基于改進(jìn)自回歸流模型的壩基三維裂隙網(wǎng)絡(luò)多參數(shù)模擬

張亦弛，呂明明，關(guān) 濤，王佳俊，余 佳，任炳昱

（天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

1 研究背景

對(duì)于水電工程壩基裂隙巖體，探明其內(nèi)部的裂隙發(fā)育情況能夠?yàn)閴位こ痰刭|(zhì)分析與決策提供關(guān)鍵依據(jù)，對(duì)于保障水電工程的安全穩(wěn)定具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義［1-3］。裂隙是指巖石受到構(gòu)造變形的破裂作用或物理成巖作用形成的沒(méi)有明顯位移的面狀不連續(xù)體［4］，在巖體內(nèi)部常呈現(xiàn)網(wǎng)狀分布。離散裂隙網(wǎng)絡(luò)（Discrete Fracture Networks，DFN）模型是由Baecher 等［5］提出的一種研究裂隙空間展布的有效手段，該方法將每一個(gè)裂隙表達(dá)為一個(gè)具有厚度的圓盤(pán)模型?；趶膸r體表面露頭與內(nèi)部鉆孔中觀測(cè)的裂隙先驗(yàn)信息，通過(guò)示性點(diǎn)過(guò)程進(jìn)行裂隙網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)建模，其中點(diǎn)過(guò)程基于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程確定裂隙中心點(diǎn)的位置［6］，示性過(guò)程確定裂隙的屬性，即圓盤(pán)裂隙的幾何參數(shù)［4］。

三維離散裂隙網(wǎng)絡(luò)模型本質(zhì)上是對(duì)巖體內(nèi)裂隙的傾向、傾角、直徑、開(kāi)度等屬性特征聯(lián)合分布的幾何表達(dá)［4，6］，因此，裂隙網(wǎng)絡(luò)的多參數(shù)模擬是目前的研究趨勢(shì)［6-8］，其關(guān)鍵問(wèn)題在于對(duì)裂隙的幾何參數(shù)之間的多維聯(lián)合分布進(jìn)行概率密度估計(jì)與采樣?，F(xiàn)有的DFN 建模方法通常假設(shè)裂隙的幾何參數(shù)之間互相獨(dú)立，并采用典型分布對(duì)每個(gè)參數(shù)的邊緣分布進(jìn)行概率密度估計(jì)（Probability Density Estima?tion）與采樣（Sampling），例如：描述直徑與跡長(zhǎng)的Gamma 分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布、描述開(kāi)度的負(fù)指數(shù)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布、描述走向的Von-Mises 分布等［4，6，9］。Mendoza-Torres 等［10］的研究指出現(xiàn)有DFN建模研究通常采用的單參數(shù)模擬方法忽略了裂隙幾何參數(shù)之間可能存在的相關(guān)性［10］，當(dāng)實(shí)測(cè)裂隙參數(shù)之間不獨(dú)立時(shí)，分別從各邊緣分布中抽樣的結(jié)果不一定會(huì)服從聯(lián)合分布，相反，直接對(duì)聯(lián)合分布進(jìn)行估計(jì)的方法自然地考慮了參數(shù)之間的相關(guān)性［10］。然而，傳統(tǒng)的DFN 建模方法僅針對(duì)傾向與傾角參數(shù)考慮了聯(lián)合分布估計(jì)的問(wèn)題，且仍然采用典型分布假設(shè)，包括：Fisher 分布、雙正態(tài)分布、Bing?ham 分布、Kent 分布等［6，11］。事實(shí)上，由于巖體內(nèi)部裂隙發(fā)育的內(nèi)在規(guī)律十分復(fù)雜，工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中三個(gè)以上裂隙幾何參數(shù)的聯(lián)合分布一般不符合上述幾種典型分布中的任何一種［10］，此時(shí)基于典型分布的估計(jì)方法缺乏足夠的擬合能力［10］，且嚴(yán)格的分布類(lèi)型假設(shè)可能帶來(lái)偏倚與誤差［10-11］。綜上，目前的DFN 建模方法面臨著難以有效擬合多維幾何參數(shù)的聯(lián)合分布的難題，亟待提出一種能夠靈活且準(zhǔn)確地對(duì)實(shí)測(cè)裂隙的多參數(shù)聯(lián)合分布進(jìn)行概率密度估計(jì)與采樣的方法，從而實(shí)現(xiàn)DFN 的多參數(shù)模擬。

深度生成模型屬于一種深度學(xué)習(xí)模型［12-13］，其優(yōu)勢(shì)在于能夠?qū)W習(xí)分布類(lèi)型未知的高維聯(lián)合分布并從中采集高質(zhì)量的樣本，能夠克服傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型難以擴(kuò)展到高維問(wèn)題的不足［14-15］，對(duì)于突破DFN多參數(shù)模擬的瓶頸具有較大的潛力。深度生成模型近幾年開(kāi)始被應(yīng)用于建立更加真實(shí)的大尺度地質(zhì)構(gòu)造三維模型［16］，但尚未被引入DFN 建模的研究中［17-18］。

