“數(shù)學(xué)推理”組塊編碼及其實(shí)驗(yàn)教學(xué)路徑

孫朝仁　朱桂鳳

【摘要】以“省教海探航”觀摩課“探索直線平行的條件②”為思維承擔(dān)載體，對數(shù)學(xué)推理進(jìn)行適應(yīng)性“組塊編碼”，包括在“畫圖”中建立“合情推理”、在“轉(zhuǎn)圖”中發(fā)展“抽象意識(shí)”、在“算圖”中用好“心理原型”，突出觀察分析、歸納運(yùn)演、關(guān)系驗(yàn)證等推理水平特征，突破數(shù)學(xué)推理難學(xué)、難教的“瓶頸”和課堂“高冷”的思考格局.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)推理;組塊編碼;原型定向;抽象意識(shí)

文獻(xiàn)研究顯示：PISA2021測試框架最為顯著的一個(gè)變化體現(xiàn)在“數(shù)學(xué)推理”[1]維度要素，側(cè)重在數(shù)學(xué)推理的介紹及其與問題解決的關(guān)系.即數(shù)學(xué)推理包括演繹推理和歸納推理（合情推理），貫穿問題解決的全過程，所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的展開都圍繞數(shù)學(xué)推理而進(jìn)行.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，合情推理憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.為此，筆者以“提高數(shù)學(xué)推理水平”為目的，對數(shù)學(xué)推理進(jìn)行適應(yīng)性“組塊編碼”（見表1），包括在“畫圖”中建立“合情推理”、在“轉(zhuǎn)圖”中發(fā)展“抽象意識(shí)”、在“算圖”中用好“心理原型”，突出觀察分析、歸納計(jì)算（類比運(yùn)演）、驗(yàn)證關(guān)系等推理水平特征的確立，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“學(xué)好推理”的課程施教目標(biāo).

本文以省“教海探航”觀摩課“探索直線平行的條件②”實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例，展現(xiàn)初中階段數(shù)學(xué)推理“組塊編碼”的積極意義以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)推理水平的行動(dòng)路徑，促進(jìn)抽象、推理和模型“三大能力”的進(jìn)一步發(fā)展，突破數(shù)學(xué)推理難學(xué)、難教的“瓶頸”和課堂“高冷”的思考格局.1在“畫圖”中建立“合情推理”，突出“觀察→分析”實(shí)驗(yàn)水平特征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》）要求“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.”這里的“作圖的道理”就是“言之成理”的意識(shí)（分析法），“保留作圖痕跡”就是“落筆有據(jù)”（觀察實(shí)驗(yàn)）的思維方式.譬如，用尺規(guī)作圖“作一個(gè)角等于已知角”.其根據(jù)就是“三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”（SSS）;在“一般到特殊”思想的參與下，建立角平分線的抽象過程（即作∠AOB=∠BOC，由此可以抽象出OB是∠AOC的平分線），就是非常難得的“合情推理”.但現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程中很少有老師能“用好”這樣的影響人發(fā)展的課程資源，大多數(shù)老師就“照本宣科，讀作法、畫圖形”.這樣的教學(xué)行為是需要叫停的.因?yàn)椋@樣不能將畫圖過程轉(zhuǎn)化為推理能力，這便是一種低效勞動(dòng)，壓縮學(xué)科育人的質(zhì)量，影響學(xué)生的充分成長.

