基于高斯擬合的光纖法珀相關(guān)解調(diào)算法研究

左方俊，賈平崗，韓 超，馮 飛，熊繼軍

(中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051)

0 引 言

光纖法珀傳感器的主要原理是將被測(cè)物理量轉(zhuǎn)化為光纖法珀傳感器的腔長(zhǎng)，通過(guò)腔長(zhǎng)的變化反映出相應(yīng)物理量的變化，由于光纖法珀傳感器具有良好的抗腐蝕和抗干擾特性，目前已被廣泛應(yīng)用于橋梁健康監(jiān)測(cè)[1]、 核電健康監(jiān)測(cè)[2]、 發(fā)動(dòng)機(jī)脈動(dòng)壓力檢測(cè)等領(lǐng)域. 光纖法珀傳感器信號(hào)解調(diào)的方法主要有強(qiáng)度解調(diào)[3]和相位解調(diào)[4]，強(qiáng)度解調(diào)的解調(diào)速度快，但是解調(diào)范圍有限，而相位解調(diào)法的解調(diào)精度高、 解調(diào)范圍大，目前，常見(jiàn)的相位解調(diào)法包括峰值追蹤法[5]、 傅里葉變換法[6]以及相關(guān)運(yùn)算解調(diào)法[7], 在相關(guān)運(yùn)算解調(diào)法中非掃描式互相關(guān)解調(diào)系統(tǒng)因?yàn)槭褂糜布M(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算，擁有可動(dòng)部件少、 成本低、 準(zhǔn)確性高等優(yōu)點(diǎn)而受到了廣泛的研究.

非掃描式相關(guān)光纖法珀解調(diào)的解算方法主要包括： 基于干涉圖樣相位的解調(diào)法和基于干涉圖樣位置的解調(diào)法等. 2015年，李鈞壽等人[8]利用小波提取干涉圖樣的包絡(luò)，采用包絡(luò)最大值位置解調(diào)光纖法珀傳感器的腔長(zhǎng)，腔長(zhǎng)解調(diào)的誤差僅為5 nm； 2020年，Wang等人[9]利用質(zhì)心法解調(diào)峰值位置，再利用7步相移法解調(diào)出干涉圖樣的相位信息，從而解調(diào)出峰位的準(zhǔn)確位置，配合相應(yīng)的傳感器，滿(mǎn)量程的測(cè)量誤差低于0.019%. 目前的算法無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足解調(diào)精度和解調(diào)速度的要求，因此提高算法的解調(diào)精度和速度對(duì)光纖法珀傳感器的應(yīng)用具有重要意義. 本文根據(jù)非掃描式光纖法珀解調(diào)的原理，分析了非掃描式光纖法珀解調(diào)系統(tǒng)的信號(hào)特點(diǎn)，研究了一種基于高斯擬合的解調(diào)算法； 通過(guò)軟件仿真分析了該算法的可行性和可靠性，并在FPGA+DSP的樣機(jī)系統(tǒng)上對(duì)該算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1 非掃描式相關(guān)解調(diào)原理

非掃描式光纖法珀傳感器的解調(diào)系統(tǒng)由寬帶光源、 1×2耦合器以及解調(diào)儀組成，該解調(diào)系統(tǒng)使用寬帶光源供光，寬帶光源發(fā)出的光耦合進(jìn)62.5/125 μm 的光纖后，沿著1×2耦合器傳輸至光纖法珀傳感器，在法珀腔的內(nèi)部發(fā)生多光束干涉，法珀傳感器的反射光攜帶腔長(zhǎng)信息返回至耦合器，經(jīng)過(guò)耦合器的分光，其中一路反射光從耦合器的另一端出射，最后經(jīng)過(guò)準(zhǔn)直系統(tǒng)的變換后在光楔表面發(fā)生干涉，干涉的透射光由光電耦合器件(CCD)探測(cè)，實(shí)現(xiàn)光電轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的模擬電信號(hào)經(jīng)過(guò)硬件電路的采集處理后就能解算出傳感器的腔長(zhǎng)信息，系統(tǒng)的原理如圖1 所示.

