基于離散人工蜂群算法的分布式裝配置換流水車間調(diào)度問題

摘 ?要：文章針對(duì)分布式裝配置換流水車間調(diào)度問題，提出一種離散人工蜂群算法，以最小化最大完工時(shí)間。首先，提出一種基于隨機(jī)產(chǎn)品與工件順序的初始解生成方法。然后，設(shè)計(jì)一種基于關(guān)鍵路徑的種群個(gè)體領(lǐng)域搜索策略，并結(jié)合錦標(biāo)賽選擇與新型精英保留策略，以達(dá)到加速種群收斂的目的。最后，通過變換陷入局部陷阱的種群個(gè)體，實(shí)現(xiàn)挖掘與探索能力的平衡。研究中基于1 710個(gè)算例，進(jìn)行了大量的計(jì)算實(shí)驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：流水車間;調(diào)度;人工蜂群算法;最大完工時(shí)間

中圖分類號(hào)：TP301.1 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2096-4706（2021）24-0124-06

Abstract： For the distributed assembly permutation flow shop scheduling problem， a discrete artificial bee colony algorithm is proposed to minimize the makespan. Firstly， an initial solution generation method based on random product order and workpiece order is proposed. Secondly， an population individual neighborhood search strategy based on the critical path is designed， and tournament selection and novel elite retention strategy are employed to accelerate population convergence. Finally， the balance of exploitation and exploration capability is achieved by transforming the population individuals caught in local traps. A large number of computational experiments based on 1710 instances are carried out. The results verify the superiority of the proposed algorithm.

Keywords： flow shop; scheduling; artificial bee colony algorithm; makespan

0 ?引 ?言

裝配置換流水車間調(diào)度問題（Assembly Permutation Flow Shop Scheduling Problem， APFSSP）廣泛存在于消防車生產(chǎn)[1]、電腦裝配[2]、電路板生產(chǎn)[3]和塑料生產(chǎn)[4]等制造系統(tǒng)，以及分布式數(shù)據(jù)系統(tǒng)[5]、多頁(yè)發(fā)票打印系統(tǒng)[6]等服務(wù)系統(tǒng)中。APFSSP假定只有一個(gè)生產(chǎn)中心或工廠，所有工序都在同一個(gè)工廠完成。然而，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇迫使很多企業(yè)選擇采用具有多個(gè)生產(chǎn)中心的分布式生產(chǎn)模式[7]。分布式生產(chǎn)能夠讓企業(yè)獲得產(chǎn)品質(zhì)量很高、生產(chǎn)成本較低、管理風(fēng)險(xiǎn)較小的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)[8]。因此，分布式APFSSP即分布式裝配置換流水車間調(diào)度問題（Distributed Assembly Permutation Flow Shop Scheduling Problem， DAPFSSP）受到眾多學(xué)者與企業(yè)的廣泛關(guān)注。

2013年，Hatami等[9]首次提出了以最小化最大完工時(shí)間為目標(biāo)的DAPFSSP。2016年，Lin和Zhang[10]提出了嵌入多種新穎啟發(fā)式的混合生物地理學(xué)優(yōu)化算法;Wang等[11]提出了基于分布矩估計(jì)的文化基因算法。2017年，Lin等[12]提出了回溯搜索超啟發(fā)式方法。2019年，Pan等[13]提出了多種有效的啟發(fā)式算法;Ferone等[14]提出了一種偏隨機(jī)迭代局部搜索元啟發(fā)式算法。2020年，Zhang等[15]提出了融合改進(jìn)社會(huì)蛛網(wǎng)優(yōu)化和元-拉馬克學(xué)習(xí)與單純性搜索的文化基因算法。2021年，Zhang等[16]提出了一種基于矩陣—立方的分布矩估計(jì)算法。此外，2015年，Hatami等[17]提出了具有序列相關(guān)準(zhǔn)備時(shí)間的DAPFSSP。2021年，Song等[18]提出了采用遺傳編程超啟發(fā)式算法求解該問題。2017年，Gonzalez-Neira等[19]提出了加工時(shí)間具有隨機(jī)性的DAPFSSP。2018年，Zhang等[20]提出了具有柔性裝配車間與準(zhǔn)備時(shí)間的DAPFSSP。2018年，Sang等[21]提出了采用離散入侵雜草算法求解該問題。這些研究的重點(diǎn)集中于提出高效的算法來求解DAPFSSP。高效的調(diào)度算法能夠顯著提升生產(chǎn)過程的效率，因此，設(shè)計(jì)高效的調(diào)度算法具有重要意義[22]。