為此，有專家倡導(dǎo)初中數(shù)學(xué)概念就是“畫出來”的觀點(diǎn)（安徽名師工作室主持人汪洪潮老師）.盡管從系統(tǒng)論的高度看，這樣的觀點(diǎn)是有一定的認(rèn)知局限的.但對于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)推理做出了不可替代的貢獻(xiàn)，畢竟初中學(xué)生“算理算法水平>綜合分析水平”.“畫圖”的意義不止于一般意義上的“感性地畫”，更在于將“感性地畫”轉(zhuǎn)化為“理性地分析”，這就是“合情推理”.當(dāng)然，“畫圖”本身就是為理性思考“探路”的，是通過“調(diào)用”緩存經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“解決問題”的路徑.“畫圖”至少涵蓋三個(gè)層面的意義：一方面，畫是為了觀察、發(fā)現(xiàn)，因此畫要“合情”;另一方面，畫是為了“探尋路徑”，因此畫要“合理”;第三方面，畫是為了“言之成理，落筆有據(jù)”，因此實(shí)驗(yàn)觀察的認(rèn)知行為方式要“合情合理”，方能提高學(xué)生數(shù)學(xué)推理“最近發(fā)展區(qū)水平”，能不斷地促進(jìn)推理水平到達(dá)“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)推理幫助人們達(dá)到諸如說服自己相信特定數(shù)學(xué)主張、將某些數(shù)學(xué)思想整合成更連貫的整體等目的是一種有效路徑.也就是說，學(xué)習(xí)推理不止于知識(shí)本身的價(jià)值，更在于形成推理的習(xí)慣，并能將“推理習(xí)慣”轉(zhuǎn)化為“生活能力”.譬如，我們讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖、觀察、實(shí)驗(yàn)獲得“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的性質(zhì)，需要基于“兩點(diǎn)之間，線段最短”基本事實(shí)對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行一種“證實(shí)”.這種證實(shí)過程行為就是推理的慣性思維，有助于學(xué)生養(yǎng)成預(yù)思、擬制、研判與決策等處理生活問題的行為習(xí)慣，這才是人生幸福的基本條件.因此推理的價(jià)值不止于邏輯表達(dá)，更在于建立“合情合理”運(yùn)演的思考習(xí)慣.文獻(xiàn)研究顯示[2]，針對中國1923年至今，初中階段的數(shù)學(xué)課程綱領(lǐng)性文件進(jìn)行內(nèi)容分析，發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于數(shù)學(xué)推理論證的能力目標(biāo)出現(xiàn)了4次“高峰”;并結(jié)合史料分析，解釋了合情推理和論證推理在百余年教育思潮變化中呈現(xiàn)的“鐘擺”現(xiàn)象;進(jìn)而指出，在建立具有中國特色的數(shù)學(xué)課程體系的過程中，需要謀求合情推理與論證推理之間的平衡.所以在合情推理維度需要做好以下思考工作：一是通過“畫圖”，讓學(xué)生建立合情感知和知覺概括;二是通過“觀察實(shí)驗(yàn)”，讓學(xué)生產(chǎn)生經(jīng)驗(yàn)“調(diào)用”和合情分析的心理需要;三是通過“反問監(jiān)控”，把“合情經(jīng)驗(yàn)”轉(zhuǎn)化為“客觀結(jié)論”，并由此提高學(xué)生的邏輯推理水平.

實(shí)驗(yàn)教學(xué)清樣執(zhí)教者在“引進(jìn)課題”維度，就是通過設(shè)置“畫圖反應(yīng)塊”（見圖1），讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中形成合情意識(shí)、在觀察中建立直線平行的事實(shí)性條件.進(jìn)而在分析思維的參與下，產(chǎn)生探索直線平行條件的認(rèn)知需要、造成認(rèn)知沖突和平衡認(rèn)知的迫切心理.營建這樣的悱憤的認(rèn)知心理狀態(tài)，有助于“合情”心理經(jīng)驗(yàn)的有效“調(diào)用”.

具體實(shí)驗(yàn)操作過程如下：

第一，就圖1（1）來說，在轉(zhuǎn)化思想的參與下，讓學(xué)生將“一般”轉(zhuǎn)化“特殊”，即∠DHG=∠BGF=55°，轉(zhuǎn)化為∠1=∠2=90°.借助直尺的“垂直狀態(tài)”，畫出滿足條件的圖形，即AB∥CD.由此，獲得基本事實(shí)：同位角相等，兩直線平行.這是對課本操作的一種提升和轉(zhuǎn)化，是學(xué)生深度學(xué)習(xí)課本的表現(xiàn)，有助于提高學(xué)生的認(rèn)知合情能力.

第二，就圖1（2）來說，這種畫法是對小學(xué)階段用“直尺和三角板”畫平行線的經(jīng)驗(yàn)調(diào)用（一放、二靠、三移、四畫）與可逆思考.即通過構(gòu)造∠DHG=∠BGF=55°條件，可以獲得AB∥CD的結(jié)論.在觀察、實(shí)驗(yàn)、知覺概括的條件下，可以獲得基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”等這樣的客觀知識(shí)或精確結(jié)論，這本身就是一種合情知覺.

