立足課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)展符號意識

張安軍

【摘要】基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“符號意識”要求.喚醒“符號意識”，建立符號意識的基礎(chǔ);體驗“符號內(nèi)涵”是建立符號意識的核心;自覺“應(yīng)用符號”是建立符號意識的歸宿.

【關(guān)鍵詞】課程標(biāo)準(zhǔn);符號意識;課堂教學(xué)

“符號意識”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）[1]提出的十個核心概念之一，課程標(biāo)準(zhǔn)指出符號意識“主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性;建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的符號意識.

整式的加減是代數(shù)式運(yùn)算的重要內(nèi)容之一，其核心學(xué)習(xí)目標(biāo)在于進(jìn)一步發(fā)展和強(qiáng)化符號意識，提高代數(shù)推理能力.筆者近期在本區(qū)七年級教研活動中，聽了一節(jié)“整式加減（第1課時）”公開課，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計及其及教學(xué)活動加以整理，就教學(xué)活動中如何發(fā)展學(xué)生的“符號意識”進(jìn)行分析思考，與同行探討.1喚醒“符號意識”是建立符號意識的基礎(chǔ)

片斷1從數(shù)到字母（式）.

問題1如圖1，我國國慶閱兵方陣中，每行士兵人數(shù)為25人，則在圖2中，

（1）2行的總?cè)藬?shù)為;

（2）3行的總?cè)藬?shù)為;

（3）10行的總?cè)藬?shù)為;……

（4）n行的總?cè)藬?shù)為.

教學(xué)活動教師先讓學(xué)生觀察閱軍式中的微視頻，然后選取一隊方陣如圖2，用數(shù)學(xué)的眼光審視閱隊伍中的方陣，抽象得到數(shù)學(xué)問題1.學(xué)生思考片刻后，教師選取了兩位學(xué)生回答問題，回答之后，然后讓學(xué)生比較第（4）問和前面第（1）至（3）問的區(qū)別，從中讓學(xué)生感受用字母表示數(shù)或式更具一般性、簡潔性.

教學(xué)再思考《課標(biāo)》對于字母表示數(shù)在不同學(xué)段下提出不同的要求，具體如表1.

其實第二學(xué)段要求在具體情境中能用字母表示數(shù)，例如問題1中的第（4）小問，即“n行的總?cè)藬?shù)為多少”，是小學(xué)階段的要求.

第三學(xué)段不僅學(xué)會用字母表示數(shù)，而且還要理解其式子的意義，即用“25n”表示n行的總?cè)藬?shù)所具有簡潔性和一般性，當(dāng)學(xué)生理解字母表示所具有的優(yōu)越性，就能自覺地進(jìn)行字母表示數(shù)，喚醒了學(xué)生的符號意識，它有別于第二學(xué)段的要求.上述教學(xué)中，教師讓學(xué)生回答2行、3行、10行的總?cè)藬?shù)，本質(zhì)上讓學(xué)生積累這一問題的計算方法，在第（3）小問之后，以開放的形式，讓學(xué)生自己提出問題，從而自覺地產(chǎn)生用字母表示數(shù)的符號意識，教師卻在適當(dāng)?shù)臅r間啟發(fā)學(xué)生為什么要用字母表示數(shù)，從領(lǐng)會走向頓悟，從頓悟走向超越.