2017年，Papamakarios 等［19］與Kingma 等［20］提出了一種新的深度生成模型——自回歸流（Autore?gressive Flow），該模型通過(guò)建立易解的概率密度（Tractable Density）實(shí)現(xiàn)對(duì)于復(fù)雜分布下對(duì)數(shù)似然函數(shù)值的精確計(jì)算［21］，克服了其他基于變分推斷（Variational Inference）的深度生成模型需要對(duì)概率密度進(jìn)行近似估計(jì)的不足［12］，具備能夠?qū)崿F(xiàn)更加準(zhǔn)確的概率密度極大似然估計(jì)的優(yōu)勢(shì)［14-15］，因而成為了目前深度生成模型領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，應(yīng)用于概率密度估計(jì)［19］、變分推斷［20］、圖像生成［22］、語(yǔ)音合成［23］、文本生成［24］等方向的研究。本文將自回歸流模型引入DFN 建模中。裂隙網(wǎng)絡(luò)的幾何參數(shù)通常具備優(yōu)勢(shì)分組的現(xiàn)象，即巖體在多次構(gòu)造作用下產(chǎn)生的裂隙網(wǎng)絡(luò)的幾何參數(shù)聚集于幾個(gè)峰值附近［6，8］，導(dǎo)致其幾何參數(shù)的分布呈現(xiàn)出多峰的特點(diǎn)。然而，自回歸流模型的初始分布通常采用一個(gè)單峰的高斯分布，對(duì)于多峰分布的估計(jì)能力有待提高。因此，本文提出基于改進(jìn)自回歸流模型的裂隙多參數(shù)模擬方法，將自回歸流模型的標(biāo)準(zhǔn)化特征空間的高斯分布改進(jìn)為高斯混合分布并結(jié)合DensityPeak 聚類(lèi)算法［25］提出了密度峰值聚類(lèi)自回歸流（Density Peak Clustering Autoregressive Flow，DPCAF）模型。其中，密度峰值聚類(lèi)（Density Peak Clustering）算法于2014年發(fā)表于Science［25］，是目前最受關(guān)注的聚類(lèi)算法之一，具有能夠從任意維度任意形狀的數(shù)據(jù)中快速確定簇的數(shù)量與聚類(lèi)中心的優(yōu)勢(shì)［26］，適用于裂隙幾何參數(shù)的聚類(lèi)問(wèn)題。本文提出DPCAF 模型以期能夠有效擬合裂隙幾何參數(shù)的多維多峰聯(lián)合分布，有效提高裂隙網(wǎng)絡(luò)多參數(shù)模擬的精度，并使得DFN 模型更加真實(shí)地反映巖體內(nèi)部的裂隙分布。

2 研究框架

提出的基于密度峰值聚類(lèi)自回歸流（Density Peak Clustering Autoregressive Flow，DPCAF）模型的三維裂隙網(wǎng)絡(luò)建模方法的研究框架如圖1所示，具體如下：

圖1 研究框架

（1）建立壩基裂隙數(shù)據(jù)集。從壩基裂隙巖體的鉆孔圖像數(shù)據(jù)中提取出巖體內(nèi)部裂隙的傾向、傾角、開(kāi)度三個(gè)維度的幾何信息［6，27-28］，由于鉆孔圖像中未包含裂隙直徑信息，從建基面測(cè)窗數(shù)據(jù)中統(tǒng)計(jì)裂隙跡長(zhǎng)的分布，用于輔助推斷裂隙直徑參數(shù)；

（2）建立DPCAF 深度生成模型。將自回歸流模型標(biāo)準(zhǔn)化特征空間的基礎(chǔ)分布由標(biāo)準(zhǔn)高斯分布改進(jìn)為高斯混合分布，并結(jié)合DensityPeak 聚類(lèi)算法確定裂隙分組數(shù)量與聚類(lèi)中心，建立改進(jìn)的自回歸流模型DPCAF，利用產(chǎn)狀與開(kāi)度的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)集訓(xùn)練DPCAF 模型參數(shù)；

（3）多參數(shù)聯(lián)合分布擬合。利用訓(xùn)練完成的DPCAF 模型對(duì)傾向、傾角、開(kāi)度參數(shù)的聯(lián)合分布進(jìn)行概率密度估計(jì)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)多參數(shù)優(yōu)勢(shì)分組；

