基于壓電效應(yīng)的大地極化聲子模擬研究

吳洋，嚴(yán)家斌

(1.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 2.有色資源與地質(zhì)災(zāi)害探查湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

0 引言

大地極化聲子測(cè)深技術(shù)是由烏克蘭科學(xué)家尤·阿·博格達(dá)諾夫提出的一種被動(dòng)源地球物理電磁勘探方法，地球內(nèi)部巖石的應(yīng)力變化導(dǎo)致巖石產(chǎn)生變形以及破壞斷裂，從而產(chǎn)生聲發(fā)射和電磁輻射，該方法通過(guò)測(cè)量電磁波輻射強(qiáng)度來(lái)研究地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)[1]。大地形變產(chǎn)生的電磁輻射具有較寬的頻率范圍，理論上，該方法可用于研究大地的地質(zhì)結(jié)構(gòu)。目前，在國(guó)內(nèi)已經(jīng)開(kāi)始進(jìn)行了一些試驗(yàn)和研究[2]。

大地構(gòu)造運(yùn)動(dòng)(如地震)會(huì)導(dǎo)致地球內(nèi)部應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生巨大變化，造成巖石中斷裂和裂隙產(chǎn)生。同樣，由于頁(yè)巖儲(chǔ)層的低孔和極低基質(zhì)滲透率的特點(diǎn)，頁(yè)巖氣的開(kāi)發(fā)主要采用壓裂技術(shù)，頁(yè)巖氣通常含有天然裂縫，一般會(huì)因?yàn)槟z結(jié)而封閉，這些天然裂縫容易在壓裂中破裂[3]，這個(gè)過(guò)程也會(huì)造成巖石的破裂。巖石破裂是指巖石在一定的應(yīng)力條件下，巖石中裂紋開(kāi)始萌生或者擴(kuò)大。1966年Cook通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了巖石的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，巖石的失穩(wěn)破裂并非發(fā)生在峰值強(qiáng)度點(diǎn)，而是在峰值載荷后。Cook的研究開(kāi)啟了巖石破裂過(guò)程的新篇章[4]。華保欽歸納了巖石破裂的3個(gè)應(yīng)力場(chǎng)條件：莫爾圓直徑增大；異常壓力發(fā)育時(shí)，造成一定深度下孔隙流體壓力與上覆負(fù)荷之比增大，有效應(yīng)力減??；最小主應(yīng)力為張力，最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的大小差距小[5]。唐志強(qiáng)等使用分離式SHPB裝置進(jìn)行巖石動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)火山碎屑巖以劈裂破壞為主，砂巖以壓碎破壞為主[6]。高美奔等采用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)不同實(shí)驗(yàn)條件下花崗巖的宏觀破裂特征進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)低溫低壓、低溫高壓和高溫高壓時(shí)巖樣以剪切破壞為主，高溫低壓時(shí)為張拉破壞。巖樣性能主要受?chē)鷫河绊懀瑴囟葘?duì)巖樣破裂方式有一定影響[7]。Glynn O.Cress等通過(guò)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)，記錄到巖石破裂時(shí)產(chǎn)生的電磁輻射[8]。龔強(qiáng)等利用張開(kāi)位移法研究了巖石產(chǎn)生的電磁輻射頻率與巖石彈性參數(shù)之間的關(guān)系，表明電磁輻射頻率除了與試件的尺寸有關(guān)外，還與巖石的彈性參數(shù)有關(guān)[9]。