然而遺憾的是教師在教學(xué)中讓學(xué)生計算n行的總?cè)藬?shù)，用填空的形式，學(xué)生可能對具體行數(shù)的模仿，或許“學(xué)會”的是一種淺層次的“字母替換”.有經(jīng)驗的教師都有這樣的體會，在后繼列方程解決實際問題時，學(xué)生習(xí)慣于“算術(shù)法”，而不愿主動用方程來解決問題，很大的原因是學(xué)了“字母表示數(shù)”，但對字母表示數(shù)僅停留在機(jī)械地程序性操作階段，不會將字母和已知量同等看待并參與運(yùn)算.思維還沒有真正從“縮寫代數(shù)”向“符號代數(shù)”的提升，雖然學(xué)生在快速的填空中完成問題，流利地回答，看似小步子、快節(jié)奏、高效率，然而課堂順暢的背后卻是教學(xué)資源中一次最富貴的流失.經(jīng)驗是在交流中積累，思想?yún)s在反思或停頓中領(lǐng)會，猶如中國山水畫中，留出大片的“空白”，讓觀者思考這些“空白”背后的豐富內(nèi)涵正是其魅力所在.在教學(xué)中當(dāng)學(xué)生回答了2行、3行、10行時，教師有意識停下來，引領(lǐng)學(xué)生反思：“給出閱兵方陣具體行數(shù)，就能計算總?cè)藬?shù)，有沒有更好的方法來計算閱兵方陣總?cè)藬?shù)呢？”讓學(xué)生自然地想到用“25n”表示總?cè)藬?shù).當(dāng)學(xué)生想到“25n”表示總?cè)藬?shù)，教師繼續(xù)追問用式表示閱兵方陣總?cè)藬?shù)，n是否可以取任意數(shù)？以及用“25n”表示總?cè)藬?shù)好在哪里？請你再舉出用字母表示數(shù)或式的例子，當(dāng)學(xué)生舉例加法交換律、結(jié)合律，和絕對值的符號表示（當(dāng)a≥0時，a=a）等，教師讓學(xué)生再次體悟用字母表示數(shù)的優(yōu)越性.因此，教師要通過具體數(shù)量開始，然后在具體數(shù)量的變化過程中讓學(xué)生有意識地產(chǎn)生用字母表示，喚醒他們的“符號意識”，體悟用字母表示數(shù)所具有的簡潔性和一般性.這樣的過程看似簡單、重復(fù)，卻有著內(nèi)在認(rèn)知的層次性，在重復(fù)的過程中讓學(xué)生體會到用字母或式表示更具一般性和簡潔美，領(lǐng)悟從數(shù)到字母（式）是數(shù)學(xué)史上一次里程式的飛躍.2體驗“符號內(nèi)涵”是建立符號意識的核心

片斷2列式表示簡單數(shù)量關(guān)系.

例1（1）蘋果原價是每千克p元，現(xiàn)8折優(yōu)惠出售，用式子表示現(xiàn)價;

（2）某產(chǎn)品的前年產(chǎn)量是n噸，去年產(chǎn)量是前年產(chǎn)量的m倍，用式子表示去年的產(chǎn)量;

（3）一個長方體包裝盒的長和寬都是acm，高是bcm，用式子表示它的體積;

（4）用式子表示數(shù)n的相反數(shù).

例2（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在靜水中的速度是vkm/h，用式子表示船在這條河中順?biāo)旭偤湍嫠旭偟乃俣?

（2）買一個籃球需要x元，買一個排球需要y元，買一個足球需

要z元，用式子表示買3個籃球、5個排球、2個足球共需要的錢數(shù);

（3）如圖3，（圖中長度單位：cm）用式子表示三角尺的面積？

（4）如圖4，是一所住宅的建筑平面圖（圖中長度單位：cm）

用式子表示這所住宅的建筑面積.圖3圖4

練習(xí)略（練習(xí)有4小題，每題都是用字母或含字母的式子表示實際問題中的數(shù)量）.

教學(xué)活動引出用字母表示數(shù)后，用整式表示簡單的數(shù)量關(guān)系，教師利用教材中的例題進(jìn)行教學(xué).在教學(xué)過程中教師著重分析例1中的第（1）小問，分析問題中的數(shù)量關(guān)系：現(xiàn)價=原價×折扣率，再強(qiáng)調(diào)書寫規(guī)范：數(shù)（字母）與字母相乘時，“×”省略或?qū)懽鳌啊ぁ?數(shù)字寫在字母前面.講解后再讓學(xué)生獨(dú)立完成第（2）至（4）小問，并展示它們的解答過程，由于問題比較簡單，學(xué)生都能正確解答，教師著重強(qiáng)調(diào)以下書寫規(guī)范：帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù);式子中出現(xiàn)除法運(yùn)算時，一般按分?jǐn)?shù)形式來寫;“-1”和“1”和字母相乘時，省略“1”.對于例2中的第（1），部分學(xué)生出現(xiàn)困難，教師給出了問題中的數(shù)量關(guān)系：船順（逆）水行駛速度=船在靜水中的速度±水流速度.當(dāng)學(xué)生完成后，教師繼續(xù)強(qiáng)調(diào)書寫格式的規(guī)范：數(shù)與字母進(jìn)行和差運(yùn)算時，若有單位，需加括號.同一問題情境中，不同的量要用不同的字母來表示，相同的量要用相同字母來表示.