（4）DFN 模型建立?；诹严抖鄥?shù)優(yōu)勢(shì)分組結(jié)果，聯(lián)合測(cè)窗數(shù)據(jù)與鉆孔圖像數(shù)據(jù)對(duì)每組裂隙的體密度（單位體積內(nèi)的裂隙數(shù)量）進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)泊松過(guò)程得到各組裂隙中每一個(gè)裂隙面的中心點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)；利用DPCAF 模型對(duì)傾向、傾角、開(kāi)度參數(shù)隨機(jī)采樣；基于測(cè)窗數(shù)據(jù)中的裂隙跡長(zhǎng)分布優(yōu)化裂隙直徑參數(shù)；最后，基于圓盤(pán)裂隙模型，建立三維離散裂隙網(wǎng)絡(luò)。

3 基于密度峰值聚類(lèi)自回歸流的DFN 多參數(shù)模擬方法

3.1 密度峰值聚類(lèi)自回歸流模型由于裂隙網(wǎng)絡(luò)的幾何參數(shù)普遍存在優(yōu)勢(shì)分組的現(xiàn)象，其分布呈現(xiàn)出多峰的特點(diǎn)。然而，自回歸流模型的初始分布采用一個(gè)單峰的高斯分布，估計(jì)多峰的概率密度的能力有待提高。針對(duì)以上不足，本文提出的DPCAF 模型，將自回歸流模型的標(biāo)準(zhǔn)化空間的高斯分布改進(jìn)為一個(gè)由均值、方差和各分支的混合比例所參數(shù)化的高斯混合分布，并結(jié)合DensityPeak 算法，以無(wú)監(jiān)督的形式實(shí)現(xiàn)裂隙多參數(shù)優(yōu)勢(shì)分組與多參數(shù)聯(lián)合概率密度估計(jì)的多任務(wù)學(xué)習(xí)，提高對(duì)實(shí)測(cè)裂隙數(shù)據(jù)多峰分布的擬合精度。

自回歸流模型屬于一種標(biāo)準(zhǔn)化流（Normalizing Flow）［14-15］，如圖2所示，其核心思想是將一系列簡(jiǎn)單的可逆變換函數(shù)作為組件以“流”的形式依次嵌套為一個(gè)可逆的復(fù)合函數(shù)，構(gòu)造出一個(gè)具有更強(qiáng)擬合能力的非線(xiàn)性雙射，通過(guò)在實(shí)際數(shù)據(jù)的目標(biāo)分布與已知的基礎(chǔ)分布之間互相轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)多維聯(lián)合分布的估計(jì)。

圖2 自回歸流模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［19］

令隨機(jī)變量Z ∈RD服從已知的基礎(chǔ)分布，隨機(jī)變量服從目標(biāo)分布。利用N 個(gè)雙射函數(shù) f1，f2，…，fN的復(fù)合函數(shù)f 構(gòu)建可逆變換，將基礎(chǔ)分布變換為一個(gè)未知的目標(biāo)分布，即，其逆變換為雙射函數(shù) g1，g2，…，gN的復(fù)合函數(shù)g，即。 根據(jù)Change-of-Variables 公式［14］，令J 為雅克比行列式算子，則目標(biāo)分布的概率密度函數(shù)如下：

變換f 的方向稱(chēng)作生成方向（Generative Direction），是進(jìn)行采樣時(shí)的數(shù)據(jù)流向，逆變換g 的方向稱(chēng)作標(biāo)準(zhǔn)化方向（Normalizing Direction），通常將復(fù)雜不規(guī)則的目標(biāo)分布變換為多元標(biāo)準(zhǔn)高斯分布［19-20］，是評(píng)估模型概率密度值的數(shù)據(jù)流向，如圖2所示。為了保證模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)的計(jì)算效率，要求可逆變換f 具有易解的雅克比行列式（Tractable Jacobian Determinant）。因此，引入另一種深度生成模型——自回歸模型（Auto-Regressive Model，AR）［29］，該模型基于概率鏈?zhǔn)椒▌t將聯(lián)合概率密度分解為每一個(gè)維數(shù)上的條件概率的乘積［29］，并逐個(gè)對(duì)每一維數(shù)據(jù)的條件概率分布進(jìn)行“自回歸”計(jì)算。以自回歸模型作為雙射函數(shù) fi的標(biāo)準(zhǔn)化流模型稱(chēng)作自回歸流模型（Autoregressive Flow）［19-20］，其中雙射函數(shù) fi具有如下的自回歸形式：

式中：τ稱(chēng)作變換函數(shù)（transformer）［14］；ci稱(chēng)作第i 個(gè)調(diào)節(jié)函數(shù)（conditioner）；。

該公式的自回歸特性體現(xiàn)在：第i 個(gè)調(diào)節(jié)函數(shù)ci只能以第1 個(gè)至第i-1 個(gè)維度的變量z1:i-1為輸入，其雅克比矩陣為下三角陣。將公式（2）作為Normalizing 方向的逆變換g［19］，并選擇仿射變換形式的變換函數(shù)τ［14］，如下：