第三，就圖1（3）來說，是學(xué)生的一種通用的客觀認(rèn)知行為，帶有從“不同角度”看問題的積極意義，或許“換位思考”能力比“客觀知識(shí)”的獲得價(jià)值更大.因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本身的意義并不是目的，而是通過學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)形成解決問題的思想方法，進(jìn)而遷移到生活層面，并以此提高學(xué)科育人的能力.即在算理、算法的參與下，結(jié)合已知條件∠BGF=55°，根據(jù)“平角”的定義或者說是“鄰補(bǔ)角”的定義可知∠HGB=125°.由此，畫出∠EHD=∠HGB=125°，發(fā)現(xiàn)AB∥CD的結(jié)論，并概括出基本事實(shí)：同位角相等，兩直線平行.這種將“圖形語言”轉(zhuǎn)化為“符號(hào)語言”或者“文字語言”的概括行為就是大尺度的邏輯推理，是學(xué)生“能言善辯”的思維基礎(chǔ).

另外，值得一提的是圖1呈現(xiàn)的三種畫法，是執(zhí)教者對學(xué)生眾多畫法的一種共性概括.在“小老師”講解的“目標(biāo)過程”中，讓學(xué)生體驗(yàn)基本事實(shí)的“合情性”.這種尊重學(xué)生認(rèn)知心理水平的畫圖，提高了學(xué)生的合情水平和觀察能力.如果說畫圖是一種合情感知，那么知覺概括是一種合情“探路”，則“三大語言”的轉(zhuǎn)換是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有助于學(xué)生在觀察中實(shí)驗(yàn)，在分析中概括，并以此建立“合情合理”的思考格局.

數(shù)學(xué)活動(dòng)一

如圖，直線AB與EF交于點(diǎn)G，∠BGF=55°，點(diǎn)H在EF上，過點(diǎn)H畫直線AB的平行線CD，你有哪些畫法？

那么兩條直線被第三條直線所截，滿足怎樣的條件才能平行？

2在“轉(zhuǎn)圖”中發(fā)展“抽象意識(shí)”，突出“歸納→運(yùn)演”實(shí)驗(yàn)水平特征

“轉(zhuǎn)圖”是“用圖”或“玩圖”的可替代概念，是一種工具先行認(rèn)知意識(shí)，能提高知識(shí)獲得的質(zhì)量.這種讓學(xué)生在“玩中”抽象、在“用中”歸納、在“類比”中運(yùn)演，是學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的有效的實(shí)踐路徑.譬如，從童年的風(fēng)車的運(yùn)動(dòng)中，可以抽象出“中心對稱圖形”的本質(zhì)屬性，即旋轉(zhuǎn)構(gòu)造了“全等”;從“放風(fēng)箏”活動(dòng)中抽象出“軸對稱圖形”的概念屬性;從“紅雙喜”“慶豐燈籠”“雙魚戲水”等生活事物形態(tài)，抽象出“軸對稱”和“軸對稱圖形”關(guān)系等.這種從“整體到局部”的哲學(xué)思維方式，能提高學(xué)生的抽象意識(shí)，都是轉(zhuǎn)圖實(shí)驗(yàn)、用圖實(shí)驗(yàn)和“玩好圖形”的常見思維形式.這有助于學(xué)生發(fā)展“用數(shù)學(xué)的眼光看生活世界”的能力，既提高了抽象的意識(shí)，又提高了生活的適應(yīng)能力.由此可見，數(shù)學(xué)抽象作為初中階段學(xué)生六大核心素養(yǎng)之一，對人的成長是至關(guān)重要的和不可或缺的.當(dāng)然，抽象需要“歸納方法體系”的有效配合，方能將“生活問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”及其數(shù)學(xué)智慧.同時(shí)，任何經(jīng)驗(yàn)的“轉(zhuǎn)化、調(diào)用與化歸”都需要運(yùn)演，方能言之成理、落筆有據(jù).