對(duì)于巖石中電磁輻射產(chǎn)生的機(jī)制，許多學(xué)者提出了基于實(shí)驗(yàn)的觀點(diǎn)，認(rèn)為巖石產(chǎn)生的電磁輻射與聲發(fā)射有關(guān)[10-12]。聲發(fā)射是指巖石變形和破裂過(guò)程中以彈性波形式釋放的應(yīng)變能現(xiàn)象，聲發(fā)射是巖石變形和破裂的直接體現(xiàn)。20世紀(jì)30年代，Obert L等發(fā)現(xiàn)巖石破裂的聲發(fā)射現(xiàn)象[13]。 Kaiser觀察到金屬鋅、銅、鋁及鉛都有聲發(fā)射現(xiàn)象，并發(fā)現(xiàn)了聲發(fā)射的不可逆效應(yīng)——Kaiser效應(yīng)。唐春安通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)得到了巖石聲發(fā)射的3種基本模式：主震型、前震-主震-余震型、群震型[14]。張國(guó)凱等采用巖石加載系統(tǒng)獲得脆性花崗巖單軸壓縮全應(yīng)力—應(yīng)變曲線，同步測(cè)試聲發(fā)射和超聲波變化，研究了聲發(fā)射隨巖石破裂的變化規(guī)律[15]。趙伏軍等進(jìn)行了刀具靜力侵入花崗巖破碎實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)刀具靜力侵入巖石破碎的過(guò)程中，聲發(fā)射和電磁輻射有著很好的正相關(guān)性[16]。曹惠馨等通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)電磁輻射與聲發(fā)射的最大值在時(shí)間上對(duì)應(yīng)的約占70%，認(rèn)為巖石中的電磁輻射信號(hào)主要是由巖石破裂引起，除此之外可能還與壓電效應(yīng)等有關(guān)[17]。Yamada等進(jìn)行了巖石破裂電磁輻射與聲發(fā)射的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)電磁輻射的起始時(shí)間與聲發(fā)射的起始時(shí)間一致，并且拉伸裂紋比剪切裂紋產(chǎn)生電磁輻射的效率更高，認(rèn)為裂紋是產(chǎn)生電磁輻射的必要條件[18]。郭自強(qiáng)等通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)聲發(fā)射與電磁輻射的關(guān)系具有多樣性，既有伴隨聲發(fā)射的電磁輻射，也有不伴隨聲發(fā)射的電磁輻射，認(rèn)為巖石破裂產(chǎn)生的電磁輻射應(yīng)來(lái)源于多種機(jī)制[19]。徐為民等發(fā)現(xiàn)巖石破裂時(shí)，電磁脈沖與聲發(fā)射事件并不能完全一一對(duì)應(yīng)，認(rèn)為電磁輻射直接由巖石破碎產(chǎn)生[20]。王恩元等進(jìn)行了煤體受載變形破裂的實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明煤體變形破裂時(shí)能夠產(chǎn)生電磁輻射。但電磁輻射信號(hào)較聲發(fā)射信號(hào)豐富，認(rèn)為電磁輻射與煤體的變形破裂過(guò)程相關(guān)[21]。

研究者認(rèn)為震電效應(yīng)可能是引起巖石中產(chǎn)生電磁輻射的原因之一[22]。震電效應(yīng)是指地震波和電磁波能量的耦合與轉(zhuǎn)換，即機(jī)械力與電磁力的耦合，壓電效應(yīng)是其中的一種。Gokhberg認(rèn)為巖石的壓電效應(yīng)等力電現(xiàn)象是巖石在受載情況下，由分離電荷張弛產(chǎn)生的電磁輻射效應(yīng)[23]。劉煜洲等認(rèn)為巖石破裂的低頻電磁輻射是由壓電效應(yīng)產(chǎn)生的[24]。Huang從壓電效應(yīng)與斷層位錯(cuò)理論模型出發(fā)，解釋了同震電磁輻射信號(hào)的產(chǎn)生機(jī)制[25]。劉志祥研究了沖擊載荷作用下花崗巖產(chǎn)生的電磁輻射，分析了花崗巖產(chǎn)生電磁輻射的壓電效應(yīng)和斷裂動(dòng)力學(xué)機(jī)理[26]。李夕兵等認(rèn)為壓電效應(yīng)是巖石產(chǎn)生電磁輻射的原因，并從壓電效應(yīng)出發(fā)，闡明了應(yīng)力波和電磁波的耦合機(jī)制，解釋了地震和巖石破碎產(chǎn)生的聲、光、電現(xiàn)象[27]。雖然目前學(xué)界對(duì)于巖石破碎產(chǎn)生電磁輻射的機(jī)制還不能完全了解，但都不否認(rèn)壓電效應(yīng)對(duì)于巖石產(chǎn)生電磁輻射的貢獻(xiàn)。