式（3）中的變換函數(shù)τ是可逆的，且形式簡(jiǎn)潔且引入的參數(shù)量較少，在實(shí)測(cè)裂隙數(shù)據(jù)的小樣本數(shù)據(jù)集上不易過(guò)擬合［19-20］，同時(shí)對(duì)于裂隙數(shù)據(jù)具備足夠的擬合能力。此時(shí)雅克比行列式的絕對(duì)值為：

用掩模自編碼器（Masked AutoEncoder for Density Estimation，MADE）［29］構(gòu)建調(diào)節(jié)函數(shù)ci，對(duì)多參數(shù)之間的相關(guān)性進(jìn)行建模，逐個(gè)計(jì)算每個(gè)參數(shù)的條件概率并依據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t求得聯(lián)合概率密度。在訓(xùn)練自回歸流模型的過(guò)程中，直接將負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)作為損失函數(shù)，通過(guò)梯度下降對(duì)每一個(gè)雙射函數(shù) fi內(nèi)部的仿射變換參數(shù)與掩模自編碼器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

本文提出的DPCAF 模型中，基于高斯混合分布與密度峰值聚類(lèi)改進(jìn)自回歸流模型的方法如下：

首先，建立混合高斯分布作為DPCAF 模型的基礎(chǔ)分布。高斯混合分布是一種混合分布，記作：

式中：Gi為混合分支，服從高斯分布；為支密度；為混合比例。

利用DensityPeak 算法搜索密度峰值點(diǎn)作為聚類(lèi)中心，將簇的數(shù)量作為高斯混合分布中分量的數(shù)量，定義DPCAF 模型的基礎(chǔ)分布，其中每一個(gè)分量對(duì)應(yīng)裂隙網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)優(yōu)勢(shì)分組。將深度生成模型的先驗(yàn)分布由單峰分布改進(jìn)為混合分布是提高模型對(duì)于多峰分布擬合能力的有效手段［30-32］。以赤平極射投影圖上的裂隙產(chǎn)狀數(shù)據(jù)為例，對(duì)比自回歸流模型與DPCAF 模型的基礎(chǔ)分布，如圖3所示。

圖3 DPCAF 模型改進(jìn)自回歸流模型示意

DensityPeak 算法所定義的密度峰值點(diǎn)包含兩方面特征［25］：（1）該點(diǎn)的局部密度大于其鄰近數(shù)據(jù)點(diǎn)；（2）該點(diǎn)與比它密度更高的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離較遠(yuǎn)。

式中：ρi為局部密度，1/mm3；dc為截?cái)嗑嚯x，mm；dij為數(shù)據(jù)點(diǎn)i 至數(shù)據(jù)點(diǎn)j 的距離，mm。當(dāng)a<0時(shí)當(dāng)a ≥0 時(shí)。

式中δi為與密度更高點(diǎn)的距離，mm。

其次，在以局部密度ρi為橫坐標(biāo)，以距離δi為縱坐標(biāo)，繪制出DensityPeak 決策圖上，自動(dòng)提取出聚類(lèi)中心附近的少量樣本點(diǎn)，作為已知分組標(biāo)簽的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。搜索標(biāo)簽數(shù)據(jù)的規(guī)則如下：（1）樣本點(diǎn)按照其在決策圖上的局部密度從大到小的順序篩選；（2）樣本點(diǎn)與具有更高密度的最近點(diǎn)的距離大于設(shè)定的δ0距離閾值，mm。

最后，利用分布擬合空間的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與DensityPeak 算法提取的部分?jǐn)?shù)據(jù)標(biāo)簽訓(xùn)練DPCAF 模型。將自回歸流的基礎(chǔ)分布定義為：

式中：高斯混合分布的混合分支數(shù)量為M，其中第k 個(gè)是均值為μk標(biāo)準(zhǔn)差為σk的高斯分布。

在最大似然估計(jì)的過(guò)程中對(duì)式（9）中的聯(lián)合似然函數(shù)進(jìn)行最大化。根據(jù)貝葉斯定理，利用上述概率密度估計(jì)的結(jié)果計(jì)算出已知樣本點(diǎn)x 條件下標(biāo)簽l 的條件分布，并訓(xùn)練貝葉斯分類(lèi)器實(shí)現(xiàn)裂隙分組。

3.2 基于DPCAF 模型的壩基巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)多參數(shù)模擬流程為了更好地揭示鉆孔圖像數(shù)據(jù)中傾角、傾向、開(kāi)度三個(gè)裂隙幾何參數(shù)的分布，本文建立了一個(gè)可逆的球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)映射到分布擬合空間的點(diǎn)，如圖4所示。其中：α 為裂隙面傾向，（°）；β 為裂隙面傾角，（°）；δ 為裂隙開(kāi)度，又稱(chēng)作隙寬，mm；x，y，z 為分布擬合空間中的直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。其中對(duì)于裂隙開(kāi)度這一維度，本文使用數(shù)據(jù)點(diǎn)到球坐標(biāo)中心點(diǎn)的徑向距離對(duì)其進(jìn)行表征，建立球面半徑與開(kāi)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為，單位統(tǒng)一采用mm，其中δ0為開(kāi)度的平均水平，實(shí)際工程的裂隙開(kāi)度一般位于毫米至厘米量級(jí)，因此取δ0為10 mm，R0是開(kāi)度等于δ0時(shí)的球面半徑，其數(shù)值也取為10 mm，λ 為縮放系數(shù)，本文取為0.1。

