圓錐曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的等角問(wèn)題

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)(710061) 李朋濤

準(zhǔn)備知識(shí)在全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)《數(shù)學(xué)(第二冊(cè)(上))》(2006年人民教育出版社)第138-139 頁(yè)的閱讀材料“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”中給出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),現(xiàn)在敘述如下:

(1)從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

(2)從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)雙曲線反射后,反射光線的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).

(3)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線反射,反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.

教科書中并沒(méi)有給出證明,證明過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2].

準(zhǔn)備知識(shí)2(角平分線定理)在?ABC中∠A的內(nèi)角平分線AD交BC于點(diǎn)D,則有∠A的外角平分線AE交BC于點(diǎn)E,則有

值得注意的是角平分線定理的逆定理也是成立的.使用面積法易證角平分線定理,這里不再贅述.

圖1

下面我們來(lái)看一道引例.

題目1(2006年北京大學(xué)自主招生保送生測(cè)試題)已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)橢圓外一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,求證:∠APF1=∠F2PB.

證明作出F1關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)F′1,由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知F′1、A、F2三點(diǎn)共線;同理作出F2關(guān)于切線PB的對(duì)稱點(diǎn)F′2,由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知、B、F1三點(diǎn)共線,如圖2 所示.

圖2

因F′1F2=F′1A+AF2=AF1+AF2=BF1+BF2=BF1+BF′2=F1F′2,又由對(duì)稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2= ∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,即2∠APF1=2∠BPF2,所以∠APF1=∠F2PB,證畢.

注通過(guò)?PF′1F2∽= ?PF1F′2我們還可以得到:∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

于是通過(guò)對(duì)題目1 的解答我們得到如下性質(zhì):

性質(zhì)1(橢圓等角性質(zhì))已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)橢圓外一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則有下面結(jié)果:

①∠APF1=∠F2PB;

②∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

那么,我們自然會(huì)問(wèn)這個(gè)結(jié)論對(duì)雙曲線和拋物線是否也成立.筆者經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)果.現(xiàn)展示如下:

性質(zhì)2(雙曲線等角性質(zhì))已知F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)雙曲線外部一點(diǎn)P(把含雙曲線焦點(diǎn)的區(qū)域稱為該雙曲線的內(nèi)部)作雙曲線的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.

(i)若切點(diǎn)在雙曲線的異支上,則有下面結(jié)果:

①∠APF1=∠F2PB;

②∠PF1A+∠BF1P=π,∠PF2A+∠BF2P=π.

(ii)若切點(diǎn)在雙曲線的同支上,則有下面結(jié)果:

①∠APF1+∠F2PB=π;

②∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

證明(i)作出F1關(guān)于切線PB的對(duì)稱點(diǎn)F′1,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知F′1、F2、B三點(diǎn)共線; 同理作出F2關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)F′2,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知F′2、F1、A三點(diǎn)共線,如圖3 所示.

圖3

因F′1F2=BF′1?BF2=BF1?BF2=AF2?AF1=AF′2?AF1=F1F′2,又由對(duì)稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2= ∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,可知∠APF1= ∠BPF2,即2(∠F′1PF2+∠BPF2) =2(∠F1PF′2+∠APF1),所以∠APF1=∠F2PB.

又由?PF′1F2∽= ?PF1F′2可知∠PF1A+∠BF1P=∠PF1A+ ∠BF′1P= ∠PF1A+ ∠PF1F′2=π,同理可得∠PF2A+∠BF2P=π.

(ii)作出F1關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)F′1,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知F′1、F2、A三點(diǎn)共線;同理作出F2關(guān)于切線PB的對(duì)稱點(diǎn)F′2,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知F′2、F1、B三點(diǎn)共線,如圖4 所示.

圖4

因F′1F2=AF′1?AF2=AF1?AF2=BF1?BF2=BF1?BF′2=F1F′2,又由對(duì)稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2=∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,可知即∠XPA=∠BPF2(X為F1P延長(zhǎng)線上一點(diǎn)),所以∠APF1+∠F2PB=∠APF1+∠XPA=π.

又 由?PF′1F2∽= ?PF1F′2,顯然可知∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P,證畢.

性質(zhì)3(拋物線的等角性質(zhì))已知F為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)拋物線外部一點(diǎn)P(把含拋物線焦點(diǎn)的區(qū)域稱為該拋物線的內(nèi)部)作拋物線的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.則我們有下面結(jié)果:

①過(guò)P作直線PM平行于拋物線的對(duì)稱軸且交AB于點(diǎn)M,則∠APF=∠MPB;

②∠PFA=∠BFP.

證明作焦點(diǎn)F關(guān)于切線PA、PB的對(duì)稱點(diǎn)F′、F′′,如 圖5 所示,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知AF′、BF′′均平行于拋物線的對(duì)稱軸,所以直線F′F′′為拋物線的準(zhǔn)線.