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》明確指出，要基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.其中，這里的“抽象出數(shù)學(xué)問題”不止于從“應(yīng)用中抽象、情境中抽象”，更在于從“學(xué)具、教具”的使用活動(dòng)中抽象出概念和概念屬性，并在概念辨別的思維條件下，“去概念的物理屬性”，形成概念的本質(zhì).更進(jìn)一步地說，把“人”抽象成線段，考慮的是有無端點(diǎn)（本質(zhì)特征），不考慮線段的粗細(xì)（物理屬性）.這樣的從“生活到數(shù)學(xué)”、從“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的過程就是抽象地推理，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必備思維品質(zhì).當(dāng)前，世界各個(gè)國家都重視“抽象地推理”的能力混合培養(yǎng)，力圖提高數(shù)學(xué)育人的創(chuàng)造性功能.

譬如，美國的《州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[3]將推理融入其8條數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)中，要求學(xué)生能夠“抽象化、量化地進(jìn)行推理”“構(gòu)建可行的論證并批判他人的推理”“以及在不斷地推理中尋求表征規(guī)律”.用我們中國人的核心素養(yǎng)觀念來看，這里的“抽象化”可以理解為“用數(shù)學(xué)地眼光觀察生活世界”;“量化地推理”可以解釋為歸納推理、類比推理、計(jì)算推理等“非完全運(yùn)演”的思維方式;“可行的論證”就是常見的“由果索因、執(zhí)因求果”的運(yùn)演過程、“批判他人的推理”可以理解為“反例”，就像1723年歐拉發(fā)現(xiàn)225+1=641×6700417是一個(gè)合數(shù)，從而否定了費(fèi)馬的猜想（費(fèi)馬猜想，對于一切自然數(shù)n，22n+1都是質(zhì)數(shù)）.這樣的歸納推理的“目標(biāo)過程”就屬于計(jì)算推理的經(jīng)典樣例.另外，需要給于關(guān)注的是“表征規(guī)律”，這是一種抽象表達(dá)能力，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、生活幸福的“地氣”.只有會(huì)表達(dá)、善于表達(dá)，方能成就創(chuàng)造，方能促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步、科技進(jìn)步、生產(chǎn)力發(fā)展.這一點(diǎn)，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》在“課程目標(biāo)”維度給出明確要求，即“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.”由此可見，“學(xué)好表達(dá)”是人生成功的關(guān)鍵，是人生幸福的重要方面.

史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)抽象”從表現(xiàn)形態(tài)和思維形態(tài)來看，需要經(jīng)歷“兩次抽象”[4].即第一次是概念抽象，第二次是符號(hào)抽象.概念抽象就是一種合情抽象，而符號(hào)抽象就是一種歸納運(yùn)演或類比運(yùn)演.譬如，從帆船、自行車三腳架、紅領(lǐng)巾抽象出“三角形”的概念，就是最常見的概念抽象方式;從“用火柴棒搭小魚”活動(dòng)中抽象出“火柴棒的根數(shù)S和搭小魚的條數(shù)n之間的方程關(guān)系（S=6n+2）”就屬于符號(hào)抽象，是一種常見的歸納運(yùn)演思維方式.抽象意識(shí)不止于抽象、二次抽象，更在于抽象基礎(chǔ)上的推理論證，方能建立概念的規(guī)范性與科學(xué)性.實(shí)證研究顯示[5]：七年級學(xué)生對“關(guān)系內(nèi)容”的掌握遠(yuǎn)比“概念內(nèi)容”掌握好.教學(xué)設(shè)計(jì)要根據(jù)概念和概念性質(zhì)有關(guān)的具體內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)合理的背景、提出適合的問題、啟發(fā)學(xué)生的思考和感悟.為此，在設(shè)置“轉(zhuǎn)圖”活動(dòng)中需要做好三個(gè)方面的工作，即第一，情境抽象（概念抽象），讓學(xué)生“知其然，知其所以然”（落筆有據(jù)）;第二，符號(hào)抽象，將“圖形語言”轉(zhuǎn)化為“符號(hào)語言”，建立概念本質(zhì)特征;第三，數(shù)學(xué)表達(dá)，將“計(jì)算運(yùn)演”過程轉(zhuǎn)化為“言之成理”的目標(biāo)過程，這樣的轉(zhuǎn)圖、用圖、玩圖活動(dòng)，能讓學(xué)生形成抽象意識(shí)、用好歸納運(yùn)演，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“言之成理，落筆有據(jù)”的課程目標(biāo).