圖4 裂隙傾向、傾角、開(kāi)度參數(shù)的球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過(guò)程

DFN 多參數(shù)模擬的具體步驟如下：

（1）將傾角、傾向、開(kāi)度的原始實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)上述球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為分布擬合空間的數(shù)據(jù)，并對(duì)DPCAF 模型進(jìn)行訓(xùn)練，將DPCAF 模型輸出的分布擬合空間每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的標(biāo)簽映射回原始數(shù)據(jù)，得到三個(gè)參數(shù)的優(yōu)勢(shì)分組結(jié)果；

（2）DPCAF 模型輸出分布擬合空間的聯(lián)合概率密度函數(shù)，對(duì)從中采集的樣本進(jìn)行球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的逆變換，從而得到傾角、傾向、開(kāi)度參數(shù)的隨機(jī)模擬結(jié)果；

（3）基于裂隙網(wǎng)絡(luò)參數(shù)化建模計(jì)算模擬跡長(zhǎng)分布下實(shí)測(cè)跡長(zhǎng)數(shù)據(jù)平均對(duì)數(shù)似然，以裂隙直徑Gam?ma 分布的形狀參數(shù)和逆尺度參數(shù)為控制變量，以最大化似然函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，利用粒子群優(yōu)化（Par?ticle Swarm Optimization，PSO）算法［33］進(jìn)行求解，從而得到直徑參數(shù)的隨機(jī)模擬結(jié)果。

4 工程實(shí)例

以我國(guó)西南某水電工程的壩基巖體為研究對(duì)象，基于所提出的基于DPCAF 模型的DFN 多參數(shù)模擬方法，針對(duì)河床高程范圍內(nèi)的建基面下方50m×30m×30m（長(zhǎng)×寬×深）區(qū)域范圍內(nèi)的裂隙網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行三維建模。鉆孔圖像數(shù)據(jù)包含309 條實(shí)測(cè)裂隙，開(kāi)挖面測(cè)窗數(shù)據(jù)包含231 條實(shí)測(cè)裂隙，如圖5所示。

圖5 壩基巖體裂隙數(shù)據(jù)

4.1 基于DPCAF 模型的壩基DFN 多參數(shù)模擬從鉆孔圖像中提取的傾向、傾角與開(kāi)度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至分布擬合空間的結(jié)果如圖6所示，圖中黑色的點(diǎn)代表轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)據(jù)，半透明的半球面是開(kāi)度等于10 mm 的等參面。

首先，利用DensityPeak 聚類(lèi)算法確定聚類(lèi)的分組數(shù)量，以及每一組的聚類(lèi)中心?？梢悦黠@地發(fā)現(xiàn)DensityPeak 決策圖的右上角出現(xiàn)三個(gè)聚類(lèi)中心點(diǎn)，而其余點(diǎn)均分布于靠近橫軸的區(qū)域，因此優(yōu)勢(shì)分組數(shù)量為3 組。將決策圖中的點(diǎn)映射回三維坐標(biāo)系內(nèi)可以定位三個(gè)聚類(lèi)中心的位置，如圖6所示。在DensityPeak 決策圖上自動(dòng)搜索聚類(lèi)中心附近的標(biāo)簽數(shù)據(jù)，設(shè)定標(biāo)簽數(shù)據(jù)在決策圖中縱坐標(biāo)的閾值為圖6 中的紅色虛線(xiàn)，最終得到的每一組的標(biāo)簽數(shù)據(jù)為20 個(gè)。

圖6 DensityPeak 算法搜索聚類(lèi)中心

其次，利用所有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)以及DensityPeak算法自動(dòng)搜索得到的標(biāo)簽信息對(duì)DPCAF 模型進(jìn)行訓(xùn)練。圖7 對(duì)訓(xùn)練完成的DPCAF 模型從分布擬合空間的數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)的三維聯(lián)合概率密度的形狀進(jìn)行了可視化，其中對(duì)于每組裂隙繪制了兩個(gè)半透明的等概率密度曲面。