圖1 解調(diào)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of demodulation system

根據(jù)非掃描式相關(guān)解調(diào)的原理[10]，CCD探測(cè)到的光強(qiáng)在空間上的分布滿(mǎn)足

式中：I(λ)為光源隨波長(zhǎng)的分布函數(shù)；R1為傳感器兩個(gè)端面的反射率；R2為光楔兩個(gè)面的反射率；L為法珀傳感器的腔長(zhǎng)；l為光楔兩個(gè)面之間的厚度；λmax和λmin是光源的波長(zhǎng)范圍；I(λ)為光源的光譜分布.

根據(jù)相關(guān)解調(diào)的理論，當(dāng)L=l時(shí)會(huì)出現(xiàn)干涉峰的最大值，而光楔兩個(gè)面之間的厚度l的大小與CCD的像元位置是一一對(duì)應(yīng)的，即在L=l處CCD探測(cè)到的光強(qiáng)達(dá)到最大，通過(guò)解算CCD像元探測(cè)到的光強(qiáng)最大位置就能解調(diào)出腔長(zhǎng).

由于CCD的像元是離散的，每個(gè)像元之間有一定的間隔，而式(1)所示的光強(qiáng)分布是連續(xù)的，光強(qiáng)最大值出現(xiàn)的位置有可能在兩個(gè)像元的中間，這就降低了解調(diào)的精度，此時(shí)需要算法擬合兩個(gè)像元間隔處的光強(qiáng)分布，從而提高解調(diào)的精度. 為此本文對(duì)式(1)進(jìn)行理論仿真，取法珀傳感器的腔長(zhǎng)L=15 μm，即可得到如圖2 的光強(qiáng)隨光楔厚度l的分布，通過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，干涉信號(hào)的每個(gè)峰都呈現(xiàn)一種類(lèi)似于高斯分布的狀態(tài)，可以采用高斯擬合的方法得到連續(xù)的光強(qiáng)分布，對(duì)圖2 所示的信號(hào)進(jìn)行測(cè)試，取光強(qiáng)最大位置附近的N個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行高斯擬合，得到如圖3 的擬合曲線，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)理論計(jì)算，曲線的擬合度可以達(dá)到0.999 92，擬合曲線與非掃描式光纖解調(diào)儀的干涉圖譜有比較高的擬合度，因此，光強(qiáng)最大位置附近的信號(hào)可以用高斯擬合來(lái)確定光強(qiáng)出現(xiàn)最大位置處的詳細(xì)坐標(biāo).

圖2 干涉信號(hào)仿真Fig.2 Simulation of interference signals

圖3 峰值附近的信號(hào)Fig.3 Signals near the peak

2 高斯擬合算法

由于非掃描式互相關(guān)解調(diào)系統(tǒng)的干涉信號(hào)在峰值處與高斯函數(shù)具有非常高的擬合度，因此本文研究了一種基于高斯擬合的非掃描式互相關(guān)解調(diào)系統(tǒng)的算法，該算法以非掃描式光纖法珀解調(diào)原理為基礎(chǔ)，先通過(guò)最大值尋峰算法尋找到相關(guān)信號(hào)的位置，再采用高斯擬合求出精確的位置，提高解調(diào)精度.

2.1 高斯擬合原理

高斯函數(shù)[11]的一維形式為

y=Aexp(-(x-u)2/2σ2.

(2)

對(duì)式(2)兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到化簡(jiǎn)形式

(3)

令

(4)

將所有試驗(yàn)的數(shù)據(jù)帶入式(3)，即可得到如式(5) 所示的矩陣

(5)

簡(jiǎn)記為

Z=XB.

(6)

根據(jù)最小二乘原理得到

B=(XTX)-1XTZ.

(7)

根據(jù)式(4)即可得到高斯函數(shù)峰值位置以及峰值.