盡管博格達(dá)諾夫提出了大地極化聲子的概念，國(guó)內(nèi)的研究學(xué)者們也進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，但其極化機(jī)理并不清楚，一般認(rèn)為這種大地極化聲子可能是由大地構(gòu)造活動(dòng)(如地震)或人類(lèi)活動(dòng)(如頁(yè)巖氣壓裂)產(chǎn)生的壓電效應(yīng)所致。本文嘗試從大地巖石破碎時(shí)的電磁發(fā)射過(guò)程出發(fā)，以壓電效應(yīng)為基礎(chǔ)，開(kāi)展對(duì)大地極化聲子測(cè)深技術(shù)的模擬研究，通過(guò)巖石破裂的壓電應(yīng)變矩陣和壓電本構(gòu)方程，導(dǎo)出巖石中電磁輻射與外力作用下的變換關(guān)系，模擬多種裂隙形態(tài)下的電磁輻射效應(yīng)，分析電磁輻射特征。

1 壓電電磁輻射原理

大地極化聲子測(cè)深技術(shù)的原理是機(jī)械運(yùn)動(dòng)使巖石的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化，巖石因受到擠壓產(chǎn)生變形直至破碎，產(chǎn)生極化聲子，從而發(fā)出電磁信號(hào)。這種極化聲子可能是由大地構(gòu)造活動(dòng)或人類(lèi)活動(dòng)產(chǎn)生的壓電效應(yīng)所致。

選擇坐標(biāo)軸x、y、z與晶軸X、Y、Z重合，壓電介質(zhì)的壓電應(yīng)變矩陣[28]為：

(1)

式中：d表示壓電應(yīng)變常數(shù)，第一個(gè)下標(biāo)表示所產(chǎn)生電位移的方向(1、2、3分別表示x，y，z方向)，第二個(gè)下標(biāo)表示作用力方向(1、2、3、4、5、6分別表示沿x、y、z三個(gè)軸方向的應(yīng)力和垂直于x、y、z三個(gè)軸平面(XZ、YZ、XY平面)作用的剪切力)。

在地殼上部，石英占66.4%，并且是許多巖石的成巖礦物，這為壓電效應(yīng)提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，故用石英的壓電應(yīng)變矩陣來(lái)代替地殼中含有石英等壓電介質(zhì)的巖石的壓電應(yīng)變矩陣。石英晶體的壓電應(yīng)變常數(shù)與其內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)，屬于三角晶系32點(diǎn)群。有3個(gè)晶軸：x軸、y軸和z軸，當(dāng)晶體沿x軸或者y軸方向受到壓力時(shí)，晶格變形，產(chǎn)生壓電效應(yīng)；沿z軸方向受到力時(shí)，由于晶格的變形不會(huì)引起正負(fù)電荷中心的分離，不會(huì)產(chǎn)生壓電效應(yīng)。因此，含有石英等壓電介質(zhì)的巖體的壓電應(yīng)變矩陣[29]為：

(2)

設(shè)巖體中有一個(gè)沿x方向傳播的縱波：

T1=T0e-η0xei(ω0t-k0x)，

(3)

式中：ω為應(yīng)力波的角頻率，T0為應(yīng)力波的初始振幅值，k0是應(yīng)力波的波數(shù)，η0為應(yīng)力波的衰減系數(shù)。巖石受應(yīng)力波作用而變形，產(chǎn)生壓電效應(yīng)。根據(jù)壓電本構(gòu)方程[30]：

(4)