圖7 三維聯(lián)合分布概率密度估計(jì)結(jié)果

再者，結(jié)合鉆孔圖像與開(kāi)挖面測(cè)窗中的裂隙數(shù)據(jù)，通過(guò)體密度估計(jì)得到三組裂隙網(wǎng)絡(luò)中裂隙數(shù)量分別為530、460 與470，并采用泊松過(guò)程對(duì)圓盤(pán)裂隙的中心點(diǎn)位置進(jìn)行隨機(jī)模擬。經(jīng)過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，三組裂隙的實(shí)測(cè)跡長(zhǎng)都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。假設(shè)圓盤(pán)裂隙直徑服從Gamma 分布，通過(guò)動(dòng)態(tài)優(yōu)化得到第一組的形狀參數(shù)為3.804，逆尺度參數(shù)為0.827，第二組的形狀參數(shù)為3.075，逆尺度參數(shù)為1.235，第三組的形狀參數(shù)為4.982，逆尺度參數(shù)為1.400。

根據(jù)所建立的概率分布可以生成多個(gè)三維離散裂隙網(wǎng)絡(luò)，對(duì)其中一次隨機(jī)模擬生成的范例進(jìn)行可視化如圖8所示。進(jìn)一步對(duì)該裂隙網(wǎng)絡(luò)的跡線(xiàn)模擬結(jié)果進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)，采用單尾F 檢驗(yàn)與雙尾t 檢驗(yàn)，顯著度設(shè)置為0.05，如表1所示。F 檢驗(yàn)與t 檢驗(yàn)的P 值均大于顯著度，說(shuō)明模擬跡長(zhǎng)的方差和均值都與實(shí)測(cè)結(jié)果無(wú)顯著差異。提出的DFN 建模方法基于深度生成模型充分挖掘了壩基裂隙巖體內(nèi)部鉆孔與開(kāi)挖面測(cè)窗數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的裂隙幾何信息，多元數(shù)據(jù)互相印證，提高了DFN 模型的可靠性，為水電工程壩基裂隙巖體的工程地質(zhì)分析與決策提供了重要支撐。

圖8 壩基三維離散裂隙網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)模擬范例

表1 跡線(xiàn)隨機(jī)模擬范例數(shù)值檢驗(yàn)

4.2 對(duì)比分析與討論首先，通過(guò)DPCAF 多參數(shù)模擬與傳統(tǒng)單參數(shù)模擬結(jié)果的對(duì)比分析，以及基于典型分布假設(shè)方法與DPCAF 方法的傾向與傾角二參數(shù)聯(lián)合分布估計(jì)的對(duì)比分析，驗(yàn)證DPCAF 模型的準(zhǔn)確性；其次，為了驗(yàn)證DPCAF 模型對(duì)于多維參數(shù)聯(lián)合分布估計(jì)的有效性，對(duì)基于GMM 模型與DP?CAF 模型的傾向、傾角、開(kāi)度多參數(shù)模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析與討論。

4.2.1 裂隙跡線(xiàn)數(shù)據(jù)參數(shù)相關(guān)性的單參數(shù)模擬與DPCAF 模擬對(duì)比分析 本案例采用Mendoza-Torres等［10］的文章中給出的裂隙跡線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，如圖9（a）所示，該裂隙網(wǎng)絡(luò)為一組由張拉裂隙與剪切裂隙構(gòu)成的共軛裂隙系統(tǒng)，包含兩組裂隙，其中一組優(yōu)勢(shì)裂隙沿南北方向延伸，具備較大的跡長(zhǎng)但裂隙數(shù)量較少，另一組裂隙沿東西方向延伸，跡長(zhǎng)相對(duì)較小但裂隙數(shù)量較多，因此，該裂隙系統(tǒng)的走向與跡長(zhǎng)具備特定的依賴(lài)關(guān)系［10］，如圖9（a）所示，其中跡長(zhǎng)為前10%的裂隙跡線(xiàn)標(biāo)記為黑色，其余裂隙跡線(xiàn)標(biāo)記為藍(lán)色。跡長(zhǎng)與走向分別進(jìn)行單參數(shù)隨機(jī)模擬生成的一個(gè)范例如圖9（b）所示，采用DPCAF 模型對(duì)跡長(zhǎng)與走向進(jìn)行多參數(shù)隨機(jī)模擬生成的一個(gè)范例如圖9（c）所示。顯然，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中跡長(zhǎng)較大的裂隙主要集中于南北走向，然而，采用傳統(tǒng)的單參數(shù)方法模擬的大跡長(zhǎng)裂隙沒(méi)有呈現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)走向，甚至有更多的大跡長(zhǎng)裂隙為東西走向。因此，單參數(shù)模擬方法丟失了裂隙跡長(zhǎng)與走向之間的依賴(lài)關(guān)系。相反，圖9（c）中的模擬結(jié)果與圖9（a）具備良好的一致性，因此DPCAF 模型在進(jìn)行裂隙幾何參數(shù)聯(lián)合分布估計(jì)的過(guò)程中能夠良好地捕捉跡長(zhǎng)與走向之間的依賴(lài)關(guān)系。