2.2 算法仿真

算法采用最大值尋峰算法與高斯擬合算法相結(jié)合的方式，實(shí)現(xiàn)光纖法珀傳感器的腔長(zhǎng)解調(diào)，具體實(shí)現(xiàn)流程如下：

1) 利用最大值尋峰算法找到CCD采集到的最大信號(hào)的粗略像元位置Pn；

2) 提取出最大信號(hào)的像元左右各12個(gè)點(diǎn)的信號(hào)強(qiáng)度In-12，In-11,…In+11,In+12；

3) 將取出的信號(hào)強(qiáng)度In以及對(duì)應(yīng)位置Pn進(jìn)行高斯擬合，得到高斯擬合函數(shù)的峰值和峰值位置(Im,Pm);

4) 對(duì)得到的Im進(jìn)行標(biāo)定，即可得到傳感器腔長(zhǎng)L.

為了確定算法的可行性與穩(wěn)定性，采用軟件對(duì)CCD的采樣過(guò)程進(jìn)行模擬，并用高斯擬合算法和最大值尋峰算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解調(diào). CCD探測(cè)到的光強(qiáng)分布服從式(1)，仿真過(guò)程中取傳感器兩個(gè)端面的反射率R1=0.04，光楔兩個(gè)面的反射率R2=0.3； 傳感器腔長(zhǎng)為16 520 nm，得到10 240個(gè)點(diǎn)理想的光強(qiáng)分布，為了模擬CCD的采樣過(guò)程，將數(shù)據(jù)每隔5個(gè)點(diǎn)采樣1次，得到了CCD采集到的光強(qiáng)隨像元分布的圖樣.

分別使用最大值尋峰法、 高斯擬合法對(duì)圖4 所示的CCD采集信號(hào)進(jìn)行解調(diào)仿真，為了模擬實(shí)際的信號(hào)質(zhì)量，仿真過(guò)程中在信號(hào)中加入高斯白噪聲，使得信號(hào)信噪比為30 dB. 傳感器的初始腔長(zhǎng)設(shè)定為16 520 nm，每次仿真腔長(zhǎng)的增加量為1 nm，連續(xù)仿真1 000次，腔長(zhǎng)總變化量1 μm，仿真結(jié)果如圖5 所示，從圖5 中可見(jiàn)，由于采集數(shù)據(jù)的離散化，最大值尋峰算法解調(diào)出來(lái)的腔長(zhǎng)呈現(xiàn)一種階梯狀的變化，而高斯擬合后的解調(diào)結(jié)果呈現(xiàn)一種良好的線性變化. 這與仿真的設(shè)定相吻合，將仿真的1 000組解調(diào)結(jié)果與理論腔長(zhǎng)之間作比較，得出仿真的理論誤差如圖6 所示，在1 000次的仿真過(guò)程中，使用高斯擬合算法的最大誤差為2.18 nm，誤差平均值為0.998 6 nm，計(jì)算誤差在±2 nm之間，具有良好的解調(diào)精度. 在僅僅使用最大值尋峰法的情況下，解調(diào)結(jié)果如圖7 所示，在1 000次的解調(diào)結(jié)果中解調(diào)誤差最大可達(dá)7.674 nm，整體誤差比較大，因此，高斯擬合算法對(duì)于最大值尋峰算法的解調(diào)精度有極大的提高.

圖4 CCD采集仿真

圖5 仿真1 000次的解調(diào)結(jié)果Fig.5 Simulate the demodulation results of 1 000 times

圖6 高斯擬合解調(diào)誤差

圖7 最大值尋峰法解調(diào)誤差

為了驗(yàn)證算法的穩(wěn)定性，在信號(hào)信噪比為30 dB 的情況下，設(shè)定傳感器腔長(zhǎng)為16 520 nm，在保持傳感器腔長(zhǎng)不變的情況下，對(duì)信號(hào)進(jìn)行1 000次的連續(xù)解調(diào)仿真，解調(diào)結(jié)果如圖8 所示，在這1 000次的解調(diào)仿真過(guò)程中，解調(diào)結(jié)果的最大誤差為1.93 nm，連續(xù)測(cè)量的1 000組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.288 6 nm，解調(diào)結(jié)果的波動(dòng)比較穩(wěn)定.