教學(xué)再思考《課標(biāo)》對數(shù)量關(guān)系的要求：“能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律”.對于數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)階段，主要是算術(shù)運(yùn)算，例如3×4或3+5等，一般地都要計算出結(jié)果12或8，3×4或3+5通常是表示一個過程.可以發(fā)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算是表示運(yùn)算過程，其目的是為了求出算式的結(jié)果.在中學(xué)階段，主要是代數(shù)運(yùn)算，例如：m+n，既表示m和n這兩個數(shù)做加法運(yùn)算，又表示m和n相加的結(jié)果，即m+n本身既可以看作運(yùn)算過程，又可以看作運(yùn)算結(jié)果，也就是作為一個對象來看待.可見代數(shù)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的，結(jié)構(gòu)是從語言表達(dá)抽象出來的一種形式，是形式變換，代數(shù)運(yùn)算具有過程性和結(jié)果性[2].

把代數(shù)式作為一個結(jié)果對象來理解，對于開始學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生來講還是非常困難的.例如，對于一個長為m米，寬為n米的長方形，利用長方形的面積公式，學(xué)生可以很容易得到其面積是mn，但學(xué)生往往不認(rèn)為mn就是長方形的面積（運(yùn)算結(jié)果），經(jīng)常要去問教師：mn到底是多少呢？由此也可以看出，對于代數(shù)式意義的理解，學(xué)生不可能一蹴而就，需要一個認(rèn)知的過程.

那么結(jié)合本節(jié)課教學(xué)如何促進(jìn)代數(shù)式意義的理解呢？從而更好地促進(jìn)“符號意識”的發(fā)展.首先教師在定位上要改變，本節(jié)課的難點或重點不是代數(shù)式的書寫規(guī)范，課堂上當(dāng)學(xué)生書寫不規(guī)范時，才有必要強(qiáng)調(diào)，本節(jié)課中重要的是要幫助學(xué)生理解代數(shù)式的意義，教師要啟發(fā)學(xué)生解題后的反思：這些字母表示什么？列出的式子表示什么？這些式子還能進(jìn)行運(yùn)算嗎？式子中包含了哪些運(yùn)算？讓學(xué)生更好地理解字母表示數(shù)，通過數(shù)與字母的運(yùn)算得到式子，式子再通過運(yùn)算得到更多的式子，直至無限，而且它們的運(yùn)算結(jié)果都代表數(shù)，當(dāng)學(xué)生理解數(shù)或字母的運(yùn)算得到式子本質(zhì)上還是一個數(shù)，這樣自然地遷移到列方程解應(yīng)用題，遷移到式的內(nèi)容的研究，由于用式中的字母表示數(shù)，因此對于數(shù)中成立的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，在式中仍然成立.因此，對于式的研究也就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)的研究，這就是數(shù)式通性，有助于后續(xù)整式、分式、二次根式運(yùn)算的學(xué)習(xí).

其次，要幫助學(xué)生分析問題中的數(shù)量關(guān)系列出代數(shù)式，要讓學(xué)生從生活語言到自然語言，再從自然語言走向符號語言，例如例2中的第（2）小問，生活語言：籃球、排球、足球單價分別x元/個，y元/個，z元/個，買3個籃球、5個排球、2個足球共需要的錢數(shù)？自然語言：3x、5y與2z的和;符號語言：3x+5y+2z.