圖9 2D 裂隙網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)模擬范例對(duì)比

為了將走向與跡長(zhǎng)之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可視化，將圖9 中裂隙的幾何參數(shù)繪制于圖10（a）—（c）的散點(diǎn)圖中，并進(jìn)一步利用Mendoza-Torres 等［10］的研究中所采用的方法，將散點(diǎn)圖轉(zhuǎn)換為分位數(shù)分布圖，如圖10（d）—（f）所示。分位數(shù)分布圖展示的是分位數(shù)的概率，例如，對(duì)于散點(diǎn)圖中橫坐標(biāo)所表示的裂隙走向處于中位數(shù)的點(diǎn)在分位數(shù)分布圖中的橫坐標(biāo)u=0.5，而散點(diǎn)圖中橫坐標(biāo)處于四分位數(shù)的點(diǎn)在分位數(shù)分布圖中的橫坐標(biāo)u=0.25，對(duì)于縱坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方法同理。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量的秩相關(guān)系數(shù)為0.635，說(shuō)明走向數(shù)據(jù)與跡長(zhǎng)數(shù)據(jù)不是獨(dú)立的［10］。分位數(shù)分布圖10（d）與圖10（f）中的點(diǎn)都呈現(xiàn)出相同的分布規(guī)律，然而圖10（e）中的點(diǎn)趨向于離散的均勻分布，因此DPCAF 多參數(shù)模擬的結(jié)果有效地還原了走向與跡長(zhǎng)兩個(gè)變量之間的二元結(jié)構(gòu)，能夠克服傳統(tǒng)單參數(shù)方法難以模擬裂隙參數(shù)之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的不足。

圖10 裂隙走向與跡長(zhǎng)隨機(jī)模擬范例的散點(diǎn)圖與分位數(shù)分布圖對(duì)比

4.2.2 裂隙產(chǎn)狀數(shù)據(jù)二參數(shù)聯(lián)合分布的典型分布模擬與DPCAF 模擬對(duì)比分析 目前離散裂隙網(wǎng)絡(luò)模擬方法中，涉及到聯(lián)合分布估計(jì)的參數(shù)只有傾向和傾角參數(shù)，通常假設(shè)傾向與傾角服從雙正態(tài)分布或Fisher 分布。Shanley-Mahtab 數(shù)據(jù)集［34］為Shanley 與Mahtab 從美國(guó)亞利桑那州San Manual 銅礦收集的286 個(gè)裂隙產(chǎn)狀測(cè)量值。該數(shù)據(jù)集被廣泛地應(yīng)用于關(guān)于產(chǎn)狀分布的研究中［11］。因此，本文將所提出的DPCAF 模型應(yīng)用于Shanley-Mahtab 數(shù)據(jù)集中第一組與第二組產(chǎn)狀數(shù)據(jù)的分布估計(jì)，并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。Fisher 分布的估計(jì)精度大于雙正態(tài)分布，但兩者的對(duì)數(shù)似然函數(shù)都小于0，而DPCAF 模型對(duì)兩組產(chǎn)狀數(shù)據(jù)分布估計(jì)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)都在8 以上?？梢?jiàn)，實(shí)測(cè)產(chǎn)狀數(shù)據(jù)的分布可能并不完全服從雙正態(tài)分布與Fisher 分布的假設(shè)，而DPCAF 模型的概率密度估計(jì)結(jié)果更加接近數(shù)據(jù)的實(shí)際分布。

表2 產(chǎn)狀數(shù)據(jù)概率密度估計(jì)精度對(duì)比

圖12 采樣模擬裂隙數(shù)據(jù)范例可視化對(duì)比

4.2.3 鉆孔圖像數(shù)據(jù)多參數(shù)聯(lián)合分布的GMM 模擬與DPCAF 模擬對(duì)比分析 為了對(duì)傾向、傾角與開(kāi)度數(shù)據(jù)的概率密度估計(jì)的精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，將提出的DPCAF 模型與目前主流的有限混合模型（Finite Mixture Model）——高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示。

三維的GMM 模型的每一個(gè)分支對(duì)應(yīng)的等概率密度曲面都為“置信橢球”，但由于實(shí)測(cè)裂隙開(kāi)度參數(shù)的分布較為集中，對(duì)應(yīng)于球坐標(biāo)系下的三維空間點(diǎn)基本分布于開(kāi)度等參球面附近，而不是呈橢球狀分布。GMM 用“置信橢球”擬合實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)出了一些系統(tǒng)性的偏倚，例如，圖11（b）中綠色的第二組和圖11（c）中紫色的第三組裂隙所估計(jì)的置信橢球的一端明顯向開(kāi)度等參球面外側(cè)翹起。相反，DPCAF 模型可以建立任意復(fù)雜不規(guī)則形狀的分布，所估計(jì)的概率密度形狀良好地?cái)M合了真實(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布。采用評(píng)價(jià)概率密度估計(jì)的精度的常用評(píng)價(jià)指標(biāo)——平均對(duì)數(shù)似然（Mean Log-Likelihood）［19］進(jìn)行量化對(duì)比。其中，DPCAF 模型的平均對(duì)數(shù)似然都在21 至22左右，而GMM 模型的平均對(duì)數(shù)似然都在-6 以下，可見(jiàn)DPCAF 的概率密度估計(jì)精度高于GMM。