DAPFSSP是一種比APFSSP更復(fù)雜的NP難問題[9]，很難用精確算法來求解。人工蜂群算法[23]（Artificial Bee Colony， ABC）是一種基于種群的進(jìn)化元啟發(fā)式算法。該算法模擬了蜜蜂在自然界中的智能覓食行為，由雇傭蜂、跟隨蜂、偵察蜂三個(gè)角色組成。雇傭蜂負(fù)責(zé)搜尋可行解和近鄰解;跟隨蜂通過與雇傭蜂交換信息獲得新的可行解，然后通過適應(yīng)度值決定是否接受新的解，加快搜索收斂速度;如果可行解在迭代次數(shù)限制內(nèi)沒有更新，雇傭蜂將會(huì)變成偵察蜂，搜尋新的可行解。由于本身具有高效的搜索性能，離散型ABC即離散人工蜂群算法（Discrete Artificial Bee Colony， DABC）經(jīng)常用于求解諸多生產(chǎn)調(diào)度問題。

首先，提出一種結(jié)構(gòu)化啟發(fā)式方法，以生成具有較高質(zhì)量的初始種群。其次，提出一種基于關(guān)鍵路徑的種群個(gè)體領(lǐng)域搜索策略，以提高個(gè)體的局部搜索能力;最后，通過變換陷入局部陷阱的種群個(gè)體，提升種群個(gè)體的全局搜索能力，以實(shí)現(xiàn)種群在進(jìn)化過程中挖掘與探索能力的平衡。通過大量的計(jì)算實(shí)例，驗(yàn)證了DABC求解DAPFSSP的有效性和優(yōu)越性。

1 ?分布式裝配置換流水車間調(diào)度問題

DAPFSSP包括生產(chǎn)和裝配兩個(gè)階段。在生產(chǎn)階段，n個(gè)工件{J1，J2，…，Jn}分配給F個(gè)工廠，每個(gè)工件只能分配給一個(gè)工廠。每個(gè)工廠有m臺(tái)機(jī)器{M1，M2，…，MM}。任一工件Ji的m道工序{Mi，1，Mi，2，…，Mi，m}依次在任一工廠的m臺(tái)機(jī)器上加工，加工時(shí)間用ti，j表示。每臺(tái)機(jī)器同一時(shí)刻只允許加工一個(gè)工件，每個(gè)工件同一時(shí)刻只允許在一臺(tái)機(jī)器上加工。在裝配階段，生產(chǎn)階段完工的工件在裝配機(jī)器MA組最終裝成H個(gè)產(chǎn)品{P1，P2，…，PH}。產(chǎn)品Ph由Nh個(gè)工件組裝而成，裝配時(shí)間用th表示。每個(gè)工件只屬于一個(gè)產(chǎn)品，任一產(chǎn)品只有在全部所需工件在生產(chǎn)階段加工完成后才能開始組裝，裝配機(jī)器一次只能裝配一個(gè)產(chǎn)品。

2 ?DABC算法求解DAPFSSP

2.1 ?編碼與解碼

DAPFSSP包含決定工件的工廠分配、各工廠的工件加工順序、產(chǎn)品的裝配順序三個(gè)子問題。工廠的工件加工順序可以唯一確定工件分配和產(chǎn)品的裝配順序。因此，采用基于工廠的工件加工順序編碼表示調(diào)度解。各加工廠按照所確定的工件順序進(jìn)行加工，各產(chǎn)品所有部件實(shí)行先加工完成先裝配解碼，可以唯一確定整個(gè)調(diào)度方案。

