封閉邊界壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能評(píng)價(jià)新模型

何軍，范子菲，何聰鴿，張安剛，郝峰軍，張新順，劉麗，徐立坤

（中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

0 引言

壓裂水平井技術(shù)是通過增加井筒與地層的接觸面積，降低流體在地層中的滲流阻力，增加單井控制面積來提高油氣井產(chǎn)能的。該技術(shù)已廣泛應(yīng)用于低滲特低滲、薄層油氣藏及稠油油藏，并使之得以高效開發(fā)［1-3］。

準(zhǔn)確、快速評(píng)價(jià)壓裂水平井產(chǎn)能，成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題之一。任宗孝等［4］在垂直裂縫水平井非穩(wěn)產(chǎn)產(chǎn)能研究的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Gringarten源函數(shù)、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及坐標(biāo)評(píng)議原理，建立了傾斜裂縫壓裂水平井產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型，重點(diǎn)分析了裂縫夾角對(duì)水平井流動(dòng)階段、水平井井底壓力的影響。毛新軍等［5］在研究致密油藏壓裂水平井產(chǎn)能時(shí)，利用PEBI網(wǎng)格表征水力壓裂過程產(chǎn)生的不同裂縫，通過編制數(shù)值模擬程序評(píng)價(jià)壓裂水平井產(chǎn)能。朱維耀等［6］考慮薄互層儲(chǔ)層砂泥交互、儲(chǔ)層平面均質(zhì)而縱向非均質(zhì)的特點(diǎn)，建立了壓裂水平井開發(fā)薄互層的穩(wěn)產(chǎn)滲流數(shù)學(xué)模型。李波等［7］基于疊加原理、勢(shì)函數(shù)理論及流體力學(xué)相關(guān)原理，建立了考慮裂縫污染表皮系數(shù)、裂縫非均勻分布的壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，并通過正交實(shí)驗(yàn)分析了壓裂水平井產(chǎn)能主控因素，指導(dǎo)壓裂水平井部署及完井優(yōu)化。牟珍寶等［8］基于水電相似理論，考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感性，利用等值滲流阻力法建立了壓裂水平井產(chǎn)能公式。Rbeawi等［9］建立了傾斜裂縫壓裂水平井滲流模型，分析了裂縫穿透比對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響。曾凡輝等［10-11］將裂縫分解成微元段，利用點(diǎn)源函數(shù)理論、積分變化和疊加原理，建立了壓裂水平井半解析產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型。

關(guān)于壓裂水平井產(chǎn)能評(píng)價(jià)方法大多基于穩(wěn)態(tài)滲流，僅反映油氣井的穩(wěn)態(tài)滲流特征。此外，早期滲流模型假設(shè)地層為無限大，裂縫為無限導(dǎo)流，這就導(dǎo)致水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)結(jié)果偏大；部分模型考慮了非穩(wěn)態(tài)滲流及裂縫有限導(dǎo)流，但涉及Fredholm型積分的處理，求解復(fù)雜，制約了產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型的應(yīng)用。本文在裂縫等效井徑模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用鏡像反演及壓降疊加原理建立了封閉邊界壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析新方法，并據(jù)此分析各種因素對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。本文方法具有求解過程簡(jiǎn)單、求解精度高的優(yōu)點(diǎn)，可以滿足現(xiàn)場(chǎng)壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)要求。

1 封閉邊界壓裂水平井產(chǎn)能模型的建立

模型的假設(shè)條件：矩形封閉地層，儲(chǔ)層的厚度和滲透率為常數(shù)；流體為單相不可壓縮牛頓流體，黏度為常數(shù)，滲流滿足達(dá)西定律；裂縫為有限導(dǎo)流裂縫，水平井筒為無限導(dǎo)流（水平井筒壓降較小，可以忽略），流體由基質(zhì)進(jìn)入裂縫，再由裂縫進(jìn)入水平井井筒；裂縫形狀為矩形，貫穿整個(gè)油層；每條裂縫的參數(shù)可以不同，滲流為不穩(wěn)定滲流。

1.1 裂縫等效井徑

對(duì)于裂縫等效井徑，Prats等［12-14］進(jìn)行了深入的研究。王曉冬等［14］推導(dǎo)了直井有限導(dǎo)流裂縫的等效井徑公式，其計(jì)算結(jié)果與Prats等的計(jì)算結(jié)果一致：

