基于深度學習的數(shù)學復習課教學探索

【摘 要】近年來深度學習理論正被廣泛運用于初中數(shù)學教學，深度學習強調(diào)應用、分析、綜合、評價的認知水平，重視學生自主參與構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，理解知識。數(shù)學復習課具有綜合性的特征，具有需要整合理解知識的教學和學習的特點。本文初步探究深度學習理論在數(shù)學復習課教學中的應用，強調(diào)以核心問題為驅(qū)動的復習課教學，提出借開放性問題引領(lǐng)學生發(fā)散思維，提供深度學習的機會;回歸本源，觸類旁通，提升深度學習的價值;抓住教學中的“意外”，用學生的探究行為開啟課堂的深度學習的數(shù)學復習課教學策略。

【關(guān)鍵詞】深度學習;問題驅(qū)動;數(shù)學復習課教學

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0034-03

深度學習理論認為，淺層學習對應知道、領(lǐng)會的認知水平，屬于低階的思維活動，注重外力驅(qū)動的學習和知識的重復記憶、簡單描述;深度學習則對應應用、分析、綜合、評價的認知水平，屬于高階的思維活動，更注重學生自主參與學習和知識的理解、應用[1]。數(shù)學復習課通常是教師感覺較為棘手的教學，一是教學的知識已被學生了解，失去了新鮮感，復習時學生難免會疲乏;二是復習內(nèi)容簡單容易形成對知識的流水賬式梳理，太難又難以讓學生跟上教學思路。對此，本文結(jié)合深度學習的特征和數(shù)學學科特點，以問題為驅(qū)動，拓寬學生的思維寬度和深度，提高復習效率的策略。

1 ? 借開放性問題引領(lǐng)學生發(fā)散思維，提供深度學習的機會

案例1：一題串通二次函數(shù)圖象與性質(zhì)

在復習二次函數(shù)圖象與性質(zhì)時，教師通常在教學開始，以表格形式展示二次函數(shù)的各類性質(zhì)、不同的二次函數(shù)表達式等，然后配以各類例題對二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行鞏固。這樣的復習方式比較有效，能夠很好地提高復習效率。深度學習旨在解放學生的思維，讓學生主動探索和思考知識。所以在教學中，筆者嘗試以一個開放性問題為啟發(fā)點，激發(fā)學生的聯(lián)想學習能力，串聯(lián)整堂復習課。

問題1：關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x?1，你能寫出哪些結(jié)論？

問題1設(shè)計評析：該問題屬于基礎(chǔ)性知識復習，學生稍作思考就能很快得出各種各樣的結(jié)論。

生1：我將該二次函數(shù)配方得到 y=2（x+1）2?2，可以知道該二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線 x=?1，頂點坐標為（?1，?2）。

生2：這個二次函數(shù)的圖象的開口向上，當x?1時，y隨x的增大而減小;當x=?1時，函數(shù)有最大值-2。

生3：該二次函數(shù)的圖象與 y軸的交點為（0，?1），與x軸的交點為（，0），（，0）。

生4：把該二次函數(shù)的圖象向上平移k個單位，二次函數(shù)的解析式就為 y=2（x+1）2?2+k;把該二次函數(shù)的圖象向左平移h個單位可得到解析式 y=2（x+1+h）2?2。

在學生從不同角度解讀該二次函數(shù)后，教師可從函數(shù)圖象的形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標、最值、增減性這幾個方面進行系統(tǒng)歸納與整理，收攏學生的發(fā)散思維。針對問題1，筆者引導學生進行了基礎(chǔ)知識的復習。

問題2：剛才有同學對二次函數(shù)y=2x2+4x?1的圖象進行了平移，那你能對它進行幾何變換嗎？通過幾何變換，你得到的二次函數(shù)解析式又怎樣？

問提2設(shè)計評析：用該問題再次啟發(fā)學生思考，于是學生進一步從關(guān)于x軸對稱、關(guān)于 y軸對稱、關(guān)于原點中心對稱這三個角度進行討論。最后，教師提出更一般性的問題，留給學生課后思考：如何求圖象關(guān)于任意一點中心對稱的二次函數(shù)解析式？

問題3：當?2 ≤ x<6時，求 y的取值范圍。

問題4：當 y>0時，求自變量 x 的取值范圍。

問題5：當 y≤ 5時，求自變量 x 的取值范圍。

問題3—5的設(shè)計評析：討論完函數(shù)本身性質(zhì)及變化后，筆者提出了問題3，考查學生在自變量有限制的情況下如何求二次函數(shù)的最值;問題4可以用高中二次不等式解法解決，但此處的目的在于利用二次函數(shù)圖象求范圍，達到對二次函數(shù)圖象的復習;問題5則更進一步，需要將二次函數(shù)與二次方程相結(jié)合，通過解方程2x2+4x?1=5，求出直線 y=5與二次函數(shù)y=2x2+4x?1的交點坐標，再利用函數(shù)圖象求范圍，進一步深度復習二次函數(shù)的圖象。

