一類非自治奇異攝動系統(tǒng)響應解的存在性

張淑芳,張新麗

(青島科技大學 數(shù)理學院,山東 青島266061)

奇異擾動系統(tǒng)出現(xiàn)在很多領域,包括生物化學動力學、遺傳學、等離子體物理學、以及涉及大阻尼和阻力的機械和電氣系統(tǒng)[1]。系統(tǒng)中的x和y是多維向量。系統(tǒng)(1)的周期解和擬周期解的存在性一直都是常微分方程定性理論中最受關注的問題之一。該問題早期的貢獻來自于FLATTO和LEVINSON[2]。當函數(shù)F和G關于t是周期的,他們證明了系統(tǒng)周期解的存在性,并說明此周期解當正常數(shù)ε趨于零時趨于退化問題的周期解。HALE等[3]和CHANG等[4]將FLATTO和LEVINSON的結果推廣到概周期情形,并給出了系統(tǒng)概周期解存在的充分條件。SMIT H等[5]不僅研究了非自治系統(tǒng)的概周期解,還討論了這些解的穩(wěn)定性。

據(jù)所知系統(tǒng)的擬周期解目前為止還沒有被研究。在ZHU等[6]的工作基礎上,本研究系統(tǒng)響應解的存在性,響應解就是與系統(tǒng)同頻率的擬周期解,其中x,y是實數(shù)集上的未知函數(shù),ε是一個正的小實參數(shù),函數(shù)F和G關于t是擬周期的,頻率為ω＝(ω1,ω2,…,ωd)。連續(xù)擬周期函數(shù)是概周期函數(shù)的特殊情況,但當假設F和G關于t是擬周期時,利用文獻[3-5]的方法無法得到擬周期解的存在性。BERGER和CHEN[7]提出的擬周期函數(shù)的B-性質(zhì)是解決這一問題的有效工具。

1 預備知識

假設系統(tǒng)

其中F和G關于t,x,y是C1的,而且滿足F(t,0,0,0)≡G(t,0,0,0)≡0,則系統(tǒng)(1)對應退化系統(tǒng)

在ε＝0時有平凡解(x,y)＝(0,0)。將系統(tǒng)(1)在該平凡解處展開得到擬線性系統(tǒng)

其中

關于t是擬周期的而且關于t是一致連續(xù)的。假設當|x|,|y|很小時,非線性項f,g有關于t一致的小的Lipschitz常數(shù),且當ε→0＋時,f(t,0,0,ε),g(t,0,0,ε)關于t一致趨于0。

首先,將給出一些引理,它們對證明主要結果很重要。

定義1[9]假設ω1,ω2,…,ωd是有理無關的,如果存在一個周期函數(shù)U＝U(θ1,θ2,…,θd),它關于θ1,θ2,…,θd是2π周期的,使得u(t)＝U(ω1t,ω2t,…,ωdt),?t∈R,則連續(xù)函數(shù)u(t)是頻率為ω1,ω2,…,ωd的擬周期函數(shù)。

注1 擬周期函數(shù)定義在很多文獻中都有,例如文獻[10]。顯然這個定義等價于文獻[7]的定義。

定義2[7]稱函數(shù)H:R→R在實數(shù)集ω1,ω2,…,ωd有上具有B-性質(zhì),如果

i)H在R上是連續(xù)的,

ii)對于每個ε＞0,有δ＝δ(ε)＞0,使得若一個實數(shù)τ滿足Diophantine不等式

則τ是H的ε轉(zhuǎn)移數(shù),即

引理1[7]假設H(t)是周期為{2π/ω1,…,2π/ωd}的擬周期函數(shù),則H(t)在{ω1,ω2,…,ωd}上有B-性質(zhì)。反之,如果H(t)在集{ω1,ω2,…,ωd}的有限有理無關集上有B-性質(zhì),則H(t)是周期為{2π/ω1,…,2π/ωd}的擬周期函數(shù)。

用QPω表示R上頻率為ω＝(ω1,ω2,…,ωd)的連續(xù)擬周期函數(shù)的線性空間。

定理1(QPω,‖·‖)在范數(shù)‖f‖＝下是一個Banach空間。

證明假設f n(t)∈QPω,(n＝1,2,…)是柯西序列,QPω是R上范數(shù)為的Banach空間C B(R)的子空間,且存在函數(shù)f0(t)∈C B(R),使得‖f n－f0‖→0,n→∞。因此對任意ε＞0,t∈R,存在K∈N,滿足

由于f n(t)∈QPω,由引理1可知,f K(t)在(ω1,ω2,…,ωd)上具有B-性質(zhì)。故對于ε,存在δ＞0,如果數(shù)τ滿足不等式…,d),則對所有t∈R成立。此外

因此f0(t)在{ω1,ω2,…,ωd}上具有B-性質(zhì)。因此f0(t)是擬周期函數(shù),即f0(t)∈QPω。

推論1是范數(shù)‖(f,g)‖＝‖f‖＋‖g‖意義下的Banach空間。

引理2存在,使得對任意h(t)∈QPω,方程

有唯一解z(h,ε)(t)∈QPω,其中0＜ε≤ε0,D0＞0是個常數(shù)。更進一步,算子在QPω上是線性的,而且滿足,映射在0＜ε≤ε0上是連續(xù)的。

證明容易驗證函數(shù)

