五步遞進(jìn)教學(xué)法在微積分課程中的應(yīng)用

李文姿

（山西工程科技職業(yè)大學(xué)，山西 晉中 030619）

黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)持把教育擺在優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略位置，重點(diǎn)提出堅(jiān)持深化教育改革創(chuàng)新，堅(jiān)持深化教育改革創(chuàng)新是我國教育事業(yè)實(shí)現(xiàn)歷史性變革的根本動力，也是新時(shí)代加快實(shí)現(xiàn)教育現(xiàn)代化，建設(shè)教育強(qiáng)國，辦人民滿意教育的必由之路。在這樣的改革背景下，作為一線教師，如何在教學(xué)方法上改革創(chuàng)新成為我們關(guān)注的一大問題[1-3]。

另外，大自然中物理現(xiàn)象的分析、神秘的宇宙太空探索、變化復(fù)雜的金融市場研究、現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展等等，各種改變世界的高科技，處處需用到微積分的相關(guān)知識。而隨著大數(shù)據(jù)、人工智能技術(shù)對自然、社會科學(xué)乃至人們?nèi)粘Ｉ钣绊懙牟粩嗉由睿⒎e分顯得越來越為重要，學(xué)習(xí)任何一門近代數(shù)學(xué)或其他許多專業(yè)技術(shù)都需要先來學(xué)習(xí)微積分。微積分也成為許多高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)類、管理類等專業(yè)本科學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程，該課程的學(xué)習(xí)質(zhì)量直接影響到學(xué)生對后續(xù)專業(yè)的學(xué)習(xí)，在培養(yǎng)復(fù)合型高素質(zhì)人才上，具有不可替代的重要作用。然而，由于微積分課程具有難度較大，內(nèi)容相對枯燥，理論過于抽象等特點(diǎn)[2]，導(dǎo)致部分學(xué)生對微積分的學(xué)習(xí)具有畏懼心理，掛科率也較高[3]。如何使微積分的教與學(xué)更有成效？只有方法精彩，課堂才能精彩[4]，學(xué)生才能提高學(xué)習(xí)興趣，因此如何在微積分教學(xué)方法上進(jìn)行創(chuàng)新改革[3，5]，成了微積分任課教師必須思考的問題。本文在微積分教學(xué)方法改革方面，提出并應(yīng)用了五步遞進(jìn)的教學(xué)方法，希望能對微積分的教學(xué)有幫助．

一、五步遞進(jìn)教學(xué)方法的內(nèi)涵與意義

微積分教學(xué)中，如果只是教師一味地將概念、定理等知識照本宣科地灌輸給學(xué)生，不留給學(xué)生充分的主動學(xué)習(xí)和內(nèi)化的時(shí)間，學(xué)生只能感受到微積分就是一堆空洞的文字和符號，不知道其來處，更不知其去處，那么導(dǎo)致的直接結(jié)果是學(xué)生被動接受知識從而失去學(xué)習(xí)的興趣。因此，微積分教學(xué)方法應(yīng)致力于從怎么教向怎么學(xué)轉(zhuǎn)變，重視學(xué)生為中心，改變過去單純的講授式為主的教學(xué)方法，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，選擇合適的教學(xué)方法，有講授式、啟發(fā)式、討論式等，也可采用多種教學(xué)方法的組合，本文重點(diǎn)推出“五步遞進(jìn)”教學(xué)法：

從問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生一起分析并探究解決問題的障礙，及時(shí)引入所需新知識，精講新知識的重、難點(diǎn)后給予學(xué)生內(nèi)化的機(jī)會，并進(jìn)行小組討論，最終解決問題。這樣的教學(xué)方法中，將學(xué)生所有的感官進(jìn)行了充分調(diào)動，并將課堂中應(yīng)有的話語權(quán)還給了學(xué)生，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體地位，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

第一步，聚焦問題，明確目標(biāo)：我們從實(shí)際中尋找與新知識相關(guān)的問題，讓學(xué)生明確要解決的具體問題，從問題出發(fā)，學(xué)會梳理問題中的已有條件和缺乏條件，這個(gè)過程中讓學(xué)生了解到人們的實(shí)際生產(chǎn)和生活是需要微積分的，概念、定理的來源是有實(shí)際背景的，并在這個(gè)過程中學(xué)會抽象問題的方法。

第二步，溫習(xí)舊知，還原背景：引導(dǎo)學(xué)生溫習(xí)并運(yùn)用當(dāng)前問題所需用到的相關(guān)知識，并注意還原知識的背景，做好相關(guān)準(zhǔn)備工作，揭示微積分概念、公式和定理的實(shí)際來源和應(yīng)用，恢復(fù)并暢通微積分與外部世界的聯(lián)系。

第三步，結(jié)合問題，探究新知：結(jié)合要解決的問題學(xué)生分組初步探究要解決的問題，并梳理出解決問題的障礙，在此基礎(chǔ)上與老師共同探究還需要用什么新知識來輔助解決當(dāng)前面對的問題，并及時(shí)引入和學(xué)習(xí)新知識，這個(gè)過程中注重突出微積分的基本思想和方法，也要把握微積分課程思政的教育契機(jī)。

第四步，應(yīng)用新知，解決問題：有了新知識的鋪墊后，讓學(xué)生小組再次探究解決問題，嘗試給出解決問題的方法步驟，然后與老師共同探究規(guī)范解決問題的方法步驟，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。

