何軍,范子菲,何聰鴿,張安剛,郝峰軍,張新順,劉麗,徐立坤
(中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院,北京 100083)
壓裂水平井技術(shù)是通過增加井筒與地層的接觸面積,降低流體在地層中的滲流阻力,增加單井控制面積來提高油氣井產(chǎn)能的。該技術(shù)已廣泛應(yīng)用于低滲特低滲、薄層油氣藏及稠油油藏,并使之得以高效開發(fā)[1-3]。
準(zhǔn)確、快速評(píng)價(jià)壓裂水平井產(chǎn)能,成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題之一。任宗孝等[4]在垂直裂縫水平井非穩(wěn)產(chǎn)產(chǎn)能研究的基礎(chǔ)上,應(yīng)用Gringarten源函數(shù)、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及坐標(biāo)評(píng)議原理,建立了傾斜裂縫壓裂水平井產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型,重點(diǎn)分析了裂縫夾角對(duì)水平井流動(dòng)階段、水平井井底壓力的影響。毛新軍等[5]在研究致密油藏壓裂水平井產(chǎn)能時(shí),利用PEBI網(wǎng)格表征水力壓裂過程產(chǎn)生的不同裂縫,通過編制數(shù)值模擬程序評(píng)價(jià)壓裂水平井產(chǎn)能。朱維耀等[6]考慮薄互層儲(chǔ)層砂泥交互、儲(chǔ)層平面均質(zhì)而縱向非均質(zhì)的特點(diǎn),建立了壓裂水平井開發(fā)薄互層的穩(wěn)產(chǎn)滲流數(shù)學(xué)模型。李波等[7]基于疊加原理、勢(shì)函數(shù)理論及流體力學(xué)相關(guān)原理,建立了考慮裂縫污染表皮系數(shù)、裂縫非均勻分布的壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型,并通過正交實(shí)驗(yàn)分析了壓裂水平井產(chǎn)能主控因素,指導(dǎo)壓裂水平井部署及完井優(yōu)化。牟珍寶等[8]基于水電相似理論,考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感性,利用等值滲流阻力法建立了壓裂水平井產(chǎn)能公式。Rbeawi等[9]建立了傾斜裂縫壓裂水平井滲流模型,分析了裂縫穿透比對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響。曾凡輝等[10-11]將裂縫分解成微元段,利用點(diǎn)源函數(shù)理論、積分變化和疊加原理,建立了壓裂水平井半解析產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型。
關(guān)于壓裂水平井產(chǎn)能評(píng)價(jià)方法大多基于穩(wěn)態(tài)滲流,僅反映油氣井的穩(wěn)態(tài)滲流特征。此外,早期滲流模型假設(shè)地層為無限大,裂縫為無限導(dǎo)流,這就導(dǎo)致水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)結(jié)果偏大;部分模型考慮了非穩(wěn)態(tài)滲流及裂縫有限導(dǎo)流,但涉及Fredholm型積分的處理,求解復(fù)雜,制約了產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型的應(yīng)用。本文在裂縫等效井徑模型的基礎(chǔ)上,應(yīng)用鏡像反演及壓降疊加原理建立了封閉邊界壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析新方法,并據(jù)此分析各種因素對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。本文方法具有求解過程簡(jiǎn)單、求解精度高的優(yōu)點(diǎn),可以滿足現(xiàn)場(chǎng)壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)要求。
模型的假設(shè)條件:矩形封閉地層,儲(chǔ)層的厚度和滲透率為常數(shù);流體為單相不可壓縮牛頓流體,黏度為常數(shù),滲流滿足達(dá)西定律;裂縫為有限導(dǎo)流裂縫,水平井筒為無限導(dǎo)流(水平井筒壓降較小,可以忽略),流體由基質(zhì)進(jìn)入裂縫,再由裂縫進(jìn)入水平井井筒;裂縫形狀為矩形,貫穿整個(gè)油層;每條裂縫的參數(shù)可以不同,滲流為不穩(wěn)定滲流。