實(shí)驗(yàn)教學(xué)清樣執(zhí)教者在“建立概念”維度，為“每一個(gè)”配備了同一規(guī)格的自制的“學(xué)具”，并以此設(shè)置了“轉(zhuǎn)圖”活動(dòng)（見圖2），力圖讓學(xué)生在“轉(zhuǎn)圖”過程中，在度量、猜想等物理行為參與下，理解直線平行的條件.以此通過邏輯運(yùn)演，抽象出概念屬性，并表征概念及其概念關(guān)系體系.

具體實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)如下：

第一，從圖2的學(xué)具轉(zhuǎn)動(dòng)過程來說，觀摩課堂的師生做了以下幾個(gè)方面的工作：（1）抽象出基本事實(shí)：“同位角相等，兩直線平行”（見圖2（1））;（2）確證“同位角不相等，兩條直線不平行”數(shù)學(xué)論斷;（3）在物理屬性支配下，提出問題：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行嗎？”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行嗎？”（4）筆者認(rèn)為，在學(xué)生獲得“同位角相等，兩直線平行”基本事實(shí)后，需要指出基本事實(shí)是一種客觀經(jīng)驗(yàn)、不需要證明，可以作為證明依據(jù)的.同時(shí)指出初中階段需要掌握的基本事實(shí)總共9個(gè)（略）;到目前為止，已經(jīng)研究了5個(gè)：即兩點(diǎn)之間線段最短;兩點(diǎn)確定一條直線;過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;同位角相等，兩條直線平行.這樣的抽象與關(guān)聯(lián)，才能讓學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系.

第二，就問題（2）來說（見圖2（2）），根據(jù)對頂角相等，可知∠1=∠3.結(jié)合題干條件，∠2=∠3，由此可得∠1=∠2.根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”，不難知道AB∥CD的客觀性.在補(bǔ)償思維、隱含條件（對頂角相等）的參與下，讓學(xué)生抽象概括的客觀結(jié)論是“內(nèi)錯(cuò)角相等，條直線平行”.這就是概念抽象運(yùn)演的常見方式，有助于學(xué)生言之成理、落筆有據(jù).

第三，就問題（3）來說（見圖2（3）），根據(jù)“鄰補(bǔ)角”的定義，可知∠1+∠3=180°.結(jié)合“題干條件”∠2+∠3=180°，可知∠1=∠2，理由是“同角的補(bǔ)角相等”.再根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”，不難知道AB∥CD的客觀性.在補(bǔ)償思維、隱含條件（平角、鄰補(bǔ)角的意義）的參與下，學(xué)生抽象概括出“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.”

我國《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出“人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育”目標(biāo)，體現(xiàn)了教育公平的原則;美國也提出了公平性原則;澳大利亞強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)均等的原則.無論是“公平性”還是“機(jī)會(huì)均等”都需要教師設(shè)計(jì)好教學(xué)，方能讓“每一個(gè)”上好學(xué).“學(xué)具”的設(shè)計(jì)與使用、“轉(zhuǎn)圖”活動(dòng)的展開，都體現(xiàn)教師為“教好數(shù)學(xué)”而作出的努力.轉(zhuǎn)圖本身不是目的，而是為了讓抽象、推理變得簡單、易學(xué)，實(shí)現(xiàn)“不同人獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展”.如果“轉(zhuǎn)圖”是一種概念抽象，那么從基本事實(shí)運(yùn)演出判定定理是符號(hào)抽象，則把“圖形語言”“符號(hào)語言”轉(zhuǎn)化為“文字語言”是數(shù)學(xué)表達(dá);如果教具的制作是一種大尺度抽象意識(shí)，則類比計(jì)算、歸納運(yùn)演是感性推理上升為理性推理的“思維籌碼”，是學(xué)生建立客觀概念的思維秩序.

數(shù)學(xué)抽象

由基本事實(shí)可知：

①在圖（1）中，如果∠1=∠2，那么AB∥CD.