式中：D為電位移矢量，T為應(yīng)力波，E為外加電場(chǎng)強(qiáng)度，dT為d的轉(zhuǎn)置矩陣，εT表示應(yīng)力恒定時(shí)的介電常數(shù)，sE表示場(chǎng)強(qiáng)恒定時(shí)的彈性柔順常數(shù)。

由式(2)、(3)、(4)可以得到應(yīng)力場(chǎng)對(duì)電位移矢量D壓電產(chǎn)生壓電貢獻(xiàn)(不考慮外加電場(chǎng)，即E=0)，由于應(yīng)力波沿x方向?qū)α严妒┘幼饔昧?，在垂直x軸的平面上產(chǎn)生電荷，因此只需考慮式(2)中的d11參數(shù)：

D壓電=d11T1，

(5)

D壓電是諧變的，服從麥克斯韋方程組：

(6)

以及電磁媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式：

(7)

式中：B、H、D和E分別為電磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度；μ為磁導(dǎo)率；Jc為傳導(dǎo)電流密度，在巖體中設(shè)Jc=0。

由式(6)、(7)得到：

(8)

式中：k是電磁波的復(fù)波數(shù)，σ為電導(dǎo)率，ω為電磁波的角頻率。

將式(5)代入式(8)，可得應(yīng)力波作用下巖石產(chǎn)生電磁輻射的方程：

(9)

(10)

由于電磁波在巖石介質(zhì)中具有色散特性，將電磁波用復(fù)數(shù)形式表示，設(shè)：

E=Eeei(ωt)，

(11)

將式(11)代入式(10)可得：

(12)

利用邊界條件及電磁波的極限條件，解方程得：

(13)

應(yīng)力波作用下，巖石產(chǎn)生的電磁輻射方程為：

(14)

電磁輻射信號(hào)在巖石介質(zhì)中傳播時(shí)會(huì)發(fā)生衰減及相變，引入e-ikr。由式(6)得到電磁波的復(fù)波數(shù)、衰減系數(shù)和相位系數(shù)[31]：

(15)

(16)

(17)

式中：k為復(fù)波數(shù)，α是電磁波的衰減系數(shù)，β為電磁波的相位系數(shù)，σ為大地介質(zhì)的電導(dǎo)率，ω為電磁波的角頻率，r表示電磁波傳播的距離。應(yīng)力波作用下，巖石產(chǎn)生電磁輻射的傳播方程為：

(18)

2 發(fā)射頻率

Rabinovitch等通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)巖石產(chǎn)生的電磁輻射頻率受裂紋寬度的限制，頻率與裂紋寬度成反比，并給出了電磁輻射頻率與裂紋寬度之間的關(guān)系[32]：

(19)

式中：ω為角頻率，vR為瑞利波速，b為裂紋寬度。

根據(jù)波動(dòng)理論以及瑞利波速公式[33]：

(20)

(21)

式中：f為頻率，μb為泊松比，ET為彈性模量，ρ為密度。可以得到巖石產(chǎn)生的電磁輻射頻率與裂紋寬度的關(guān)系：

(22)

顯然電磁輻射頻率與裂紋寬度及巖石的物理性質(zhì)有關(guān)。含石英類(lèi)巖石的泊松比范圍為0.10～0.40，彈性模量一般為10～100 GPa，密度為2.6～2.9 kg/m3，故取泊松比μb=0.25，密度ρ=2.65×103kg/m3，彈性模量ET=50 GPa。圖1a為根據(jù)式(22)得到的電磁輻射頻率隨裂紋寬度的變化曲線，可以看到巖石破裂產(chǎn)生的電磁輻射頻率較高，一般大于105Hz，同時(shí)電磁輻射頻率隨裂紋寬度的增大呈指數(shù)減小。