對(duì)于裂縫等效井徑,Prats等[12-14]進(jìn)行了深入的研究。王曉冬等[14]推導(dǎo)了直井有限導(dǎo)流裂縫的等效井徑公式,其計(jì)算結(jié)果與Prats等的計(jì)算結(jié)果一致:
式中:rwe為裂縫等效井徑,cm;xf為裂縫半長(zhǎng),cm;UfD為裂縫無因次導(dǎo)流能力;f( Ufd)為裂縫無因次導(dǎo)流能力影響函數(shù);Kf為裂縫滲透率,μm2;wf為裂縫寬度,cm;K為儲(chǔ)層滲透率,μm2。
水平井裂縫中的流動(dòng)由兩部分構(gòu)成——井筒附近的徑向流動(dòng)和遠(yuǎn)離井筒的線性流動(dòng)。因此,相比直井裂縫中的流動(dòng),壓裂水平井裂縫中的流動(dòng)會(huì)在井筒附近產(chǎn)生一個(gè)附加壓力降,這種現(xiàn)象稱作徑向聚流效應(yīng)。Brown等[15]給出了井筒聚流效應(yīng)的表皮系數(shù):
因此,壓裂水平井裂縫的等效井徑[16]可以表示為
式中:Sc為聚流效應(yīng)表皮系數(shù);h為儲(chǔ)層厚度,cm;rw為水平井筒井徑,cm。
根據(jù)式(5),可以將封閉地層壓裂水平井每條裂縫都等效為一口直井(見圖 1,其中 rwe1,rwe2,rwe3,rwe4為相應(yīng)裂縫的等效井徑)。
矩形地層多口直井的生產(chǎn)可通過鏡像反演轉(zhuǎn)化為無限大地層多口井的生產(chǎn)(見圖2)。圖2中灰色區(qū)域代表原有的封閉地層,這里將圖中灰色區(qū)域部分的井定義為裂縫的等效井,其他井為與之對(duì)應(yīng)的鏡像井。虛線矩形部分代表4倍泄流面積,整個(gè)地層用虛線矩形均勻剖分,便可得到封閉地層多口直井鏡像反演的結(jié)果。在實(shí)際計(jì)算中,無需進(jìn)行無窮次反演,只需在縱向和橫向進(jìn)行有限次反演,便能得到較好的計(jì)算結(jié)果。
圖2 矩形封閉地層多井鏡像反演
以4條裂縫為例。在虛線矩形上、下、左、右各取n個(gè)(n取到一定數(shù)值后,就能使計(jì)算結(jié)果收斂)這樣的矩形,則這樣的矩形個(gè)數(shù)為 (2n+1)2,總的井?dāng)?shù)為16×(2n+1)2。通過分析所有井在等效井處的作用,便可求得每口等效井的產(chǎn)量,即壓裂水平井每條裂縫的產(chǎn)量。
在多口井進(jìn)行壓降疊加的基礎(chǔ)上,無限大地層單井在任意一點(diǎn)產(chǎn)生的壓降的計(jì)算公式為
綜上所述,濰北凹陷至少存在兩期油氣充注歷史,沙四段沉積中期至沙河街構(gòu)造運(yùn)動(dòng)開始是該區(qū)油氣的主要充注時(shí)期。但由于古地溫梯度和埋深不同,導(dǎo)致油氣充注時(shí)捕獲的流體溫度存在差異。凹陷東南部的昌70井第一期分布在50~70℃,而北部央5井在90~100℃,說明凹陷東南部烴源灶成熟度相對(duì)較低,油氣充注時(shí)流體溫度相對(duì)較低。同時(shí),部分地區(qū)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)剝蝕后期沉降量較大,可能存在二次生排烴過程,油氣充注發(fā)生在館陶中后期至今,但僅在二次生烴區(qū)及其附近存在。此外,早期形成的油氣藏可能在后來的構(gòu)造運(yùn)動(dòng)中破壞發(fā)生次生調(diào)整形成多期成藏。
式中:pi為原始地層壓力,MPa;x,y分別為地層中任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),cm;x0,y0分別為井點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo),cm;p(x,y,t)為地層任意一點(diǎn)壓力,MPa;q 為產(chǎn)量,cm3/s;μ 為流體黏度,mPa·s;η 為導(dǎo)壓系數(shù),cm2/s;t為生產(chǎn)時(shí)間,s。
為了求得每口井的位置坐標(biāo),選取圖2中紅色矩形區(qū)域?yàn)檠芯繂卧?,并建立相?yīng)的坐標(biāo)系(見圖3)。A1,B1,C1,D1 代表與裂縫 1 相對(duì)應(yīng)的直井;A2,B2,C2,D2 代表與裂縫 2 相對(duì)應(yīng)的直井;A3,B3,C3,D3 代表與裂縫3相對(duì)應(yīng)的直井;A4,B4,C4,D4代表與裂縫4相對(duì)應(yīng)的直井。將虛線矩形區(qū)域的16口井展開,就能得到所有井的坐標(biāo)。
圖3 矩形封閉地層鏡像反演剖分單元
裂縫 i(i=1,2,3,4)的等效井及其鏡像井的 x,y 坐標(biāo)可以表示為