進(jìn)一步對(duì)比分析GMM 與DPCAF 模型的采樣模擬的誤差，控制采集樣本的數(shù)量相同，采用模擬數(shù)據(jù)分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布之間的Wasserstein 距離［35］作為模擬誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表3所示。

表3 采樣模擬裂隙數(shù)據(jù)范例誤差對(duì)比

圖12 以第三組裂隙為例，分別采用球坐標(biāo)可視化與DFN 可視化方法對(duì)三維數(shù)據(jù)分布建立形象直觀的表達(dá)。在DFN 可視化方法中，固定每個(gè)圓盤(pán)結(jié)構(gòu)面的中心點(diǎn)位置和半徑，將采樣數(shù)據(jù)所包含的傾向、傾角和開(kāi)度幾何參數(shù)分別賦值給不同的圓盤(pán)模型，得到虛擬的離散網(wǎng)絡(luò)模型，其中為了提升可視化效果將開(kāi)度數(shù)據(jù)乘以500 作為圓盤(pán)的厚度，如圖12所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，DPCAF 采樣的每一組裂隙的分布以及三維裂隙的整體分布都比GMM 的采樣結(jié)果更加接近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，從而證明了本文提出的DPCAF 模型的模擬精度更高。

5 結(jié)論

裂隙幾何參數(shù)分布的估計(jì)與擬合是三維離散裂隙網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)模擬的核心環(huán)節(jié)。然而，現(xiàn)有的DFN建模方法基于Gamma 分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Fisher 分布等典型分布對(duì)單參數(shù)的邊緣分布或傾向傾角的聯(lián)合分布進(jìn)行估計(jì)，面臨著無(wú)法拓展到更多維裂隙參數(shù)的復(fù)雜聯(lián)合分布的難題。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基于改進(jìn)自回歸流模型的DFN 多參數(shù)模擬方法，取得了如下成果：

（1）考慮裂隙幾何參數(shù)具有優(yōu)勢(shì)分組的特點(diǎn)改進(jìn)自回歸流模型，將標(biāo)準(zhǔn)化特征空間的高斯分布改進(jìn)為高斯混合分布，并結(jié)合DensityPeak 算法搜索聚類(lèi)中心，提出了DPCAF（Density Peak Clustering Autoregressive Flow）模型，克服了自回歸流模型對(duì)于裂隙數(shù)據(jù)多峰分布擬合能力的不足；

（2）將自回歸流模型中基于可逆變換擬合復(fù)雜多維聯(lián)合分布的思想引入DFN 建模中，有效解決了DFN 多參數(shù)模擬所面臨的多維聯(lián)合分布的概率密度估計(jì)與采樣的核心難題，在DFN 建模的過(guò)程中同時(shí)完成多參數(shù)優(yōu)勢(shì)分組與多參數(shù)概率密度估計(jì)；

（3）工程應(yīng)用表明，對(duì)于實(shí)測(cè)裂隙數(shù)據(jù)的復(fù)雜聯(lián)合分布，本文提出的DPCAF 模型相比與傳統(tǒng)基于典型分布的估計(jì)方法具備更強(qiáng)的擬合能力，并且能夠有效還原多參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；DPCAF 模型相比于雙正態(tài)分布與Fisher 分布對(duì)于產(chǎn)狀數(shù)據(jù)的概率密度估計(jì)精度更高，相比于GMM 模型對(duì)于鉆孔圖像中的傾向、傾角、開(kāi)度數(shù)據(jù)聯(lián)合分布的概率密度估計(jì)的平均精度更高，且采樣結(jié)果的誤差縮小了7.84%。因此，DPCAF 模型能夠有效提高多參數(shù)擬合的準(zhǔn)確性，保證DFN 建模的精度。

本文提出的改進(jìn)自回歸流模型能夠?yàn)楣こ谭治鲞^(guò)程中涉及到的多維聯(lián)合概率密度估計(jì)問(wèn)題提供一種新的技術(shù)手段［36-37］。此外，隨著水電工程地質(zhì)勘測(cè)與感知技術(shù)的不斷進(jìn)步［38］，未來(lái)將可能獲取更多種類(lèi)的裂隙數(shù)據(jù)，可以將其引入DFN 多參數(shù)模擬中進(jìn)一步提升裂隙網(wǎng)絡(luò)模型的可靠性。