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    巧構(gòu)“輔助圓”,妙解“最值”問題

    2021-06-07 05:30:46
    初中生世界 2021年19期
    關(guān)鍵詞:最值線段半徑

    文 殷 娟

    許多同學(xué)在圓的學(xué)習(xí)中都會通過添加垂線段、連半徑、連直徑等進(jìn)行解題,但在解決一些較難問題時(shí),上述方法就起不了多少作用。而有時(shí)在圖形中構(gòu)造圓能獲得意想不到的效果。下面就以幾道例題和同學(xué)們一起分析如何用“輔助圓”來求解“最值”問題。

    一、折疊問題中的輔助圓

    例1(2019·江蘇宜興一模)如圖1,在Rt△ABC中,∠B=60°,BC=3,D是BC邊上的三等分點(diǎn),BD=2CD,E為AB邊上一動點(diǎn)。將△DBE沿DE折疊到△DB′E的位置,連接AB′,則線段AB′的最小值是____。

    圖1

    【解析】△DBE在折疊的過程中,滿足DB=DB′,即點(diǎn)B′始終是在以點(diǎn)D為圓心,DB長為半徑的圓上運(yùn)動(如圖2)。點(diǎn)A是圓外一點(diǎn),由圖1 可以看到AB′要取到最小值,則點(diǎn)A、B′、D必須共線。在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得,則AB′的最小值為AD-DB′。

    圖2

    【總結(jié)】折疊圖形有“共端點(diǎn)、等線段”的特征,滿足圓的定義。利用這一特征構(gòu)造“輔助圓”,再利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”的原理便能很快找到對應(yīng)線段的最值。

    二、直角三角形中的輔助圓

    例2(2017·江蘇江陰一模)如圖3,在等腰△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA⊥PB,則PC的取值范圍為____。

    圖3

    【解析】由∠APB為“直角”這個(gè)特征,聯(lián)想到90°角所對的弦是直徑,可以構(gòu)造經(jīng)過A、B、P三點(diǎn)的⊙M(如圖4),半徑為1。點(diǎn)P在⊙M上運(yùn)動,PC的長度也隨之不斷變化。我們在運(yùn)動中不難發(fā)現(xiàn)PC所在的直線經(jīng)過圓心M時(shí),可以取到最大或最小值。圖4 中,;圖5 中,PCmax=MC+MP。

    圖4

    圖5

    【總結(jié)】直角三角形中,“定斜邊、動直角頂點(diǎn)”的特征,滿足90°的圓周角所對的弦是直徑。以定斜邊為直徑構(gòu)造圓能解決線段的最值問題。

    三、定弦、定角中的輔助圓

    例3(2020·江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)一模)如圖6,點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠BDC=120°,則的最小值是________。

    【解析】∠BDC=120°,BC為等邊△ABC的一條邊,如圖7 可以構(gòu)造經(jīng)過B、D、C三點(diǎn)的⊙O。要求的值,從結(jié)構(gòu)上來看,我們多半采用相似三角形中對應(yīng)線段的比值來進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。延長AD與圓相交于點(diǎn)E,連BE(如圖8),易知△ABD∽△AEB,故即。如圖9 可知,當(dāng)BE為直徑時(shí),在Rt△ABE中易求得。

    圖7

    圖8

    圖9

    【總結(jié)】“定角、定線段”的結(jié)構(gòu)特征可以與圓中“定角、定弦長”聯(lián)系起來。

    很多幾何問題雖然看上去與圓無關(guān),但是我們?nèi)绻芙Y(jié)合條件補(bǔ)作“輔助圓”,便可使一些“最值”問題化繁為簡,化難為易。

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