圖8 腔長(zhǎng)不變時(shí)的1 000次解調(diào)結(jié)果

為了仿真高斯擬合算法在不同信噪比情況下的解調(diào)結(jié)果的變化，使用軟件對(duì)高斯擬合算法進(jìn)行仿真，傳感器腔長(zhǎng)為16 520 nm，得到圖2 的理想信號(hào)，在仿真的信號(hào)中加入不同能量的高斯白噪聲，使得信號(hào)的信噪比分別為20 dB，30 dB，40 dB，50 dB 以及60 dB，再使用尋峰與高斯擬合結(jié)合的算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行解算，結(jié)算結(jié)果如表 1 所示.

表 1 不同信噪比情況下的解調(diào)結(jié)果Tab.1 The result of demodulation under different SNR

當(dāng)信號(hào)的信噪比較高時(shí)，最大值尋峰算法的解調(diào)結(jié)果比較穩(wěn)定，解調(diào)結(jié)果與理論值之間的差值為3.83 nm，加入高斯擬合的解調(diào)結(jié)果與理論值最大相差1.78 nm，加入高斯擬合算法的解調(diào)結(jié)果更為精確. 在信號(hào)信噪比較低時(shí)，最大值尋峰算法的解調(diào)結(jié)果與理論值相差5.4 nm，而加入高斯擬合算法后的解調(diào)誤差最大為1.14 nm，因此加入的高斯擬合算法具有良好的抗干擾特性，解調(diào)的信號(hào)不需要具有較高的信噪比，但是由于高斯解調(diào)算法的應(yīng)用前提是尋峰算法解算出峰值最大值的大概位置，信噪比太低會(huì)影響尋峰算法的解調(diào)結(jié)果. 加入的高斯擬合算法具有抗干擾的能力，在一定程度上降低了濾波器設(shè)計(jì)的難度.

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

為了檢驗(yàn)在實(shí)際工況情況下算法的性能，設(shè)計(jì)了一臺(tái)處理器為FPGA+DSP的解調(diào)樣機(jī)，樣機(jī)使用TCD1304對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集，該款CCD擁有2 048個(gè)像元，探測(cè)靈敏度可達(dá)160 V/(lx·s)，采集出來(lái)的信號(hào)先在FPGA中實(shí)現(xiàn)最大值尋峰算法，對(duì)原始譜進(jìn)行初步解調(diào)求出峰位，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)傳輸至DSP中，實(shí)現(xiàn)高斯擬合以及數(shù)據(jù)標(biāo)定，解調(diào)樣機(jī)采集到的原始譜如圖9 所示，經(jīng)過(guò)多次測(cè)量，該算法在DSP中運(yùn)行的時(shí)間大概為 700 μs.

圖9 CCD采集的光強(qiáng)分布Fig.9 Light intensity distribution collected by CCD

為了測(cè)量系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)對(duì)光纖法珀傳感器進(jìn)行解調(diào)，連續(xù)測(cè)量800次，采集到的解調(diào)結(jié)果如圖10 所示，采集的數(shù)據(jù)平均值為 16 420.25 nm，解調(diào)結(jié)果誤差的均方值為1.643 nm.

圖10 系統(tǒng)穩(wěn)定性測(cè)試Fig.10 The stability test of system

4 結(jié) 論

本文研究了一種基于高斯擬合的非掃描式相關(guān)解調(diào)算法，利用非掃描式相關(guān)解調(diào)原理中CCD采集光強(qiáng)的分布形式，對(duì)峰位進(jìn)行高斯擬合，從而獲得高精度的峰位解調(diào)，仿真證明，該算法有比較好的抗干擾性能，可以抑制信號(hào)噪聲對(duì)解調(diào)的影響，解調(diào)的精度比較高，實(shí)際檢驗(yàn)證明，該算法的解調(diào)精度可以達(dá)到1.643 nm，在FPGA+DSP的硬件電路上解調(diào)的運(yùn)算時(shí)間只有700 μs，硬件的解調(diào)時(shí)間短，對(duì)于非掃描式相關(guān)解調(diào)的工程化具有較大的應(yīng)用價(jià)值.