幫助學(xué)生分析問題中的數(shù)量關(guān)系并能用字母或代數(shù)式表示問題中相應(yīng)的數(shù)量是解應(yīng)用題列方程的基礎(chǔ)，也是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它是“代數(shù)”的精華.在教學(xué)中一方面要從生活語言分離抽象出符號語言，另一方面結(jié)合符號語言還原為生活語言，例如解釋2m，讓學(xué)生結(jié)合生活中的實例予以解釋，如青菜的價格是2元/千克，則2m表示買m千克的金額;若m表示長度，矩形的一邊長為2，另一邊長為m，則2m表示這個矩形的面積.給學(xué)生提供了更大的想象空間，深刻理解用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，體驗用符號表征問題的必要性和優(yōu)越性，有利于學(xué)生建立符號意識.3自覺“應(yīng)用符號”是建立符號意識的歸宿

片斷3思維拓展與能力提升.

例3如圖5，搭一個正方形需要4根火柴棒.

（1）如圖6，搭2個正方形需要根火柴棒，如圖7，搭3個正方形需要根火柴棒.

（2）搭10個這樣的正方形需要根火柴棒.

（3）搭n個這樣的正方形需要根火柴棒.

（4）搭100個這樣的正方形需要根火柴棒.

（5）用361根火柴棒能搭個這樣的正方形.圖5圖6圖7

教學(xué)活動以“找規(guī)律”作為本節(jié)課的能力提升和思維拓展，第（1）、（2）小問學(xué)生很順利地解決，第（3）小問，大部分學(xué)生的答案是3n+1，并讓學(xué)生解釋“3n+1”的含義，同時教師繼續(xù)追問還有不同的答案嗎？在教師的追問和啟發(fā)下，學(xué)生們紛紛得到不同的答案：4+3（n-1）、2n+（n+1）、4n-（n-1），在每得到一個式子，學(xué)生把自己所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以解釋，由于學(xué)生解釋時，表達(dá)不是很清楚，教師再重新解釋，這樣導(dǎo)致這一小問花費(fèi)時間頗多，第（4）小問學(xué)生把100代入“3n+1”，也很快得到答案，第（5）小問從反面去思考問題，得到方程3n+1=361，師生共同得到答案.教師再加以總結(jié)和反思，從特殊到一般得到“3n+1”，再從一般到特殊，得到第（4）、（5）小問答案.

教學(xué)再思考可以發(fā)現(xiàn)在本節(jié)課中，“找規(guī)律”的題目旨在增加難度，拓展思維.在實際課堂教學(xué)中，用時過多的是第（3）小問，當(dāng)然不是此題的思維難度，而是解法的多元性（有4種解法），學(xué)生講解問題的緊張以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)的缺乏造成耗時過多.相反由于圖形的直觀性，鋪墊的到位性，學(xué)生比較順利完成各小題.聯(lián)系上述《課標(biāo)》的分析，本節(jié)課的著力點不是增加找規(guī)律性問題的難度來提升學(xué)生的思維能力，找規(guī)律雖能體現(xiàn)字母表示數(shù)的優(yōu)越性與一般性，然而該環(huán)節(jié)未能有序地推進(jìn)“字母代數(shù)”認(rèn)識的深化和培養(yǎng)學(xué)生符號意識的自覺.該學(xué)段單元必須關(guān)注《課標(biāo)》中的“符號意識”，著重培養(yǎng)學(xué)生核心概念.對于符號意識主要體現(xiàn)在以下三個層面：第一層，主動運(yùn)用符號表示數(shù)的符號意識，它是展開數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ);第二層，運(yùn)用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號意識，它關(guān)注思考的過程;第三層，使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理的符號意識，它關(guān)注數(shù)學(xué)的過程與結(jié)論.

上述課例，執(zhí)教者在該環(huán)節(jié)問題的設(shè)置，一方面其處理方式在很大程度上還是讓學(xué)生進(jìn)行一種替換式的表達(dá)，另一方面選題的方向偏離《課標(biāo)》.那么如何選擇典型性的例題促進(jìn)學(xué)生字母代數(shù)的進(jìn)一步理解和符號意識的培養(yǎng)呢？當(dāng)然選擇例題要基于學(xué)生的認(rèn)知，若學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是特別好，可以選擇以下的一道例題：

問題假如有一根很長的繩緊貼地球表面，繞赤道一周，然后把緊貼的繩子增加20m，這時繩子與地球赤道之間會有縫隙（假設(shè)各處縫隙是均勻的），下面四個估計最接近縫隙的高度的是（）.

