四階兩點(diǎn)非齊次邊值問題正解的唯一性及對(duì)參數(shù)依賴性

沈文國(guó)，孫建仁，包理群

(1.蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，蘭州 730050;2.蘭州工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050;3.蘭州工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院，蘭州 730050)

考察下列四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性與唯一性:

(1)

在材料力學(xué)中，問題(1) 表示兩端固定的彈性梁的方程.當(dāng)α=β=λ=μ=0時(shí)，許多作者[1-5]采用壓縮映象原理、Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論等方法研究了問題(1) 正解的存在性.另一方面，近年來許多學(xué)者研究了非齊次邊值問題[6-13]，其中文[8] 利用單調(diào)混合算子理論研究了含兩個(gè)參數(shù)的二階多點(diǎn)邊值問題

(2)

正解的存在性與唯一性.利用與文[8]相似的方法，文[9]研究了一類四階兩點(diǎn)非齊次邊值問題存在唯一正解及解對(duì)參數(shù)的依賴性.利用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，Marcos等[10]研究了一類四階非齊次邊值問題的多解性.Korman[14]利用單調(diào)迭代方法研究了非線性項(xiàng)滿足次線性條件時(shí)四階兩點(diǎn)非齊次邊值問題(1)正解的存在性問題.Lou[15]利用拓?fù)涠壤碚摵湾F理論研究了非線性項(xiàng)滿足超線性條件時(shí)非齊次四階兩點(diǎn)邊值問題 (1)正解的存在性問題．

受文獻(xiàn)[8-10]的啟發(fā)，本文利用單調(diào)混合算子理論研究當(dāng)非線性項(xiàng)滿足更一般的條件時(shí)四階兩點(diǎn)非齊次邊值問題 (1)正解的存在性與唯一性問題.本文假設(shè)：

(H1)α>0，β>0，λ>0，μ>0.

(H2)f(t，x)∈C([0，1]×[0，∞)，[0，∞))，且對(duì)于x單調(diào)遞增．

(H3) 存在 0≤θ<1 使得

f(t，kx)≥kθf(t，x)，?t∈[0，1]，

k∈[0，1]，x∈[0，∞).

(3)

注1本文的主要結(jié)論(定理1)是對(duì)早期四階兩點(diǎn)非齊次邊值問題解的推廣及提升，具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

1 預(yù)備知識(shí)

i) 如果一個(gè)非空閉凸集P滿足：對(duì)所有λ≥0，都有λP?P成立，并且P∩(-P)={0} (其中0是X中的零元素)，則稱P?X是一個(gè)錐；

ii) 在錐P?X上定義一個(gè)偏序：x≤y?y-x∈P;

iv) 如果一個(gè)錐P的內(nèi)部P0是非空，則稱P是體錐．

定義2[16]假設(shè)P是X中的體錐，T:P0→P0.如果對(duì)于0≤θ<1，滿足

T(kx)≥kθT(x)，?k∈(0，1)，x∈P0，

(4)

則稱T是θ-凹算子.

引理1[16]假設(shè)P是實(shí)Banach空間X中的正規(guī)錐，T:P0→P0是一個(gè)θ-凹增算子，則T在P0中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).

引理2[15]設(shè) (H1) 成立，對(duì)于y∈C[0，1]，則邊值問題

有唯一解

λφ3(t)+μφ4(t)，

(5)

其中，

k(t，s)=

(6)

φ1(t)=(1-t)2(2t+1)，φ2(t)=t(1-t)2，φ3(t)=t2(3-2t)，φ4(t)=t2(1-t).

(7)

引理3[15]假設(shè)(H1)成立，則下列結(jié)論成立:

i)K(t，s)>0，?t，s∈(0，1);

ii) φi(t)>0，i=1，2，3，4,t∈[0，1].

注2本文用到如下記號(hào)．

i) 假如α，β，λ，μ中之一趨近于∞，記為(α，β，λ，μ)→∞;

ii) 假如α1≥α2，β1≥β2，λ1≥λ2，μ1≥μ2中之一不等式嚴(yán)格成立，記為(α1，β1，λ1，μ1)>(α2，β2，λ2，μ2);

iii) 假如α1≤α2，β1≤β2，λ1≤λ2，μ1≤μ2中之一不等式嚴(yán)格成立，記為(α1，β1，λ1，μ1)<(α2，β2，λ2，μ2);

iv) 假如α→α0，β→β0，λ→λ0，μ→μ0，記為(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0).

