西藏地區(qū)GDP發(fā)展的趨勢(shì)性研究
——基于ARMA模型的預(yù)測(cè)分析*

安博文 李春玉 劉紅衛(wèi)

（1.新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012；2.西藏大學(xué)理學(xué)院，西藏 拉薩 850000）

1 文獻(xiàn)綜述

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是經(jīng)濟(jì)社會(huì)（國(guó)家或地區(qū)）在一定時(shí)期內(nèi)運(yùn)用生產(chǎn)要素所生產(chǎn)的全部最終產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)值，是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的重要指標(biāo)。精確預(yù)測(cè)未來(lái)十年西藏地區(qū)GDP 的增長(zhǎng)和增長(zhǎng)速度，可以為政府作出經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面的規(guī)劃提供理論指導(dǎo)。有關(guān)GDP的趨勢(shì)預(yù)測(cè)方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都進(jìn)行了廣泛研究。從預(yù)測(cè)模型來(lái)看，主要有自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA 模型）、灰色系統(tǒng)模型（GM(1,1)模型）以及一些其他模型。

ARMA 模型是以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)的時(shí)間序列分析模型，該模型既包含時(shí)間趨勢(shì)的自回歸因素，又考慮了時(shí)間序列的移動(dòng)平均因素。因此，在分析GDP的趨勢(shì)擬合預(yù)測(cè)上具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，相關(guān)的成果主要有：華鵬和趙學(xué)民（2010）針對(duì)廣東省1978—2008 的GDP發(fā)展?fàn)顩r采用ARIMA 模型進(jìn)行擬合，實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)ARIMA(1,1,0)擬合效果最優(yōu)，并基于該模型對(duì)廣東省GDP進(jìn)行短期預(yù)測(cè)［1］；熊志斌（2011）采用ARIMA 模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成的時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法，對(duì)我國(guó)1978—2009 年的GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，實(shí)證結(jié)果顯示，集成模型預(yù)測(cè)結(jié)果精度要優(yōu)于單一模型的預(yù)測(cè)精度［2］；尹靜和何躍（2011）基于四川省2000—2009 年GDP 的季度數(shù)據(jù)，采用ARIMA-GMDH 組合模型進(jìn)行擬合，進(jìn)一步證實(shí)了組合模型的預(yù)測(cè)效果要好于ARIMA 和GMDH單一模型的預(yù)測(cè)效果［3］；何黎和何躍（2012）對(duì)我國(guó)GDP 的季度數(shù)據(jù)分別用GMDH 模型和ARIMA 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，在引入PMI 指標(biāo)后采用ARCH 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)證結(jié)果顯示，ARCH模型的預(yù)測(cè)結(jié)果要優(yōu)于GMDH 和ARIMA 模型［4］；張淑紅等（2014）基于河南省1978—2010 年人均GDP 指數(shù)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，采用AR 模型進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)，研究發(fā)現(xiàn)：“十二五”期間人均GDP 增速呈現(xiàn)先慢后快的增長(zhǎng)趨勢(shì)［5］；張靜（2017、2018）將貝葉斯先驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想融入時(shí)間序列，針對(duì)甘肅省1953—2010 年人均GDP 給出了兩種先驗(yàn)分布下的貝葉斯算法，并采用穩(wěn)健的貝葉斯時(shí)序模型預(yù)測(cè)了“十三五”時(shí)期人均GDP［6-7］；張強(qiáng)等（2019）基于C-D生產(chǎn)函數(shù)和ARIMA 模型構(gòu)建了GDP 綜合預(yù)測(cè)模型，并充分考慮社會(huì)外部環(huán)境對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，對(duì)2016—2050 年的GDP 水平進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)未來(lái)區(qū)域間發(fā)展不均衡的趨勢(shì)將得到緩解［8］。