式中：rwe為裂縫等效井徑，cm；xf為裂縫半長(zhǎng)，cm；UfD為裂縫無因次導(dǎo)流能力；f（ Ufd）為裂縫無因次導(dǎo)流能力影響函數(shù)；Kf為裂縫滲透率，μm2；wf為裂縫寬度，cm；K為儲(chǔ)層滲透率，μm2。

水平井裂縫中的流動(dòng)由兩部分構(gòu)成——井筒附近的徑向流動(dòng)和遠(yuǎn)離井筒的線性流動(dòng)。因此，相比直井裂縫中的流動(dòng)，壓裂水平井裂縫中的流動(dòng)會(huì)在井筒附近產(chǎn)生一個(gè)附加壓力降，這種現(xiàn)象稱作徑向聚流效應(yīng)。Brown等［15］給出了井筒聚流效應(yīng)的表皮系數(shù)：

因此，壓裂水平井裂縫的等效井徑［16］可以表示為

式中：Sc為聚流效應(yīng)表皮系數(shù)；h為儲(chǔ)層厚度，cm；rw為水平井筒井徑，cm。

1.2 鏡像反演

根據(jù)式（5），可以將封閉地層壓裂水平井每條裂縫都等效為一口直井（見圖 1，其中 rwe1，rwe2，rwe3，rwe4為相應(yīng)裂縫的等效井徑）。

矩形地層多口直井的生產(chǎn)可通過鏡像反演轉(zhuǎn)化為無限大地層多口井的生產(chǎn)（見圖2）。圖2中灰色區(qū)域代表原有的封閉地層，這里將圖中灰色區(qū)域部分的井定義為裂縫的等效井，其他井為與之對(duì)應(yīng)的鏡像井。虛線矩形部分代表4倍泄流面積，整個(gè)地層用虛線矩形均勻剖分，便可得到封閉地層多口直井鏡像反演的結(jié)果。在實(shí)際計(jì)算中，無需進(jìn)行無窮次反演，只需在縱向和橫向進(jìn)行有限次反演，便能得到較好的計(jì)算結(jié)果。

圖2 矩形封閉地層多井鏡像反演

以4條裂縫為例。在虛線矩形上、下、左、右各取n個(gè)（n取到一定數(shù)值后，就能使計(jì)算結(jié)果收斂）這樣的矩形，則這樣的矩形個(gè)數(shù)為 （2n+1）2，總的井?dāng)?shù)為16×（2n+1）2。通過分析所有井在等效井處的作用，便可求得每口等效井的產(chǎn)量，即壓裂水平井每條裂縫的產(chǎn)量。

在多口井進(jìn)行壓降疊加的基礎(chǔ)上，無限大地層單井在任意一點(diǎn)產(chǎn)生的壓降的計(jì)算公式為

綜上所述，濰北凹陷至少存在兩期油氣充注歷史，沙四段沉積中期至沙河街構(gòu)造運(yùn)動(dòng)開始是該區(qū)油氣的主要充注時(shí)期。但由于古地溫梯度和埋深不同，導(dǎo)致油氣充注時(shí)捕獲的流體溫度存在差異。凹陷東南部的昌70井第一期分布在50～70℃，而北部央5井在90～100℃，說明凹陷東南部烴源灶成熟度相對(duì)較低，油氣充注時(shí)流體溫度相對(duì)較低。同時(shí)，部分地區(qū)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)剝蝕后期沉降量較大，可能存在二次生排烴過程，油氣充注發(fā)生在館陶中后期至今，但僅在二次生烴區(qū)及其附近存在。此外，早期形成的油氣藏可能在后來的構(gòu)造運(yùn)動(dòng)中破壞發(fā)生次生調(diào)整形成多期成藏。

式中：pi為原始地層壓力，MPa；x，y分別為地層中任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，cm；x0，y0分別為井點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，cm；p（x，y，t）為地層任意一點(diǎn)壓力，MPa；q 為產(chǎn)量，cm3/s；μ 為流體黏度，mPa·s；η 為導(dǎo)壓系數(shù)，cm2/s；t為生產(chǎn)時(shí)間，s。