第五步，融會貫通，舉一反三：這是強(qiáng)化新知識的過程，融入與所學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的、與生產(chǎn)實(shí)踐和所學(xué)專業(yè)結(jié)合緊密的實(shí)例，讓學(xué)生分組解決實(shí)例中的問題，給予充分的內(nèi)化過程，回歸學(xué)生在課堂的主體地位，學(xué)生可充分體會到數(shù)學(xué)本身就是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，并非純理論的推導(dǎo)和無處用的游戲。

二、五步遞進(jìn)教學(xué)方法的教學(xué)案例——以定積分概念為例

下面我們以定積分概念這節(jié)內(nèi)容為例，來看五步遞進(jìn)教學(xué)法的具體應(yīng)用。

聚焦問題 目標(biāo)明確：設(shè)計(jì)某城市的公交車候車亭時(shí)對它的容積是有一定要求的，要求出候車亭的容積，首先需要先來求其橫斷面的面積，我們從解決一個(gè)曲頂?shù)墓卉嚭蜍囃さ臋M斷面面積這樣一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出具體問題，聚焦問題即求一個(gè)曲邊梯形的面積，這個(gè)過程中重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生抽象問題的能力。

溫習(xí)舊知 還原背景：面對問題，讓學(xué)生分組初步探究，集思廣益，表達(dá)出自己的解決辦法，允許思維的獨(dú)特性，總結(jié)大家的解決辦法，會發(fā)現(xiàn)解決問題的難點(diǎn)在于圖形的上方邊是曲邊，面對直與曲的矛盾問題。如何解決直與曲這對矛盾，我們溫習(xí)舊知、知識牽引，回顧前面所學(xué)的微分的知識中，當(dāng)時(shí)也面臨這樣的矛盾，當(dāng)時(shí)采用了化曲為直再由直變曲的解決辦法。此時(shí)，要把握課程思政的融入契機(jī)，這種智慧前人在解決很多問題時(shí)已經(jīng)有所體現(xiàn)。比如我國古代數(shù)學(xué)家劉徽“割圓術(shù)”中就有所應(yīng)用，而且在《九章算術(shù)》中也有這樣的記載“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣?！弊寣W(xué)生懂得欣賞和感恩，鼓勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中善于發(fā)現(xiàn)和思考。

結(jié)合問題 探究新知：引導(dǎo)學(xué)生嘗試用“化曲為直、由直變曲”的辦法來解決當(dāng)前問題，整個(gè)曲邊梯形面積無法直接計(jì)算出，那我們就將其先分成若干小的曲邊梯形，每個(gè)都近似看成小矩形，也就是將曲線邊近似看作直線邊，為什么分割以后可以近似看作小矩形呢？需要學(xué)生去思考，這里應(yīng)用了連續(xù)函數(shù)的定義，當(dāng)自變量變化不大時(shí)，函數(shù)值變化不大，也就是分割后小區(qū)間長度變化不大，其對應(yīng)的曲邊梯形的高變化不大，可以近似看作小矩形。思考這個(gè)問題的同時(shí)，能讓學(xué)生們感受到，函數(shù)連續(xù)的概念是有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的，不是無用的文字游戲。接著就用所有小矩形面積的和作為所求曲邊梯形面積的近似值。最后，關(guān)于如何得到精確值，這是一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，發(fā)起討論，學(xué)生可以討論各自的解決思路，找到最好的解決辦法是需要將區(qū)間分割得無限細(xì)，這樣誤差才無限小，此時(shí)需要借助極限思想實(shí)現(xiàn)“無限”這種狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)由近似到精確的過程。學(xué)生們會再次體會到微積分中的概念是用來解決問題的，并非無用的，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

應(yīng)用新知 解決問題：結(jié)合上面的解決方法和分析思路，先讓學(xué)生自己按小組嘗試給出解決問題的步驟，再由老師引導(dǎo)規(guī)范解決問題的步驟：分割、取近似、作和、求極限，最終得到解決的結(jié)果。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，近似與精確實(shí)現(xiàn)對立統(tǒng)一，解決問題的步驟中，分割、求和式形式邏輯思維的體現(xiàn)，而取極限得到精確值則是高級的辯證邏輯思維的體現(xiàn)與培養(yǎng)。

融會貫通 舉一反三：為了強(qiáng)化新知識，我們會繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用同樣的思路去解決另一個(gè)實(shí)際問題，變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度，學(xué)生分組完成任務(wù)，內(nèi)化所學(xué)知識，達(dá)到觸類旁通，舉一反三的效果。通過兩個(gè)問題的解決，與學(xué)生一起比對兩個(gè)問題的共性。雖然問題背景不同，但解決問題的思路方法相同，結(jié)果的形式也相同。抽象出解決問題的共性，在此基礎(chǔ)上給出定積分的概念。

三、結(jié)束語

通過五步遞進(jìn)的教學(xué)方法，有助于實(shí)現(xiàn)高階教育目標(biāo)，學(xué)生不僅可以掌握微積分的相關(guān)知識、思想和方法，還能更深切感知到微積分中概念、定理的來源是有其實(shí)際背景，知道概念、定理的來處，才能知道它們的應(yīng)用方向。五步遞進(jìn)教學(xué)法的過程中離不開學(xué)生小組多次探究解決問題，讓學(xué)生積極參與到課堂中來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力。另外，該教學(xué)方法中，注重課程思政內(nèi)容的有效融入，有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)及創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生建立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，讓學(xué)生在成長過程中受益終身！