另類角度看數(shù)列中的“裂項(xiàng)”

中山市桂山中學(xué)(528463) 蔡曉波 余鐵青 唐軍偉

裂項(xiàng)是高中數(shù)列求和中常見且常考的題型之一,該類問題具有一定巧妙性,很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)美,很好的考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.在常規(guī)的教學(xué)中,大部分學(xué)生往往僅僅掌握一些常見的裂項(xiàng)的形式,并未清楚其背后的數(shù)學(xué)模型與潛在本質(zhì).因此,當(dāng)題目稍有變化,學(xué)生就可能不知所措.據(jù)此,筆者嘗試從更多角度來剖析裂項(xiàng),力求揭示裂項(xiàng)的數(shù)學(xué)本質(zhì),并以此得出更多的非常規(guī)的裂項(xiàng)形式.

一、常見的裂項(xiàng)形式

高中階段,學(xué)生常見的裂項(xiàng)形式有(以下約定n ∈N+):

4.公式型:也就是運(yùn)用某個(gè)公式可以化為2 項(xiàng)相減的形式,比如:,tan(α ?β)(1+tanαtanβ)=tanα ?tanβ,……

對(duì)于第四種類型,實(shí)際上就是公式的變形而已.故而筆者主要針對(duì)類型1-3 進(jìn)行了探究.

二、分子分母關(guān)系角度

例1(2020年中山市桂山中學(xué)周末練習(xí))已知遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S1= 1,S2,S3?1,S4成等比數(shù)列.

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2) 已知bn=,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.

解(1)過程略,可得an=2n ?1.(2)

評(píng)注此題關(guān)鍵在于觀察出分母兩個(gè)因式2n+1、2n+3與分子4n+4 的線性關(guān)系,則問題可迎刃而解.

例2(2020年江西省奉新縣第一中學(xué)月考(文)節(jié)選)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=a2n+an ?2.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若bn=(n ∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;

分析第一問容易求得an=n+ 1,故bn=題目學(xué)生容易產(chǎn)生“裂項(xiàng)”感覺,因此必須找出n,n+1 與n ?1 直線的線性關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn)n ?1=2n ?(n+1),故bn=,那么問題迎刃而解.

解略.

結(jié)合等差數(shù)列,基于分子是分母因式a與b的線性組合的思想,那么我們對(duì)例2 進(jìn)行推廣可得出:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,m,n為常數(shù)且mn>0,q=則

顯然,當(dāng)an=n,m=?1,n=?2 時(shí)即為例2.

如果把模型與三角函數(shù)相結(jié)合,運(yùn)用和差化積公式,我們可得如下的裂項(xiàng)形式:

為此我們可編得如下題目供學(xué)生練習(xí):

例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

解由

故

故

三、冪的角度

例4證明:12+22+32+···+n2=

分析這是人教A 版數(shù)學(xué)選修2-2 的一道經(jīng)典例題,該題課本采用數(shù)學(xué)歸納法來證明,該題的證明方法很多,但如果利用“高次”相減可以得“低次”的思想,那么通過嘗試不難得到:故相加可得:

解略.

那么類似的,在得出1k?1+2k?1+3k?1+···+nk?1的求和公式的情況下,對(duì)于1k+2k+3k+···+nk的求和公式均可利用類似的思想求得.

四、因式分解角度

對(duì)于這個(gè)公式,我們僅需對(duì)a,b代入特殊的形式就可以得到不同的無理型的裂項(xiàng)形式.令(n ∈N+,n0為正整數(shù))可得:

顯然,當(dāng)k=2 時(shí),即為常見的無理型:

五、斜率角度,統(tǒng)一歸一

在上文第三節(jié)中,我們利用了“高次”相減可以得“低次”的思想,那么我們很自然可以想到導(dǎo)數(shù)也可以把次數(shù)降低,而數(shù)列是離散的,那么對(duì)應(yīng)的就應(yīng)該是類似于“差分”的形式,其幾何意義應(yīng)該對(duì)應(yīng)了斜率,為方便理解,我們對(duì)第一節(jié)中常見的裂項(xiàng)形式(1)-(3)賦予特殊值可得到裂項(xiàng)與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

(一) 對(duì)于第一節(jié)中的等差數(shù)列型,我們令an=n,k= 1 可得常見的裂項(xiàng)形式:

設(shè)f(x) =可得等式左邊顯然幾何意義為:兩點(diǎn)(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對(duì)f(x)求導(dǎo)可得:f′(x) =

(二)對(duì)于第一節(jié)中的無理型,我們令n0=1 可得常見的形式

設(shè)f(x) =可得等式左邊,顯然幾何意義為:兩點(diǎn)(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對(duì)f(x)求導(dǎo)可得:f′(x) =

(三) 對(duì)于第一節(jié)中的指數(shù)型,我們令k= 1 可得常見的形式:即

設(shè)f(x)=可得等式左邊顯然幾何意義為:兩點(diǎn)(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對(duì)f(x)求導(dǎo)可得:f′(x) =

裂項(xiàng)在題目中一般是為了求和,從而相消; 如果畫出上述函數(shù)的圖形,我們可得裂項(xiàng)求和的幾何意義為:

一個(gè)連續(xù)函數(shù)上有n+1 個(gè)點(diǎn)A0,A1,A2,··· ,An,Ai坐標(biāo)為:Ai(xi,yi)(0 ≤i≤n,i ∈N),且滿足xi+1?xi為大于零的定值,設(shè)AiAi+1的斜率為ki+1則有:(n ?1)kAnA0,(kAnA0為A0An的斜率).

證明不妨設(shè)xi+1?xi= ?x,則AiAi+1的斜率,故

得證.

由此我們可以充分感受到裂項(xiàng)數(shù)學(xué)的美與它的巧妙.