A.一張紙的厚度B.數(shù)學(xué)書本的寬度C.學(xué)生課桌的高度D.籃球架的高度

學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生先進(jìn)行直覺猜想，然后激發(fā)如何驗證自己的猜想，自覺地用字母代數(shù)進(jìn)行列式，然后進(jìn)行運(yùn)算和推理，再讓學(xué)生反思符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式和途徑.若學(xué)生有困難時，先特殊化為籃球.當(dāng)學(xué)生詢問籃球的半徑大小時，教師追問“一定要知道籃球的半徑大小嗎”，然后推廣到地球.上述的問題學(xué)生難在對具體問題數(shù)量關(guān)系變化的分析上，難在學(xué)生自覺地用字母代數(shù)的思想，課堂教學(xué)的拓展與提升，要緊扣《課標(biāo)》，精準(zhǔn)的解讀《課標(biāo)》，要難在學(xué)生思維的節(jié)點上，要難在思想上.

當(dāng)然若學(xué)生基礎(chǔ)較好，可以考慮以下的一道例題：

問題：已知兩數(shù)的和與差，求這兩個數(shù).

該問題選自古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖《算術(shù)》一書的第1卷第1題，由于小學(xué)中已學(xué)過簡易方程，知道用字母可以表示未知數(shù)，學(xué)生可以設(shè)字母表示兩個數(shù)，而兩數(shù)的和與差雖是已知的，題中卻沒有給出，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突[3].若學(xué)生有困難時，教師啟發(fā)學(xué)生若“和、差”是一個具體的數(shù)，你能求出這兩數(shù)嗎？然后教師追問“求出這兩數(shù)的答案唯一嗎”，讓學(xué)生感悟到這樣答案是不唯一，如何刻畫這一變化的結(jié)論呢？再次解讀問題，讓學(xué)生自覺想到用字母代數(shù)，字母不僅可以代表未知數(shù)，也可以代表已知數(shù).在這個教學(xué)過程中，符號意識的培養(yǎng)和進(jìn)一步理解字母代數(shù)的意義就在其中.

《課標(biāo)》給出了十個核心概念之，“符號意識”是其中之一，主要是“指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”.“符號意識”首要的是要理解符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其次在理解的基礎(chǔ)上能進(jìn)行運(yùn)用等等.

上述教學(xué)只是眾多課例中的一個，也很有代表性.粗看整個教學(xué)過程，設(shè)計思路清晰，不論是問題的提出，還是新知探究運(yùn)用，都比較合理，但仔細(xì)分析，特別是與《課標(biāo)》相對照，就會發(fā)現(xiàn)問題，有的教學(xué)設(shè)計偏離《課標(biāo)》，有的不清楚本學(xué)段的《課標(biāo)》要求，人為降低《課標(biāo)》的深度.對教師來說，研讀《課標(biāo)》和教材是有效教學(xué)的前提，決定著“教什么”和“怎樣教”的問題.新世紀(jì)以來我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在編排上采用螺旋上升、混合編寫的形式，由于中學(xué)教師不了解小學(xué)教材，忽視教科書中小學(xué)的銜接，也給教師研讀教材和《課標(biāo)》提出新挑戰(zhàn)，因此，在教學(xué)時，對小學(xué)、初中不同學(xué)段《課標(biāo)》要深刻研讀，認(rèn)清不同學(xué)段《課標(biāo)》中的要求和內(nèi)在關(guān)系，以達(dá)到對數(shù)學(xué)教材的深刻理解和整體把握.解讀時既要關(guān)注《課標(biāo)》中的課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)等，更要關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)中的對每一節(jié)課的深度和廣度.基于學(xué)生的認(rèn)知做好每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與《課標(biāo)》中的目標(biāo)進(jìn)行對接和匹配，落實好結(jié)果性目標(biāo)和過程性目標(biāo)，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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