1.3 井點(diǎn)坐標(biāo)的求取

為了求得每口井的位置坐標(biāo)，選取圖2中紅色矩形區(qū)域?yàn)檠芯繂卧?，并建立相?yīng)的坐標(biāo)系（見圖3）。A1，B1，C1，D1 代表與裂縫 1 相對(duì)應(yīng)的直井；A2，B2，C2，D2 代表與裂縫 2 相對(duì)應(yīng)的直井；A3，B3，C3，D3 代表與裂縫3相對(duì)應(yīng)的直井；A4，B4，C4，D4代表與裂縫4相對(duì)應(yīng)的直井。將虛線矩形區(qū)域的16口井展開，就能得到所有井的坐標(biāo)。

圖3 矩形封閉地層鏡像反演剖分單元

裂縫 i（i=1，2，3，4）的等效井及其鏡像井的 x，y 坐標(biāo)可以表示為

式中：Wix為裂縫 i（i=1，2，3，4）對(duì)應(yīng)的等效井及鏡像井的 x 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣；Wiy為裂縫 i（i=1，2，3，4）對(duì)應(yīng)的等效井及鏡像井的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣；Aix，Bix，Cix，Dix分別為代表 Ai，Bi，Ci，Di井及其鏡像井的 x坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣（該矩陣為（2n+1）（2n+1）的矩陣）；Aiy，Biy，Ciy，Diy分別為代表 Ai，Bi，Ci，Di井及其鏡像井的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣（該矩陣為 （2n+1）（2n+1）的矩陣）。

設(shè) A1，A2，A3，A4 井的井點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）。為了與 Wix，Wiy的形式保持一致，這里將A1，A2，A3，A4井的井點(diǎn)坐標(biāo)寫成矩陣的形式。首先令Xi，Yi均為 （2n+1）（2n+1）的矩陣，Xi中每個(gè)元素為xi，Yi中每個(gè)元素為yi，則等效井的井點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為

式中：Weix為等效井 i（i=1，2，3，4）的 x 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣；Weiy為等效井 i（i=1，2，3，4）的 y 坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣。

rij為等效井 j（j=1，2，3，4）及其鏡像井距等效井 Ai（i=1，2，3，4）距離的平方：

其中： （Wjx-Wejx）2，（Wjy-Wejy）2表示2個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相減，然后平方；rij為一個(gè) （2n+1 ）×4（ 2n+1）的矩陣，根據(jù)下標(biāo)組合，共有16個(gè)這樣的矩陣。

1.4 壓裂水平井產(chǎn)能公式

已經(jīng)得到了所有井到矩形封閉地層4口等效井之間的距離，接下來應(yīng)用壓降疊加原理，求每口井在等效井處的壓降：

式中：Δpij為等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的壓降，MPa。

當(dāng)壓裂水平井各條裂縫變產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，此時(shí)需要用杜哈美原理求得每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓力降：

式中：Δpij（k）為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)下等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的壓降，MPa；t（k）為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，s。

為了便于求解每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的qj，令

式中：fij（k）為在第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)下等效井j及其鏡像井在等效井i處產(chǎn)生的滲流阻力，MPa·s/cm3。

由于流體在井筒的壓降較小，可以忽略，每口等效井在井底處的壓力是相等的，均為水平井的井底流壓。因此，當(dāng)只考慮1個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，針對(duì)每口等效直井都有1個(gè)壓降方程。以4條裂縫為例，其方程為

式中：pwf為井底流壓，MPa。

當(dāng)考慮k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，壓裂水平井產(chǎn)能公式為

式中：Fk為在第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)各條裂縫對(duì)應(yīng)的等效井及其鏡像井分別作用在各個(gè)等效井處的滲流阻力構(gòu)成的矩陣；Qk為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)所有等效井產(chǎn)量構(gòu)成的矩陣；Pk為第k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)所有等效井井底壓降構(gòu)成的矩陣。

式（16）即為矩形封閉地層4條裂縫壓裂水平井k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)產(chǎn)能求解公式。用相同的方法，可以求出n條裂縫k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓裂水平井產(chǎn)能公式，此時(shí)Fk，Qk，Pk分別為