問題6：若方程2x2+4x?1=h有兩個不等實根，請直接寫出h的取值范圍。

問題7：若方程|2x2+4x?1|=h有四個不等實根，請直接寫出h的取值范圍。

問題6—7設(shè)計評析：在運用二次函數(shù)圖象解決方程、不等式的基礎(chǔ)上，進一步引入?yún)?shù)，進行更深一步的討論。問題6考查如何用二次函數(shù)圖象來解決方程含參問題;問題7涉及絕對值方程，難度較大，但是如果從二次函數(shù)圖象方面考慮，問題則變成了直線 y=h與函數(shù) y=|2x2+4x?1|的交點問題。

本節(jié)復習課，從具體的二次函數(shù)解析式入手，圍繞一個二次函數(shù)解析式，從函數(shù)圖象性質(zhì)、二次函數(shù)與二次方程、二次不等式關(guān)系、二次函數(shù)涉及參數(shù)的問題等角度進行深度探究，使學生體會到不同問題只是函數(shù)解析式變化，其考查方式、運用知識的方式不會改變，做到對知識的舉一反三。

2 ? 回歸本質(zhì)，觸類旁通，提升深度學習的價值

函數(shù)與幾何的綜合問題通常是學生學習的難點，原因在于解答此類問題需要綜合運用代數(shù)和幾何知識，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想[2]。

案例2：從點在平面直角坐標系上的意義談起。

問題1：你能談?wù)匋c P（3，4）在平面直角坐標系上的幾何意義嗎？

問題1設(shè)計評析：回歸概念的本質(zhì)，讓學生理解點坐標與幾何之間的聯(lián)系，為后續(xù)學習作鋪墊。

問題2：如圖1，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3和B1，B2，B3分別在直線和x軸上?！鱋A1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，求A1，A2，A3的坐標。

問題3：如果將頂點A1，A2，A3改為在反比例函數(shù)函數(shù)的圖象上，那么你還能求出A1，A2，A3的坐標嗎？

問題2—3設(shè)計評析：通過問題1的引導，在解決問題2的過程中，學生將體會到“設(shè)函數(shù)圖象上的點的坐標，并轉(zhuǎn)化為線段”和“設(shè)線段長，表示函數(shù)圖象上的點的坐標”兩種解題方法;在解決例題1的基礎(chǔ)上，問題3將題干中的一次函數(shù)改變?yōu)榉幢壤瘮?shù)，讓學生運用例題1的方法解決問題，然后進行兩個解后反思：

（1）回顧以上兩題的解答過程，收獲了怎樣的解題經(jīng)驗？能總結(jié)一下嗎？

（2）如果對題目中的圖形進行改變，能編擬一道類似的習題嗎？

反思1的目的在于引導學生總結(jié)解答問題的一般思路;反思2的目的在于拓展學生的思維，使學生體會到方法的統(tǒng)一性，并在自主編題的環(huán)節(jié)收獲學習數(shù)學的樂趣。

通過以上環(huán)節(jié)，學生便能夠在領(lǐng)悟方法的基礎(chǔ)上，做到靈活運用，結(jié)合題目中的幾何圖形進行改編，并體會改編后方法的統(tǒng)一性，做到“多題歸一”。

問題4：如圖2，若反比例函數(shù)與邊長為5的等邊△AOB的邊OA，AB分別相交于C，D兩點，且OC=3BD，求反比例函數(shù)解析式。

思路點撥1：如何利用OC=3BD這一條件？

思路點撥2：C，D兩點在反比例函數(shù)上這一條件如何使用？

思路點撥3：能用上面例題的方法解決本題嗎？

問題4設(shè)計評析：通過上述問題的解決過程，使學生體會到將點坐標轉(zhuǎn)化為線段長，就可以用代數(shù)式表示線段長。而幾何的數(shù)量關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系，則提供了等量關(guān)系建立方程。于是教師設(shè)計一個蘊含更復雜幾何關(guān)系的問題，需要學生在將點坐標轉(zhuǎn)化為線段列方程或?qū)⒕€段化為點坐標列方程時，挖掘隱藏更深的幾何關(guān)系，進一步強化對方法的掌握。