以文獻(xiàn)[9]中的算例I_16_2_2_2_3為例，產(chǎn)品P1由工件{2，4，5，6，7，8，9，10，14，16}構(gòu)成，產(chǎn)品P2由工件{1，3，11，12，13，15}構(gòu)成。圖1為該算例的一個(gè)調(diào)度方案所對(duì)應(yīng)的甘特圖，調(diào)度解為{[1，13，11，5，4，14，16，2，8]，[12，15，3，7，6，9，10]}，即工廠1的工件加工順序?yàn)閇1，13，11，5，4，14，16，2，8]，工廠2的工件加工順序?yàn)閇12，15，3，7，6，9，10]。

2.2 ?種群初始化

初始種群雖然可以通過隨機(jī)化方法產(chǎn)生，但是通過啟發(fā)式方法可能會(huì)獲得更好的搜索性能。在生產(chǎn)階段，屬于同一產(chǎn)品的工件在各工廠的加工時(shí)間盡可能接近，可以減少裝配階段的等待時(shí)間[11]。因此，以各產(chǎn)品所屬部件為一個(gè)整體在各工廠進(jìn)行分配，可以保證所生成的整個(gè)種群具有較高質(zhì)量。初始解或個(gè)體的生成過程為：

Step1：從當(dāng)前產(chǎn)品集中隨機(jī)選出一個(gè)產(chǎn)品。

Step2：從所選產(chǎn)品隸屬的工件集中隨機(jī)選出一個(gè)工件分配給其中一個(gè)工廠，使此工廠在原有的基礎(chǔ)上生產(chǎn)該工件所需的完工時(shí)間最短。

Step3：從剩余的工件集中隨機(jī)選擇一個(gè)工件進(jìn)行分配，直至分配完畢，進(jìn)入下一步。

Step4：從剩余的產(chǎn)品集中隨機(jī)選出一個(gè)產(chǎn)品。如果產(chǎn)品分配完畢，則生產(chǎn)過程結(jié)束;否則，返回執(zhí)行Step2。

反復(fù)執(zhí)行初始解生成過程，就可以得到一個(gè)初始種群。

2.3 ?雇傭蜂階段

在雇傭蜂階段，雇傭蜂或種群個(gè)體在它的領(lǐng)域內(nèi)搜索新的可行解。雇傭蜂的搜索效率決定了整個(gè)算法的搜索性能。在調(diào)度問題中，調(diào)度方案的關(guān)鍵路徑?jīng)Q定了整個(gè)調(diào)度方案的最大完工時(shí)間。只要關(guān)鍵路徑上的工序不變，整個(gè)調(diào)度方案的最大完工時(shí)間就不會(huì)發(fā)生變化[24]。因此，設(shè)計(jì)一種基于關(guān)鍵路徑的領(lǐng)域搜索策略。關(guān)鍵路徑上工序的所屬工件稱作關(guān)鍵工件，所有關(guān)鍵工件構(gòu)成的集合稱作關(guān)鍵工件集。將與某工件的加工時(shí)間存在重合的工件稱作該工件的時(shí)間相關(guān)工件，某工件的所有時(shí)間相關(guān)工件稱作該工件的時(shí)間相關(guān)工件集。選擇某一關(guān)鍵工件作為交換工件，選擇該關(guān)鍵工件的時(shí)間相關(guān)工件作為被交換工件，執(zhí)行位置交換，得到新的調(diào)度解。

領(lǐng)域搜索策略為：

Step1：確定調(diào)度解中的關(guān)鍵工件集。

Step2：從關(guān)鍵工件集中隨機(jī)選出一個(gè)工件作為交換工件。

Step3：確定交換工件的時(shí)間相關(guān)工件集。

Step4：從時(shí)間相關(guān)工件集中隨機(jī)選出一個(gè)工件作為被交換工件。

Step5：將交換工件與被交換工件互換位置，得到新的調(diào)度解。

Step6：如果新的調(diào)度解的最大完工時(shí)間小于原來的最大完工時(shí)間，則新的調(diào)度解代替原來的調(diào)度解，結(jié)束搜索;否則，從剩余的時(shí)間相關(guān)工件集中隨機(jī)選出一個(gè)工件作為被交換工件，如果原來的調(diào)度解的時(shí)間相關(guān)工件集為空集，結(jié)束搜索;否則，返回執(zhí)行step3。