是(4)的解。因為h(t)∈QPω,由引理1得h(t)在上具有B-性質(zhì)。假設實數(shù)τ滿足式(3),是函數(shù)h(t)的任意ε平移數(shù),有

因此z(h,ε)(t)在{ω1,ω2,…,ωd}上具有B-性質(zhì),z(h,ε)(t)∈QPω。

以下來證唯一性,若方程(4)有另一個有界解,用z1(h,ε)(t)表示,則函數(shù)v(t)＝z(h,ε)(t)－z1(h,ε)(t)滿足齊次方程εz′＝D0z,故有v(t)＝,其中c為常數(shù)。這就意味著如果c≠0,v(t)是無界的。這與z(h,ε)(t)和z1(h,ε)(t)的有界性矛盾。換句話說,z(h,ε)(t)∈QPω是式(4)的唯一解。

在QPω定義算子有以下形式

容易看出是線性有界的,即存在＞0使得關于ε一致成立。

以下證明引理2的最后一個結論,令u(t)＝z(h,ε)(t)－z(h,ε′)(t)滿足

其中0＜ε,ε′＜ε0。由此可見

從而得到對0＜ε＜ε0,有映射是連續(xù)的。

與引理2的證明類似,得到以下引理。

引理3存在N＞0,對任意β(t)∈QPω,方程

有唯一解u(β)(t)∈QPω,其中A0＞0是個常數(shù)。更進一步,QPω中的算子∏:β→u(β)是線性的而且滿足‖∏‖≤N。

2 主要結果

首先考慮非齊次方程

定理2假設

在(t,ε)∈R×[0,ε0]上有界且關于t一致連續(xù)。他們的界統(tǒng)一用來表示。

(H2)A(t,0)＝A0＞0,B(t,0)＝B0,C(t,0)＝C0＝0,D(t,0)＝D0＞0是常數(shù)。則存在滿足0＜ε1＜ε0的ε1,使得任意滿足0＜ε＜ε1的ε,系統(tǒng)(7)有唯一解

滿足

證明對于,考慮系統(tǒng)

由引理2得系統(tǒng)(9)的第二個方程有唯一解y∈QPω。然后把y帶入第一個方程中,由引理3,得到唯一解x∈QPω。故定義映射,即如果ε足夠小,映射是壓縮的。事實上,對任意,如果

可以得到u＝x1－x2,v＝y(tǒng)1－y2滿足

由引理2和引理3,得到

從而得出估計

因 為A t(,ε),B t(,ε),C t(,ε),D t(,ε)關 于t一致連續(xù),對于任意ε∈(0 ,ε0),存在ε1≤ε0,使

結合式(12)和(13),得出結論

根據(jù)壓縮映射原理,T1有唯一的不動點,且有

這意味著

令

因 為A t(,ε),B t(,ε),C t(,ε),D t(,ε)關 于t一致連續(xù),對于任意,存在足夠小的ε1≤ε0,使得

則有如下估計

根據(jù)(14)和(16),只需證明定理的最后一個陳述。因為T1關于是線性無關的,則得到Kε()是上的線性算子。由(16)得到不等式如果對0＜ε＜ε1,

滿足

由(15)和(16)得到

根據(jù)條件(H1)得到對0＜ε＜ε1,映射ε→Kε()是連續(xù)的。

現(xiàn)在考慮非線性系統(tǒng)(2),即

其中f(t,x(t),y(t),ε),g(t,x(t),y(t),ε)∈QPω。

根據(jù)SMIT H[5]的證明思路,證明如下定理。

定理3假設(H1)、(H2)和(H3)成立

(H3)函數(shù)f,g關于t( ,x,y,ε)是連續(xù)的,其中,是正常數(shù),且對任意的t關于(x,y,ε)是一致連續(xù)。而且存在兩個非遞減函數(shù)Φε(),Ψε(,σ),滿 足

其中0≤ε≤ε0,0≤σ≤σ0,使得對

對所有t成立,則存在0≤ε2≤ε1,0≤σ1≤σ0,對任意滿足0≤ε≤ε2的ε,系統(tǒng)(2)有唯一解滿足

且對t∈R關于ε一致連續(xù)。

證明因為Φ,Ψ滿足(18),故可選擇0＜σ1＜σ0,0＜ε2＜ε1使得

根據(jù)引理2和定理2,系統(tǒng)(22)有唯一解(x,y)∈QP2ω。根據(jù)條件(19)和Φε(),Ψε()的單調(diào)性,得估計

‖y‖的估計類似。如果,發(fā)現(xiàn)

‖y‖的估計類似。故得如下結論

最后從定義系統(tǒng)中得到(x,y)的估計

故

3 結 語

考慮了一類非自治奇異攝動系統(tǒng)響應解的存在性問題。首先利用關鍵引理1證明了擬周期連續(xù)函數(shù)在上確界范數(shù)下形成一個巴拿赫空間;然后證明了線性方程解的存在唯一性;最后將系統(tǒng)非齊次系統(tǒng)(1)在它的平凡解處展成擬線性系統(tǒng)(2),并利用不動點定理和擬周期函數(shù)的B-性質(zhì),證明非自治的奇異攝動微分方程響應解的存在性和唯一性。擬周期函數(shù)的B-性質(zhì)是研究擬周期奇異攝動系統(tǒng)解的適定性的有利工具。