取裂隙寬度b=0.005 m，密度與彈性模量與上述相同，得到電磁輻射頻率隨泊松比的變化如圖1b所示，可以看到電磁輻射頻率隨泊松比的增大呈線性衰減。類(lèi)似地可以得到電磁輻射頻率隨彈性模量與密度的變化如圖1c、d所示，可以看到電磁輻射頻率隨彈性模量的增大而增大，隨密度的增大而減小。比較圖1可以看到電磁輻射頻率受泊松比和彈性模量影響較小，受裂隙寬度和密度影響較大。

圖1 電磁輻射頻率隨巖石參數(shù)的變化Fig.1 Variation curve of electromagnetic radiation frequency with rock parameters

3 數(shù)值模擬與分析

通過(guò)對(duì)裂隙單模型和組合模型的電磁輻射響應(yīng)特征的數(shù)值模擬，討論基于壓電效應(yīng)的大地極化聲子測(cè)深技術(shù)的有效性。

3.1 單模型

設(shè)地下電阻率為1 000 Ω·m的均勻半空間中存在1個(gè)三角形裂隙(圖2)，傾角θ分別為10°、30°、60°和90°；裂隙埋深H=500 m，裂隙長(zhǎng)度L0=50 m，最大寬度B0=0.01 m。應(yīng)力波作用時(shí)間t=1 s，應(yīng)力波角頻率ω0=(2π×10) rad/s，應(yīng)力波波數(shù)k0=0.01 m-1，衰減系數(shù)η0=0.05。磁導(dǎo)率為真空磁導(dǎo)率μ=4π×10-7H/m。根據(jù)含石英類(lèi)巖石的介電常數(shù)為(4～9)×8.85×10-12F/m和壓電應(yīng)變常數(shù)范圍為(0.5～5)×10-13C/N，故取介電常數(shù)為ε=5×8.85×10-12F/m，壓電應(yīng)變常數(shù)d11=10-13C/N。泊松比μb=0.25，密度ρ=2.65×103kg/m3，彈性模量ET=50 GPa，電導(dǎo)率σ=0.001 S/m。設(shè)有一個(gè)水平方向的應(yīng)力波，其作用力T0=107Pa，且電磁輻射由應(yīng)力垂直于裂隙方向的分力產(chǎn)生。

圖2 傾斜裂隙模型示意Fig.2 Schematic diagram of inclined fracture model

圖3是巖石裂隙電磁發(fā)射的地表電場(chǎng)幅值。由圖3a可以看到：電場(chǎng)幅值曲線的變化趨勢(shì)為中間高兩邊低，電磁發(fā)射頻率越低，電場(chǎng)幅值就越大；隨著頻率的增加，幅值快速下降；電場(chǎng)幅值的極值點(diǎn)位置和大小隨頻率變化，頻率越低，極值點(diǎn)越大，越偏離中心(裂隙頂點(diǎn)在地表的投影)。

將不同產(chǎn)狀的裂隙電場(chǎng)幅值圖進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)傾斜程度越大(即傾角越小)的裂隙，電場(chǎng)(從低頻到高頻)的幅值和極值點(diǎn)越小，極值點(diǎn)偏離坐標(biāo)軸中心也越遠(yuǎn)。電場(chǎng)幅值的位置以及變化趨勢(shì)能夠反映出裂隙的位置和產(chǎn)狀。極值點(diǎn)的連線方向與裂隙的傾斜方向相反；連線方向與地表鉛垂方向的夾角反映了裂隙的傾斜度的大小。夾角越大，裂隙的傾斜度越大。通過(guò)曲線的頻率能夠定性分析裂隙的寬度變化。

圖4分別是不同傾角的裂隙的電場(chǎng)矢量圖(z軸向上為正方向，x軸向右為正方向)。以圖4d為例，電場(chǎng)的矢量方向沿一個(gè)方向變化(順時(shí)針?lè)较?，矢量幅值變化趨勢(shì)為增大—降低—增大—降低，在正負(fù)方向上各擁有一個(gè)極值;在z軸正方向上極值與負(fù)方向上的極值相近。