式中:Wix為裂縫 i(i=1,2,3,4)對(duì)應(yīng)的等效井及鏡像井的 x 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣;Wiy為裂縫 i(i=1,2,3,4)對(duì)應(yīng)的等效井及鏡像井的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣;Aix,Bix,Cix,Dix分別為代表 Ai,Bi,Ci,Di井及其鏡像井的 x坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣(該矩陣為(2n+1)(2n+1)的矩陣);Aiy,Biy,Ciy,Diy分別為代表 Ai,Bi,Ci,Di井及其鏡像井的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣(該矩陣為 (2n+1)(2n+1)的矩陣)。
設(shè) A1,A2,A3,A4 井的井點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)。為了與 Wix,Wiy的形式保持一致,這里將A1,A2,A3,A4井的井點(diǎn)坐標(biāo)寫成矩陣的形式。首先令Xi,Yi均為 (2n+1)(2n+1)的矩陣,Xi中每個(gè)元素為xi,Yi中每個(gè)元素為yi,則等效井的井點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為
式中:Weix為等效井 i(i=1,2,3,4)的 x 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣;Weiy為等效井 i(i=1,2,3,4)的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣。
rij為等效井 j(j=1,2,3,4)及其鏡像井距等效井 Ai(i=1,2,3,4)距離的平方:
其中: (Wjx-Wejx)2,(Wjy-Wejy)2表示2個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相減,然后平方;rij為一個(gè) (2n+1 )×4( 2n+1)的矩陣,根據(jù)下標(biāo)組合,共有16個(gè)這樣的矩陣。
已經(jīng)得到了所有井到矩形封閉地層4口等效井之間的距離,接下來應(yīng)用壓降疊加原理,求每口井在等效井處的壓降:
式中:Δpij為等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的壓降,MPa。
當(dāng)壓裂水平井各條裂縫變產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí),此時(shí)需要用杜哈美原理求得每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓力降:
式中:Δpij(k)為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)下等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的壓降,MPa;t(k)為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng),s。
為了便于求解每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的qj,令
式中:fij(k)為在第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)下等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的滲流阻力,MPa·s/cm3。
由于流體在井筒的壓降較小,可以忽略,每口等效井在井底處的壓力是相等的,均為水平井的井底流壓。因此,當(dāng)只考慮1個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí),針對(duì)每口等效直井都有1個(gè)壓降方程。以4條裂縫為例,其方程為
式中:pwf為井底流壓,MPa。
當(dāng)考慮k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí),壓裂水平井產(chǎn)能公式為
式中:Fk為在第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)各條裂縫對(duì)應(yīng)的等效井及其鏡像井分別作用在各個(gè)等效井處的滲流阻力構(gòu)成的矩陣;Qk為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)所有等效井產(chǎn)量構(gòu)成的矩陣;Pk為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)所有等效井井底壓降構(gòu)成的矩陣。