圖5

由對(duì)稱性可知PF′=PF=PF′′,所以可知∠AF′P=+∠PF′′F′= ∠BF′′P,故∠AFP=∠AF′P=∠BF′′P=∠BFP.

又因2π=∠AF′P+∠F′PF′′+∠PF′′B=2∠AFP+∠F′PF′′= 2(∠AFP+ ∠APF+ ∠BPF),所 以 可 知∠AFP+ ∠APF+ ∠BPF=π,而∠AFP+ ∠APF+∠PAF=π,從而有∠PAF= ∠BPF,由此可知?APF∽?PBF.

因AF′//BF′′//PM可 知∠APF= ∠PBF=∠PBF′′=∠MPB,證畢.

總結(jié)比較一下我們得到的橢圓,雙曲線及拋物線中的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)它們不盡相同,但是如果將這些角看作有向角時(shí),則這些規(guī)律在橢圓,雙曲線及拋物線中就得到了統(tǒng)一.即我們得到了圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論:已知F1、F2為圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)P作圓錐曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則我們有下面結(jié)果:.(其中“”指的是有向角,如指的是直線AO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線OB重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的角;對(duì)于拋物線的第二個(gè)焦點(diǎn)可以理解為在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)).

以下我們關(guān)注有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)三角形外角平分線的一個(gè)性質(zhì).首先來(lái)看如下的引例:

題目2(2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)已知橢圓1 的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)G(4,0) 作斜率不為0 的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),設(shè)直線FM,FN的斜率分別為k1,k2,是判斷k1+k2是否為定值,若是定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

說(shuō)明此題答案為k1+k2= 0,解答略.如圖6 所示,筆者發(fā)現(xiàn)題中弦MN與x軸的交點(diǎn)G正好在橢圓的準(zhǔn)線上,而k1+k2= 0 說(shuō)明FG是∠MFN的外角平分線.那么此題的結(jié)論是否具有一般性呢? 若具有一般性那么能否推廣到雙曲線和拋物線中呢? 帶著這些問(wèn)題筆者分別對(duì)橢圓,雙曲線及拋物線進(jìn)行了一系列探索,得到了如下結(jié)論:

圖6

性質(zhì)4已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),弦PP′交準(zhǔn)線l于點(diǎn)K,則F1K平分∠PF1P′的外角.

證明如圖7 所示,過(guò)P、P′作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知F1K平分∠PF1P′的外角,證畢.

圖7

推論1當(dāng)P′與P重合時(shí),此時(shí)弦PP′變?yōu)檫^(guò)P點(diǎn)的切線,則有結(jié)論F1K ⊥F1P.

性質(zhì)5已知F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),弦PP′交準(zhǔn)線l于點(diǎn)K.

(i)當(dāng)P、P′在雙曲線同支上時(shí),如下圖8 所示,則F2K平分∠PF2P′的外角.

(ii)當(dāng)P、P′在雙曲線異支上時(shí),如下圖9 所示,則F2K平分∠PF2P′.

證明(i) 如圖8,過(guò)P、P′作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知F2K平分∠PF2P′的外角,證畢.

圖8

(ii) 如圖9 所示,過(guò)P、P′作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知,由角平分線定理逆定理可知F2K平分∠PF2P′,證畢.

圖9

推論2當(dāng)P′與P重合時(shí),此時(shí)弦PP′變?yōu)檫^(guò)P點(diǎn)的切線,則有結(jié)論F2K ⊥F2P.

性質(zhì)6已知F為拋物線的焦點(diǎn),弦PP′交準(zhǔn)線于點(diǎn)K,則FK平分∠PFP′的外角.

證明作P、P′在準(zhǔn)線上的射影A、B,如圖10 所示,由拋物線定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知FK平分∠PFP′的外角,證畢.

圖10

推論3當(dāng)P′與P重合時(shí),此時(shí)弦PP′變?yōu)檫^(guò)P點(diǎn)的切線,則有結(jié)論FK ⊥FP.

總結(jié)由性質(zhì)4-6,我們到了圓錐曲線的一組統(tǒng)一性質(zhì):已知F為圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的一個(gè)焦點(diǎn),直線l為焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線,弦PP′與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)K,則FK平分∠PFP′的外角.特別地,當(dāng)P′與P重合時(shí),此時(shí)弦PP′變?yōu)檫^(guò)P點(diǎn)的切線,則有FK ⊥FP(當(dāng)P,P′在雙曲線異支上時(shí)例外).

圓錐曲線的知識(shí)豐富多彩,引人入勝,只要我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中多留意,多探索就能發(fā)現(xiàn)圓錐曲線更多的性質(zhì).