將式（17）代入式（16），即可得到n條裂縫k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的壓裂水平井產(chǎn)能公式求解通式。

2 實(shí)例分析

油藏及壓裂水平井的基本參數(shù)為：油藏大小1500m×3 000 m，厚度 10 m，滲透率 0.01 μm2，孔隙度 10%；儲(chǔ)層綜合壓縮系數(shù) 5×10-4MPa-1，流體黏度 2 mPa·s；井筒半徑0.1 m，生產(chǎn)壓差10 MPa，水平段長(zhǎng)度500 m；裂縫長(zhǎng)度100 m，裂縫高度10 m，裂縫寬度1 cm，裂縫滲透率 10 μm2。

2.1 公式精度及可靠性驗(yàn)證

通過與源函數(shù)方法［17］對(duì)比，分析本文壓裂水平井產(chǎn)能公式的精度及可靠性。由圖4可知，無論是單裂縫還是3條裂縫壓裂水平井，本文的計(jì)算結(jié)果與源函數(shù)方法的結(jié)果都非常接近，二者相對(duì)誤差在3%以內(nèi)，從而證明了本文公式的正確性。

圖4 不同裂縫條數(shù)下壓裂水平井產(chǎn)能2種方法計(jì)算結(jié)果

2.2 壓裂水平井產(chǎn)能與時(shí)間的關(guān)系

由圖5可知，生產(chǎn)初期壓裂水平井產(chǎn)能變化劇烈，之后趨于平緩。這是由于初期裂縫內(nèi)液體流動(dòng)受裂縫間干擾較弱，但隨著生產(chǎn)時(shí)間的增長(zhǎng)，裂縫間的干擾逐漸增強(qiáng)。隨著裂縫條數(shù)的增加，壓裂水平井產(chǎn)能增幅呈減小趨勢(shì)。裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能有較大影響，所以，壓裂設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)首先考慮裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井的增產(chǎn)作用。

圖5 不同裂縫條數(shù)下壓裂水平井產(chǎn)能與時(shí)間的關(guān)系

2.3 壓裂水平井每條裂縫的產(chǎn)能分布

圖6為水平井壓裂5條裂縫生產(chǎn)的情形。由圖可知：首先，裂縫產(chǎn)能初期呈現(xiàn)急劇下降、之后趨于平穩(wěn)的特征；其次，同一時(shí)刻不同裂縫的產(chǎn)能存在差異，表現(xiàn)為外部裂縫產(chǎn)能高、中間裂縫產(chǎn)能低的特征，這是由于外部裂縫受到縫間干擾弱，內(nèi)部裂縫受到縫間干擾強(qiáng)。

圖6 壓裂水平井裂縫產(chǎn)能分布

2.4 縫長(zhǎng)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

由圖7可知，隨著裂縫縫長(zhǎng)的增加，水平井產(chǎn)能有所增加，但增加幅度較小。所以，縫長(zhǎng)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響有限，在壓裂過程中只需保證裂縫縫長(zhǎng)在一定范圍即可。

圖7 不同裂縫縫長(zhǎng)對(duì)水平井產(chǎn)能的影響

2.5 無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

圖8為無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。

圖8 不同時(shí)間無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

由圖8可知，無因次裂縫導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能具有重要影響。當(dāng)生產(chǎn)時(shí)間較短時(shí)（1 d），壓裂水平井產(chǎn)能隨著無因次裂縫導(dǎo)流能力的增大而顯著增加；隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加（15，30 d），壓裂水平井產(chǎn)能隨無因次裂縫導(dǎo)流能力增加的趨勢(shì)逐步減弱。另外，當(dāng)無因次裂縫導(dǎo)流能力過小（例如0.1）時(shí)，壓裂水平井產(chǎn)能急劇下降，因此，要讓水平井具有較高的產(chǎn)能，需使無因次裂縫導(dǎo)流能力大于一定值。

3 結(jié)束語

本文在裂縫等效井徑模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用鏡像反演及壓降疊加原理建立了封閉邊界壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析新方法，據(jù)此分析了各種因素對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。本文方法求解過程簡(jiǎn)單，求解精度高，可以滿足現(xiàn)場(chǎng)壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)的要求。