式(16)即為矩形封閉地層4條裂縫壓裂水平井k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)產(chǎn)能求解公式。用相同的方法,可以求出n條裂縫k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓裂水平井產(chǎn)能公式,此時(shí)Fk,Qk,Pk分別為
將式(17)代入式(16),即可得到n條裂縫k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓裂水平井產(chǎn)能公式求解通式。
油藏及壓裂水平井的基本參數(shù)為:油藏大小1500m×3 000 m,厚度 10 m,滲透率 0.01 μm2,孔隙度 10%;儲(chǔ)層綜合壓縮系數(shù) 5×10-4MPa-1,流體黏度 2 mPa·s;井筒半徑0.1 m,生產(chǎn)壓差10 MPa,水平段長(zhǎng)度500 m;裂縫長(zhǎng)度100 m,裂縫高度10 m,裂縫寬度1 cm,裂縫滲透率 10 μm2。
通過與源函數(shù)方法[17]對(duì)比,分析本文壓裂水平井產(chǎn)能公式的精度及可靠性。由圖4可知,無論是單裂縫還是3條裂縫壓裂水平井,本文的計(jì)算結(jié)果與源函數(shù)方法的結(jié)果都非常接近,二者相對(duì)誤差在3%以內(nèi),從而證明了本文公式的正確性。
圖4 不同裂縫條數(shù)下壓裂水平井產(chǎn)能2種方法計(jì)算結(jié)果
由圖5可知,生產(chǎn)初期壓裂水平井產(chǎn)能變化劇烈,之后趨于平緩。這是由于初期裂縫內(nèi)液體流動(dòng)受裂縫間干擾較弱,但隨著生產(chǎn)時(shí)間的增長(zhǎng),裂縫間的干擾逐漸增強(qiáng)。隨著裂縫條數(shù)的增加,壓裂水平井產(chǎn)能增幅呈減小趨勢(shì)。裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能有較大影響,所以,壓裂設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)首先考慮裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井的增產(chǎn)作用。
圖5 不同裂縫條數(shù)下壓裂水平井產(chǎn)能與時(shí)間的關(guān)系
圖6為水平井壓裂5條裂縫生產(chǎn)的情形。由圖可知:首先,裂縫產(chǎn)能初期呈現(xiàn)急劇下降、之后趨于平穩(wěn)的特征;其次,同一時(shí)刻不同裂縫的產(chǎn)能存在差異,表現(xiàn)為外部裂縫產(chǎn)能高、中間裂縫產(chǎn)能低的特征,這是由于外部裂縫受到縫間干擾弱,內(nèi)部裂縫受到縫間干擾強(qiáng)。
圖6 壓裂水平井裂縫產(chǎn)能分布
由圖7可知,隨著裂縫縫長(zhǎng)的增加,水平井產(chǎn)能有所增加,但增加幅度較小。所以,縫長(zhǎng)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響有限,在壓裂過程中只需保證裂縫縫長(zhǎng)在一定范圍即可。
圖7 不同裂縫縫長(zhǎng)對(duì)水平井產(chǎn)能的影響
圖8為無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。
圖8 不同時(shí)間無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響
由圖8可知,無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能具有重要影響。當(dāng)生產(chǎn)時(shí)間較短時(shí)(1 d),壓裂水平井產(chǎn)能隨著無因次裂縫導(dǎo)流能力的增大而顯著增加;隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加(15,30 d),壓裂水平井產(chǎn)能隨無因次裂縫導(dǎo)流能力增加的趨勢(shì)逐步減弱。另外,當(dāng)無因次裂縫導(dǎo)流能力過小(例如0.1)時(shí),壓裂水平井產(chǎn)能急劇下降,因此,要讓水平井具有較高的產(chǎn)能,需使無因次裂縫導(dǎo)流能力大于一定值。
本文在裂縫等效井徑模型的基礎(chǔ)上,應(yīng)用鏡像反演及壓降疊加原理建立了封閉邊界壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析新方法,據(jù)此分析了各種因素對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。本文方法求解過程簡(jiǎn)單,求解精度高,可以滿足現(xiàn)場(chǎng)壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)的要求。