將不同產(chǎn)狀的裂隙電場(chǎng)矢量圖進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)豎直裂隙的z軸正方向極值與負(fù)方向極值相同。傾斜程度越大(即傾角越小)的裂隙，其z軸負(fù)方向上的極值相比正方向也就越小，直到30°的裂隙的負(fù)值消失。根據(jù)電場(chǎng)矢量圖所顯示的地表電場(chǎng)的幅值、方向及變化趨勢(shì)，能夠大致判斷出產(chǎn)生電磁輻射的電場(chǎng)源的產(chǎn)狀和位置以及深度。

圖3 裂隙電場(chǎng)幅值隨傾角變化Fig.3 The electric field amplitude of the fissure varies with the inclination angle

圖4 裂隙電場(chǎng)矢量隨傾角變化Fig.4 Crack electric field vector changes with inclination angle

3.2 組合模型

設(shè)地下電阻率為1 000 Ω·m的均勻半空間，存在2個(gè)分開(kāi)的豎直的完全一致的三角形裂隙(圖5)，裂隙埋深H=500 m，長(zhǎng)度L0=50 m,其他參數(shù)同上。2個(gè)裂隙都受到水平方向的應(yīng)力波T0=107Pa的作用。

圖5 組合裂隙模型示意Fig.5 Schematic diagram of combined fracture model

從圖6可以看到：電場(chǎng)幅值由雙峰組成，頻率越低，曲線的幅值越大，且所有頻率電磁輻射幅值的極值點(diǎn)都位于x=-200 m或x=200 m線上。從圖7可以看到，電場(chǎng)的矢量并不是沿一個(gè)方向變化，出現(xiàn)了重復(fù)的矢量方向，矢量在z軸正方向上有2個(gè)極值，左邊極值大于右邊；在負(fù)方向上也有2個(gè)極值，但是右邊極值大于左邊。通過(guò)圖6和圖7，能夠大致判斷出組合裂隙的位置。

通過(guò)對(duì)比單裂隙模型可以發(fā)現(xiàn)組合裂隙與單裂隙的差別：在電場(chǎng)幅值圖中單異常體是單峰，而組合裂隙是多峰，并有波谷存在；在電場(chǎng)矢量圖中雖然單裂隙電場(chǎng)方向是沿順時(shí)針變化的，而組合裂隙的電場(chǎng)方向變化趨勢(shì)會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)變，單裂隙不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的矢量方向，且只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，但組合裂隙有多個(gè)極大值和多個(gè)極小值。運(yùn)用該方法能夠分辨組合裂隙與單裂隙，同時(shí)能夠大致判斷組合裂隙的位置。

圖6 組合裂隙電場(chǎng)幅值Fig.6 The electric field amplitude of the combined fracture

圖7 組合裂隙電場(chǎng)矢量Fig.7 Electric field vector of combined fracture

4 結(jié)論

本文從巖石的壓電效應(yīng)出發(fā)，推導(dǎo)出在均勻半空間情況下巖石的電磁輻射的產(chǎn)生和傳播方程。巖石破裂產(chǎn)生的電磁輻射頻率與裂隙的尺度及波的彈性參數(shù)有關(guān)，裂紋寬度越大，產(chǎn)生的電磁輻射頻率越低，但一般高于105Hz；同時(shí)，電磁輻射頻率還會(huì)受到巖石的泊松比、彈性模量與密度的影響。

對(duì)不同產(chǎn)狀及形態(tài)的裂隙模擬表明，巖石破裂產(chǎn)生的電磁輻射響應(yīng)特征明顯，在裂隙的上方有極值存在，極值大小隨裂隙的尺度及頻率變化，并且可以通過(guò)多個(gè)頻率的極值變化特征推斷裂隙的產(chǎn)狀，利用其電磁輻射響應(yīng)及矢量圖可以識(shí)別裂隙的數(shù)量。模擬研究表明基于巖石壓電效應(yīng)為基礎(chǔ)的大地極化聲子測(cè)深技術(shù)具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。