和變化的量，再對應到算式，發(fā)現(xiàn)了不同的解決方法。對比三種方法，都有著相同的解題思路，即“把兩個不同的量轉(zhuǎn)化成一個相同的量”;第一、二種解法下，兩個量中只有其中一個量發(fā)生變化，思考過程與計算過程都更方便，而第三種方法下，兩個量都發(fā)生了改變，要求將轉(zhuǎn)化前的量還原兩次，比較麻煩。

學生在操作、評價、比較的過程中發(fā)現(xiàn)了不同思路中相同的本質(zhì)，感悟了不同的假設(shè)方法，同時還進行了優(yōu)化，得出了更佳的解題思路。

4 ? 在實踐應用的過程中，建立數(shù)學的模型思想

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》明確指出，在運用數(shù)學知識解決問題的活動中，應體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個過程要有利于學生理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學思想，積累活動經(jīng)驗。本課的教學活動正是依據(jù)這樣的過程設(shè)計與推進的，體現(xiàn)了構(gòu)建模型這一數(shù)學基本思想。從復習題到兩次改編，以題組的形式讓學生經(jīng)歷對具體情境的抽象，進而把握例題的本質(zhì)，探索出解決這類問題的一個優(yōu)化后的數(shù)學模型。

新授本課后，教師還可以安排一些變式和延伸訓練：

（1）李娟在手工課上剪了4條花邊，共90厘米。其中有3條同樣長，還有1條比其余的花邊長10厘米。算一算每條花邊長多少厘米？

（2）小明做游泳準備運動，他沿長和寬相差30米的游泳池跑了5圈，共跑了700米。問游泳池的長和寬各是多少米？

學生在后續(xù)練習中能剝離變式、延伸題中復雜的數(shù)學情境外殼，找出這類題的本質(zhì)特征，進而用學到的數(shù)學模型去解決問題，其分析和解決問題的能力得到提高，應用與創(chuàng)新意識得以增強。

綜上所述，數(shù)學思想是數(shù)學的高度抽象、是數(shù)學的靈魂，學生領(lǐng)悟、收獲數(shù)學知識背后的思想，必須要經(jīng)歷具體的學習過程。只有在教學中增強學生的學習活動體驗，才能落地數(shù)學思想方法的教學，并發(fā)展學生綜合運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題的能力，最終提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]高建軍.核心素養(yǎng)視角下對義務(wù)教育數(shù)學課程標準的研究[J].學周刊，2019（25）.

[2]葛中余.小學數(shù)學課堂中思想方法的滲透[J].清風，2020（22）.