由圖1可知，該調(diào)度方案的關(guān)鍵工件集為{1，13，11，5，4，14，16，2，8}，工件2的時(shí)間相關(guān)工件集為{16，6，9，10，8}。交換工件9和2可得到新的調(diào)度解{[1，13，11，5，4，14，16，2，8]，[12，15，3，7，6，9，10]}。

2.4 ?跟隨蜂階段

在跟隨蜂階段，錦標(biāo)賽選擇可以改善算法的效率，同時(shí)還可以避免陷入局部最優(yōu)解。從種群中隨機(jī)選擇λ個(gè)個(gè)體，比較個(gè)體適應(yīng)度值。選擇適應(yīng)度最小的一個(gè)個(gè)體，執(zhí)行領(lǐng)域搜索策略，得到一個(gè)調(diào)度解。執(zhí)行錦標(biāo)賽選擇φ次，得到φ個(gè)個(gè)體。再與原種群的所有個(gè)體進(jìn)行比較，選擇最大完工時(shí)間最小的ρ個(gè)個(gè)體組成新的種群。種群進(jìn)化速度的決定因素是最壞的個(gè)體，而不是最好的個(gè)體，而這種基于貪婪的種群更新方法可以有效保證種群的全局質(zhì)量。

2.5 ?偵察蜂階段

在偵察蜂階段，如果某個(gè)體的最大完工時(shí)間在累計(jì)執(zhí)行η次領(lǐng)域搜索策略后沒有減小，則舍棄該個(gè)體，按照初始解生成過程生成一個(gè)新的調(diào)度解，代替原來的解，成為新的種群個(gè)體。這種個(gè)體替換方式實(shí)現(xiàn)種群個(gè)體在全域范圍的搜索能力。

2.6 ?算法描述

DABC求解DAPFSSP的具體過程為：

Step1：按照初始解的產(chǎn)生過程，生成具有ρ個(gè)個(gè)體的初始種群。

Step2：讓種群中的每個(gè)個(gè)體執(zhí)行一次領(lǐng)域搜索策略，生成一個(gè)新的種群。

Step3：應(yīng)用錦標(biāo)賽選擇挑選φ個(gè)個(gè)體，各執(zhí)行一次領(lǐng)域搜索策略，生成φ個(gè)個(gè)體。與原種群中的ρ個(gè)個(gè)體做比較，選擇最大完工時(shí)間較短的前ρ個(gè)個(gè)體，構(gòu)成一個(gè)新的種群。

Step4：如果個(gè)體的最大完工時(shí)間在累計(jì)執(zhí)行η次領(lǐng)域搜索策略后未得到優(yōu)化，則舍棄掉該解，按照初始解產(chǎn)生過程生成一個(gè)新解來代替該解。

Step5：如果滿足終止條件，求解結(jié)束，輸出最優(yōu)調(diào)度;否則，返回執(zhí)行Step2。

3 ?實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證DABC算法求解DAPFSSP的有效性，對(duì)文獻(xiàn)[9]中的兩組基準(zhǔn)算例進(jìn)行仿真計(jì)算。兩組基準(zhǔn)算例由不同的工件數(shù)量、機(jī)器數(shù)量、工廠數(shù)量和產(chǎn)品數(shù)量構(gòu)成。第一組算例包含900個(gè)小尺度算例，工件數(shù)量n={8，12，16，20，24}，機(jī)器數(shù)量m={2，3，4，5}，工廠數(shù)量F={2，3，4}，產(chǎn)品數(shù)量H={2，3，4};第二組算例包含810個(gè)大算例，工件數(shù)量n={100，200，500}，機(jī)器數(shù)量m={2，3，4，5}，工廠數(shù)量F={4，6，8}，產(chǎn)品數(shù)量H={30，40，50}。為了比較各種算法的有效性和效率，實(shí)驗(yàn)結(jié)果通常采用平均相對(duì)百分比偏差（ARPD）作為比較指標(biāo)[25]，計(jì)算過程為：

其中，Cbest表示每個(gè)算例的已知最優(yōu)解，Ci表示每個(gè)實(shí)例在第次試驗(yàn)中所獲得的最優(yōu)結(jié)果，R表示執(zhí)行計(jì)算的次數(shù)。ARPD越小表示算法的性能越好，ARPD的值小于零表示最優(yōu)解得到了優(yōu)化。