②在圖（2）中，如果∠2=∠3，那么AB∥CD？為什么？

③在圖（3）中，如果∠1+∠2=180°，那么AB∥CD？為什么？

經(jīng)歷上述活動(dòng)，你能得到哪些結(jié)論？

3在“算圖”中用好“原型定向”，突出“驗(yàn)證→關(guān)系”實(shí)驗(yàn)水平特征

“算圖”是初中階段數(shù)學(xué)推理的一種基本方式，往往帶有辯證性思維、創(chuàng)造性、研究與探索、多元性、模型化、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性思維、變式及其反思等水平特征.其中，辯證性、創(chuàng)造性、探索性、研究性都屬于一種事實(shí)性推理驗(yàn)證（證實(shí)），而多元、模型、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)、變式與反思都屬于一種關(guān)系性水平推理（結(jié)構(gòu)定向）.譬如，在驗(yàn)證“勾股定理”的過程中，趙爽的弦圖法、青朱出入圖法、總統(tǒng)證法等都是通過拼圖、算圖，來驗(yàn)證概念關(guān)系的，突出概念關(guān)系的辯證性和創(chuàng)造性“證實(shí)”特征.而在研究函數(shù)模型（譬如，一次函數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系被刻畫為y=kx+b，k、b為常數(shù)，且k≠0等）、方程模型、不等式模型的過程中“概念辨別”編碼組塊，往往需要定向結(jié)構(gòu)，帶有模型化、結(jié)構(gòu)化、方法的多元化、思維的系統(tǒng)化以及變式反思、二次反思等“原型定向”特征.在這里需要指出的是“原型定向”的內(nèi)涵屬性，就是將專家頭腦中高度約簡的、簡縮的、內(nèi)潛的經(jīng)驗(yàn)、方法、模型內(nèi)化為學(xué)生的問題解決能力，也就是我們常說的學(xué)會(huì)“專家思維”.

因此，在“算圖”中用好“原型定向”的意義重大，至少包括三個(gè)方面的含義.一方面，算圖是一種猜想性心理傾向，帶有創(chuàng)造性和探索性特征，有助于原型定向;另一方面，算圖是一種證實(shí)思維的目標(biāo)過程，有助于原型操作及其產(chǎn)生式形成;第三方面，算圖是一種辯證性思維，既證實(shí)又證偽，有助于結(jié)構(gòu)關(guān)系的建立和原型內(nèi)化目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).課本中的概念、法則、公式、基本事實(shí)以及定理都是大尺度的原型定向，而基本思想（局部到整體思想、特殊到一般思想等）、基本方法（類比化歸、分類討論等）、解題步驟（一元一次方程的解題步驟等）、實(shí)驗(yàn)步驟（摸幾何體、折幾何體、說幾何體、制作幾何體等思維流）、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（用透明紙畫圖、疊合、驗(yàn)證平行線、垂線的“唯一性”，可以證實(shí)平行、垂直的基本事實(shí)）等程序性知識(shí)都屬于原型操作的一部分.另外，學(xué)生能用“一提、二套、三分解”“平行線+角平分線=等腰三角形”等結(jié)構(gòu)化方法體系來解決問題就是原型內(nèi)化的表現(xiàn).就這一認(rèn)識(shí)來說，算圖不止于“算”，更在于證實(shí)，及其客觀知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立.

同時(shí)，需要指出的是，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.譬如，對話交流就是一種推理，是社會(huì)關(guān)系和諧的重要方面.俗話說：“會(huì)說撩人笑、不會(huì)說讓人跳”就是人際關(guān)系是否和諧的表現(xiàn).“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理”[6]，在整個(gè)義務(wù)教育階段，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成的一條思維主線.“關(guān)系推理”是數(shù)學(xué)推理的主要方面，其本身就是一種原型定向，有助于學(xué)生將“知識(shí)結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為良好的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”.Brodie認(rèn)為數(shù)學(xué)推理是兩個(gè)想法或數(shù)學(xué)概念之間構(gòu)建的一條用以論證或解決問題的路徑.用《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的話來說，論證和解決問題的路徑就是“探索思路”，基于經(jīng)驗(yàn)的合理就是“證明結(jié)論”.為此，在“算圖”維度需要關(guān)注以下幾個(gè)方面的問題，方能“用好原型”，定向已經(jīng)習(xí)得的結(jié)構(gòu)關(guān)系.一是，在“算圖”中定向原型，落實(shí)學(xué)以致用目標(biāo);二是在“說圖”中猜想驗(yàn)證，提高“言之成理”的用模能力;三是在“寫圖”中建立關(guān)系推理，提高綜合運(yùn)演的表達(dá)水平，提高解決問題的推理水平.