問題5：如圖3，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線 y=x2?4x?5 交 x 軸于 A、B ，交 y 軸于 C 。設(shè) E 是 y軸右側(cè)拋物線上異于點 B 的一個動點，過點 E 作 x 軸的平行線交拋物線于另一點 F，過點 F 作 FG 垂直于 x 軸于點 G，再過點 E 作 EH 垂直于 x軸于點 H ，得到矩形 EFGH 。當矩形 EFGH 為正方形時，求點 E 的坐標。

思路引導：①解題方案選擇：設(shè)點還是設(shè)線段長？

②設(shè)出點的坐標表達式之后，你是否可以列出方程來表示兩條線段？③如何表示線段 EF 的長度？④你是否可以列出方程，求解點E的坐標？

問題5設(shè)計評析：在學生解決以一次函數(shù)和反比例函數(shù)為背景的幾何綜合問題后，為體現(xiàn)方法的通用性，在此處引入二次函數(shù)為背景的幾何問題。同樣，學生可以利用設(shè)點轉(zhuǎn)化線段，并結(jié)合正方形的幾何性質(zhì)建立二次方程求解。此處需要提醒學生注意分類討論點E的位置，考查學生思維的嚴謹程度。

3 ?抓住教學中的“意外”，用學生的探究行為開啟課

堂的深度學習

案例3：課堂意外引起的深度探究。

初三復習課中，一位學生“意外”的回答，讓課堂偏離原本設(shè)定的教學軌跡，這在激發(fā)了學生探究熱情的同時，也意外地圓滿達到了復習目的！

在進行圓的切線復習時，教學設(shè)計為先請學生對切線長基本圖形進行簡單的結(jié)論復習，隨之進行相關(guān)的基礎(chǔ)練習與難度較大的圓的計算和證明問題。筆者展示出如圖4所示的圖象，提出問題：“根據(jù)PA、PB為圓O的切線，你能得出什么結(jié)論？”

學生回答：“根據(jù)切線長定理，可以得到PA=PB?！?/p>

另一位學生舉手答道：“如果連接PO，能得到PO平分∠APB這一結(jié)論?！?/p>

這位學生的回答似乎打開了潘多拉的盒子，啟發(fā)了更多的學生對這一基本圖形進行線段的添加，學生得到了非常豐富的結(jié)論。

學生2：“將PO延長，分別交⊙O于C、D，連接切點AB，則可以通過全等三角形證明AB垂直于PD，垂足為H，且PD垂直平分AB?！保ㄈ鐖D5）

學生3：“連接AC，由弦切角和圓周角的轉(zhuǎn)化可以證明AC平分∠APB?！保ㄈ鐖D6）

學生4：“我們發(fā)現(xiàn)這個圖形中有相似，還可以發(fā)掘出射影定理的模型，所以還可以得到線段的等積關(guān)系PC?PD=PH?PO。”

學生5：“我們常做的關(guān)于圓的習題中，需要利用三角函數(shù)結(jié)合圓中的直角三角形轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，再利用相似三角形或直角三角形進行計算，這道題應該也可以吧？”

在接下來的幾分鐘里，學生進入了自主編題的狀態(tài)，最終呈現(xiàn)出了這樣一道具有綜合考查功能的關(guān)于圓中的線段的計算題：“設(shè) tan∠CAB=，PA=4，求⊙O的半徑。”

于是這樣一節(jié)本該按部就班開展的圓的切線復習課，就在學生對圖象的“添磚加瓦”中，變成了一節(jié)探究型的幾何課堂，基本圖形發(fā)揮了其“源頭”的作用。課堂最后，學生將所得到的圖形總結(jié)如下。

如圖7，PA與PB與⊙O相切，切點為A、B，連接AB，連接PO并延長交圓O于C、D，交AH于H，連接AC。①PA=PB;②PO平分∠APB;③PD垂直平分AB;④AC平分∠PAB;⑤PC?PD=PH?PO;⑥CD2=4PO?HO;⑦設(shè)tan∠CAB=，PA=4，求⊙O的半徑[3]。

深度學習已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注，教師也漸漸將相關(guān)理論運用于數(shù)學的教學。深度的“本”在于學生，“度”在于教師，所以教師對如何提出有“深度”的問題來激發(fā)學生的思維，將學習導入“深度學習”還需要多研究和思考。

【參考文獻】

[1]潘長成.初中數(shù)學課堂促進學生深度學習的策略[J].數(shù)學學習與研究，2019（5）.

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修改稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]陳正非.中考幾何復習課中對教材例題的使用和改編[Z].成都市論文二等獎，2018.