3.1 ?參數(shù)設(shè)置

所選參數(shù)的合適與否對(duì)啟發(fā)式算法求解的質(zhì)量、計(jì)算效率等性能具有重要影響。因此，采用田口試驗(yàn)方法確定影響DABC求解DAPFSSP的四個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，包括種群個(gè)體數(shù)量ρ、參與錦標(biāo)賽選擇的種群個(gè)體數(shù)量φ、種群個(gè)體最大允許領(lǐng)域搜索次數(shù)η、最大迭代次數(shù)κ。每個(gè)參數(shù)選擇4個(gè)不同的水平，參數(shù)值組合如表1所示。

參數(shù)正交陣列L16（44）的選擇基于參數(shù)的數(shù)量和因子水平。選擇實(shí)例I_24_5_3_2_2進(jìn)行仿真試驗(yàn)。每個(gè)參數(shù)組合獨(dú)立運(yùn)行20次，計(jì)算平均最大完工時(shí)間（AM）。φ=ρ×10%，參數(shù)正交陣列和AM計(jì)算結(jié)果如表2所示。計(jì)算各參數(shù)的平均AM值，并對(duì)各因素的因子水平進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。各參數(shù)的平均AM值和顯著性水平如表3所示，各參數(shù)不同取值下AM值的變化趨勢(shì)如圖2所示。

由圖2和表3可知，種群個(gè)體數(shù)量ρ是4個(gè)影響因素中影響最明顯的，選擇較大的ρ可以得到更優(yōu)的AM值。然而，選擇較大的ρ意味著需要更大的計(jì)算成本（即更多的計(jì)算時(shí)間）。在最大迭代次數(shù)κ達(dá)到200次時(shí)，AM值存在逐漸減少的變化趨勢(shì)。λ和η在選擇較小的因子水平時(shí)可以得到更小的AM值。因此，選擇ρ=100、λ=5、η=2、κ=100作為DABC的參數(shù)值。

3.2 ?計(jì)算結(jié)果與分析

基于兩組算例，對(duì)比已知的12種啟發(fā)式算法，分析DABC求解DAPDSSP的性能。針對(duì)每個(gè)算例，獨(dú)立運(yùn)行5次，計(jì)算平均ARPD值。對(duì)于900個(gè)小尺度算例，其計(jì)算結(jié)果按照工廠數(shù)量F與工件數(shù)量n的組合分組，每組F×n表示60個(gè)算例的ARPD平均值。12種參與對(duì)比的啟發(fā)式算法的計(jì)算結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[9]。如表4所示，DABC在所有算法結(jié)果里取得了最優(yōu)的結(jié)果。在15組算例分組中，有8組的平均ARPD值小于0。計(jì)算結(jié)果顯示，87個(gè)小尺度算例取得了更小的最大完工時(shí)間。

對(duì)于810個(gè)大尺度算例，計(jì)算結(jié)果分別按照工廠數(shù)量F、產(chǎn)品數(shù)量H、工件數(shù)量n進(jìn)行分組，每組表示270個(gè)大尺度算例的ARPD平均值。12種參與對(duì)比的啟發(fā)式算法的計(jì)算結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[9]。如表5所示，DABC在所有算法中取得了最好的計(jì)算結(jié)果。在9組算例分組中，所有分組的平均ARPD值小于0。計(jì)算結(jié)果顯示，114個(gè)小尺度算例取得了更小的最大完工時(shí)間。

4 ?結(jié) ?論

本文針對(duì)以最大完工時(shí)間最小化為目標(biāo)的分布式裝配置換流水車間調(diào)度問題，提出了一種離散人工蜂群算法。通過大量調(diào)度問題標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明該算法具有較好的搜索性能和效果。本文只討論了單目標(biāo)分布式裝配調(diào)度問題，未來將進(jìn)一步探索使用人工蜂群算法解決更加復(fù)雜的多目標(biāo)或多約束的分布式裝配調(diào)度問題。

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作者簡(jiǎn)介：段秀山（1995—），男，漢族，重慶彭水人，碩士研究生在讀，研究方向：智能制造。