GM(1,1)模型是通過(guò)建立連續(xù)的微分方程，充分利用預(yù)測(cè)變量的已知信息，弱化未知信息，對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。大多數(shù)學(xué)者也將該模型應(yīng)用到GDP數(shù)據(jù)的擬合預(yù)測(cè)上，相關(guān)成果主要有：張和平和陳齊海（2017）基于拓展的非線性GM(1,1)冪模型，并結(jié)合最新信息優(yōu)先原則構(gòu)建了等維新息遞補(bǔ)的GM(1,1)模型，對(duì)我國(guó)“十三五”期間的GDP 總量進(jìn)行預(yù)測(cè)［9］；李凱和張濤（2017）采用對(duì)初始值進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換和對(duì)背景值改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)上海市2017—2020年的GDP，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的GM(1,1)模型更適合用于GDP 預(yù)測(cè)，實(shí)證結(jié)果顯示，未來(lái)幾年上海市經(jīng)濟(jì)水平將保持7%平穩(wěn)增長(zhǎng)［10］；田梓辰和劉淼（2018）采用改進(jìn)的拉格朗日插值對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行重構(gòu)，消除了傳統(tǒng)拉格朗日插值造成的弊端，并用新疆2006—2015 年的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，結(jié)果顯示，改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度有所提升［11］；祖培福等（2018）也采用背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型，對(duì)牡丹江GDP 進(jìn)行了預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)背景值優(yōu)化GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)誤差要小于傳統(tǒng)GM(1,1)模型［12］；龍會(huì)典和嚴(yán)廣樂(lè)（2017）基于GM(1,1)模型和Markov 鏈模型建立了動(dòng)態(tài)GM(1,1)-Markov 鏈組合預(yù)測(cè)模型，用Taylor 展式近似該模型的數(shù)值結(jié)果，并對(duì)1991—2014 年廣東省的單位GDP 能耗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)［13］；張和平和解曉龍（2019）基于數(shù)據(jù)維度、初始值和原始數(shù)據(jù)三個(gè)維度建立了等維信息GM(1,1)模型、初始改進(jìn)GM(1,1)模型和擬合模型，并對(duì)這3 個(gè)模型的權(quán)重加以設(shè)置得到組合預(yù)測(cè)模型，通過(guò)江西省2004—2015 年的GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)組合優(yōu)化模型明顯提高了預(yù)測(cè)精度［14］；張敏和黨耀國(guó)（2018）采用GM(1,1)與AR 相結(jié)合的模型對(duì)GDP 進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)南京市2000—2015 年GDP 進(jìn)行小波變換，把原始數(shù)據(jù)分類，對(duì)高頻信息用AR 模型擬合，對(duì)低頻信息用GM(1,1)模型進(jìn)行擬合，將二者組合得到“十三五”期間南京市GDP的預(yù)測(cè)情況［15］。

此外，還有部分學(xué)者采用其他計(jì)量模型對(duì)GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)研究。王鑫和肖枝洪（2012）采用干預(yù)模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，對(duì)我國(guó)1978—2004 年GDP 時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，實(shí)證結(jié)果顯示，所建立的集成模型對(duì)于處理外部事件具有較強(qiáng)的有效性［16］；喻勝華和鄧娟（2011）采用主成分分析和貝葉斯正則化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合預(yù)測(cè)我國(guó)1985—2008 年的GDP 數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)，該組合模型可以簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提高模型的泛化能力，預(yù)測(cè)結(jié)果較優(yōu)［17］；耿鵬和齊紅倩（2012）針對(duì)高頻數(shù)據(jù)信息損失現(xiàn)象，采用了M-MIDAS-DL 模型對(duì)我國(guó)1992—2010年的GDP季度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)該模型在經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)分析中具有較好的預(yù)測(cè)作用［18］；郭秋艷和何躍（2014）基于DFA 計(jì)算出的GDP 標(biāo)度指數(shù)，采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)我國(guó)1990—2010 年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，實(shí)證發(fā)現(xiàn)，該模型適用于非線性、時(shí)變性和不確定性的數(shù)據(jù)［19］；蔣鐵軍和張懷強(qiáng)（2014）針對(duì)我國(guó)1952—2010 年的GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，采用核主成分回歸模型擬合預(yù)測(cè)，并進(jìn)一步利用粒子群優(yōu)化算法提高模型的普適性［20］；索澤輝和冼軍（2015）基于Lomb-Scargle周期圖法提出GDP指數(shù)擬合增長(zhǎng)波動(dòng)率周期、建立指數(shù)預(yù)測(cè)模型，并對(duì)1978—2004 年的GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)擬合效果較高、有效性較強(qiáng)［21］；張鵬（2018）基于變權(quán)函數(shù)和定權(quán)函數(shù)分別建立線性組合模型，并通過(guò)我國(guó)1978—2016 年的GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)權(quán)值具有時(shí)效性，說(shuō)明變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型更適合時(shí)間序列數(shù)據(jù)［22］；桂文林等（2018）基于奇異譜分析法估計(jì)了我國(guó)1992—2016 年GDP 產(chǎn)出缺口的季度數(shù)據(jù)，并通過(guò)比較通貨膨脹預(yù)測(cè)性和估計(jì)穩(wěn)定性等方面，發(fā)現(xiàn)奇異譜分析法的預(yù)測(cè)結(jié)果要明顯優(yōu)于HP、CF 和BW 等傳統(tǒng)濾波方法［23］；馮金平等（2019）將非線性跟蹤-微分器采用Taylor 展式加以修正，并通過(guò)我國(guó)1952—2016 年的GDP 進(jìn)行實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，該預(yù)測(cè)結(jié)果要優(yōu)于依賴模型方法的預(yù)測(cè)結(jié)果［24］。