2 主要定理及證明

定理1假設(shè)條件(H1)、(H2)和(H3)成立，則對(duì)于任何(α，β，λ，μ)>(α0，β0，λ0，μ0)，問題(1) 存在唯一正解xα，β，λ，μ(t)滿足下列結(jié)論.

ii)xα，β，λ，μ(t)對(duì)于α，β，λ，μ是嚴(yán)格單調(diào)遞增，即

(α1，β1，λ1，μ1)>(α2，β2，λ2，μ2)>(0，0，0，0)?
xα1，β1，λ1，μ1(t)>xα2，β2，λ2，μ2(t)，?t∈[0，1];

iii)xα，β，λ，μ(t)對(duì)于α，β，λ，μ是連續(xù)的，即

(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0)?

證明令X=C[0，1]，P={x∈X:x(t)≥0，t∈[0，1]}，則P是X中的正規(guī)錐，且P0={x∈X:x(t)>0，t∈[0，1]}.

對(duì)任何(α，β，λ，μ)>(0，0，0，0)，定義Tα，β，λ，μ:P→X如下，

αφ1(t)+βφ2(t)+λφ3(t)+μφ4(t).

(8)

易知，(1)存在一個(gè)正解當(dāng)且僅當(dāng)算子Tα，β，λ，μ有不動(dòng)點(diǎn)．

首先證明，Tα，β，λ，μ:P0→P0是一個(gè)θ-凹算子.事實(shí)上，對(duì)于k∈(0，1)，x∈P0,

αφ1(t)+βφ2(t)+λφ3(t)+μφ4(t)≥

βφ2(t)+λφ3(t)+μφ4(t)≥

kθTα，β，λ，μx(t)，t∈[0，1].

即Tα，β，λ，μ是一個(gè)θ-凹算子．

再證明Tα，β，λ，μ:P0→P0是一個(gè)增算子.假設(shè)對(duì)于x，y∈P0并且x≤y，則

αφ1(t)+βφ2(t)+λφ3(t)+μφ4(t)≤

λφ3(t)+μφ4(t)=Tα，β，λ，μy(t)，t∈[0，1].

即Tα，β，λ，μ是一個(gè)增算子.因此，由引理1可知算子Tα，β，λ，μ有不動(dòng)點(diǎn)xα，β，λ，μ∈P0，xα，β，λ，μ是 (1) 的唯一解．

現(xiàn)在來證明xα，β，λ，μ滿足定理 1的其他結(jié)論．

首先，對(duì)于t∈[0，1],

xα，β，λ，μ(t)=Tα，β，λ，μx(t)=

λφ3(t)+μφ4(t)，

結(jié)合φi(t)>0，i=1，2，3，4，t∈[0，1]，可知定理1 i) 成立．

假設(shè)(α1，β1，λ1，μ1)>(α2，β2，λ2，μ2)>(0，0，0，0)，令

則

xα1，β1，λ1，μ1(t)=Tα1，β1，λ1，μ1xα1，β1，λ1，μ1(t)≥

xα1，β1，λ1，μ1(t)=Tα1，β1，λ1，μ1xα1，β1，λ1，μ1(t)≥

Tα1，β1，λ1，μ1xα2，β2，λ2，μ2(t)>

Tα2，β2，λ2，μ2xα2，β2，λ2，μ2(t)=

xα2，β2，λ2，μ2(t)，t∈[0，1]，

所以，xα，β，λ，μ(t)在α，β，λ，μ嚴(yán)格遞增，即定理1 ii)成立．

對(duì)于任給(α0，β0，λ0，μ0)>(0，0，0，0)，首先假設(shè)(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0)，且

則

xα，β，λ，μ(t)

(9)

令

sup{σ>0:xα，β，λ，μ(t)≥σxα0，β0，λ0，μ0(t),t∈[0,1]}，

xα，β，λ，μ(t)≥σxα0，β0，λ0，μ0(t)，t∈[0，1]，

令

則0<ω(α，β，λ，μ)<1，并且

xα，β，λ，μ(t)=Tα，β，λ，μxα，β，λ，μ(t)≥

(10)

根據(jù) (9)，(10) 可得

又由于當(dāng)(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0)時(shí)，ω(α，β，λ，μ)→1 成立，故

(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0).

同理，當(dāng)(α，β，λ，μ)>(α0，β0，λ0，μ0)且(α，β，λ，μ)→(α0，β0，λ0，μ0)時(shí)，

因此，定理 1 iii) 成立.定理得證．