實(shí)驗(yàn)教學(xué)清樣執(zhí)教者在研究“用概念”推理模塊，設(shè)置多元解法問題（見圖3），力圖讓學(xué)生在問題解決過程中，通過猜想驗(yàn)證、定向解法原型，在關(guān)系推理的運(yùn)演下，讓學(xué)生“知其然，知其所以然和知其所不然”，并將“結(jié)構(gòu)關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，將概念的“數(shù)學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，進(jìn)而內(nèi)化原型、遷移經(jīng)驗(yàn).

具體實(shí)驗(yàn)操作過程如下：

在抽象、運(yùn)演思維的參與下，在“獨(dú)唱、合唱”行為的運(yùn)作下，基于“猜想、驗(yàn)證”諸要素和要素關(guān)系的建立，學(xué)生達(dá)成的解法共識(shí)，可歸結(jié)為三種.

方法一：就圖3（1）來說，因?yàn)閍⊥c，所以∠1=90°;因?yàn)閍⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”的條件，可知b∥c.

方法二：就圖3（2）來說，因?yàn)閍⊥c，所以∠1=90°;因?yàn)閍⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的條件，可知b∥c.

方法三：就圖3（3）來說，因?yàn)閍⊥c，所以∠1=90°;因?yàn)閍⊥b，所以∠2=90°.所以∠1+∠2=180°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的條件，可知b∥c.

數(shù)學(xué)活動(dòng)二

已知a⊥b，a⊥c，能證出b∥c嗎？為什么？

在懷特?？磥?，“教育不是往行李箱里塞滿物品的過程.”證實(shí)和證偽是一個(gè)修正與輸出的過程，任何客觀結(jié)論的習(xí)得都需要經(jīng)歷“猜想、驗(yàn)證→概念關(guān)系”習(xí)得的一個(gè)內(nèi)化和輸出過程，方能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力、將經(jīng)驗(yàn)上升為思想方法、將結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)智慧和生活能力.如果把“工具意識(shí)→概念關(guān)系”看成是原型定向，則多元推理方法的獲得是一種猜想、算圖與說圖，有助于學(xué)生知道“要到哪里去和怎樣到那里”（探索思路）.也就是說，證實(shí)的過程就是讓學(xué)生在推理過程中建立“關(guān)系推理”各要素之間的聯(lián)系，形成“手中握無限，霎那成永恒”的思考格局和結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系.其中，在辯證思維的條件下，“寫圖”的過程不只是“內(nèi)化、輸出”的過程，更是學(xué)會(huì)“專家思維”的具體表現(xiàn).正如盧梭的觀點(diǎn)，“愛彌兒的知識(shí)不多，我不是要教給他各種各樣的知識(shí)，而是教給他在需要的時(shí)候怎樣獲取知識(shí)和追求知識(shí)的價(jià)值.”在實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)維度，無論是猜想驗(yàn)證、還是關(guān)系推理不止于概念關(guān)系的獲得、更在于將“原型定向”轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)表達(dá).這就是“證實(shí)、證偽”的學(xué)科價(jià)值.

最后需要指出的是，數(shù)學(xué)推理組塊編碼的水平是一個(gè)辯證發(fā)展的過程，三個(gè)水平都遵循“最近發(fā)展區(qū)”原則，不同的學(xué)生“現(xiàn)有推理水平”發(fā)展區(qū)不同.只有尊重差異、因材施教，方能讓不同學(xué)生獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展.因此，推理編碼不止于畫圖、轉(zhuǎn)圖和寫圖，更在于抽象、推理和建模的有序發(fā)展.將“學(xué)好數(shù)學(xué)”上升為“學(xué)會(huì)生活”，將“學(xué)會(huì)推理”上升到“學(xué)會(huì)表達(dá)”才是最重要的，才是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育應(yīng)有的育人宗旨.

文獻(xiàn)參考

[1]李娜，趙京波，曹一鳴.基于PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)推理與問題解決[J].課程·教材·教法，2020（4）：131-137.

[2]鄭欣，程靖.20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中推理論證能力的變化及啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（3）：24-29.

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[6]卓潤昌.邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)注與教學(xué)實(shí)施[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）：11-13.