考慮到西藏地區(qū)GDP受到三類產(chǎn)業(yè)增加值、政府財(cái)政收支、地區(qū)進(jìn)出口貿(mào)易、社會(huì)消費(fèi)品零售額和固定資產(chǎn)投資等方面的影響，西藏地區(qū)GDP的變動(dòng)趨勢(shì)既呈現(xiàn)出影響因素的隨機(jī)性、又包含時(shí)間的波動(dòng)性，既存在時(shí)間上的滯后性、又具有相依性。因此，本文采用ARMA 模型，以1978—2018 年的西藏GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，對(duì)未來(lái)十年的GDP 發(fā)展趨勢(shì)作出預(yù)測(cè)，并在預(yù)測(cè)結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行增長(zhǎng)速度的分析，認(rèn)為西藏地區(qū)在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的同時(shí)還要考慮諸如環(huán)境、資源等方面的問(wèn)題，最終得出未來(lái)十年西藏經(jīng)濟(jì)將穩(wěn)步緩慢增長(zhǎng)，走向經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)新常態(tài)之路。

2 ARMA模型理論

ARMA 模型廣泛應(yīng)用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在短期預(yù)測(cè)方面效果明顯。該模型是由Box G 和Jenkins G（1970）首次提出的［25］，ARMA(p,q)模型的具體形式為

其中：

B表示延遲算子，且φp≠0，θq≠0。

平穩(wěn)性檢驗(yàn)是時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)處于非平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，可通過(guò)取對(duì)數(shù)或差分進(jìn)行處理。平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法有兩種，一種是通過(guò)作時(shí)序圖和自相關(guān)圖進(jìn)行檢驗(yàn)；另一種是采用單位根檢驗(yàn)。

時(shí)序圖是一個(gè)平面二維坐標(biāo)圖，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示序列取值，可以用來(lái)直觀分析序列的一些基本分布特征。若時(shí)序圖顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)而且波動(dòng)的范圍有界，則該序列是平穩(wěn)序列；若時(shí)序圖顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)或周期，則該序列不是平穩(wěn)序列。自相關(guān)圖（或偏自相關(guān)圖）是一個(gè)平面二維坐標(biāo)懸垂線圖，橫軸表示自相關(guān)系數(shù)（或偏自相關(guān)系數(shù)），縱軸表示延遲時(shí)期數(shù)。平穩(wěn)序列具有短期相關(guān)性，即自相關(guān)系數(shù)隨延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快衰減向零；非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減向零的速度比較慢。

單位根檢驗(yàn)是檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法，這里采用ADF檢驗(yàn)，即建立高階自回歸過(guò)程平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方程為：

為了保證建模結(jié)果的穩(wěn)健性，需要對(duì)GDP序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

據(jù)此提出的原假設(shè)為：對(duì)?m ≥1，ρ1=ρ2=···=ρm=0，即延遲期數(shù)小于或等于m 期的序列值之間相互獨(dú)立；備擇假設(shè)為：對(duì)?m ≥1，?k ≤m，使ρk=0，即延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性。

對(duì)于ARMA(p,q)模型的估計(jì)，從式（1）可以看出，該模型共含有p+q+2 個(gè)未知參數(shù)，分別為：φ1，…，φp，θ1，…，θq，μ 和。其中μ 是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的均值，采用矩估計(jì)法有：

下面采用極大似然法估計(jì)余下的p+q+1 個(gè)參數(shù)，即φ1，…，φ，θ1，…，θq，和，得到的估計(jì)結(jié)果為：

其中：

最后，采用最小信息量準(zhǔn)則（AIC 準(zhǔn)則）選取所有擬合模型中的相對(duì)最優(yōu)模型。該準(zhǔn)則可以從兩個(gè)方面考察擬合模型的優(yōu)劣：一方面是考慮了擬合程度的似然函數(shù)值；另一方面是模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此AIC準(zhǔn)則就是擬合精度和參數(shù)個(gè)數(shù)的加權(quán)函數(shù)，即

使AIC 函數(shù)達(dá)到最小的模型被認(rèn)為是最優(yōu)模型。從而，當(dāng)同一個(gè)序列可以構(gòu)造出多個(gè)顯著有效的擬合模型時(shí)，可以根據(jù)AIC準(zhǔn)則選取相對(duì)最優(yōu)模型。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文樣本數(shù)據(jù)來(lái)源于《2019年西藏統(tǒng)計(jì)年鑒》，將1978—2018 年西藏地區(qū)GDP 的時(shí)間序列數(shù)據(jù)定義為GDPt（t=1978,1979,···,2018），單位為億元。圖1和圖2 分別展示了1978—2018 年西藏地區(qū)GDP 的定基增長(zhǎng)速度與環(huán)比增長(zhǎng)速度。

圖1 西藏地區(qū)GDP定基增長(zhǎng)速度

由圖1 可以看出，西藏地區(qū)GDP 的定基發(fā)展速度出現(xiàn)了指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)；由圖2 可以看出，西藏地區(qū)GDP 的環(huán)比增長(zhǎng)速度波動(dòng)較大，1982 年和1986 年出現(xiàn)了環(huán)比負(fù)增長(zhǎng)。由于定基增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)出明顯的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，說(shuō)明原始的GDP 序列屬于非平穩(wěn)序列，并且具有較強(qiáng)的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此對(duì)原始GDP序列取對(duì)數(shù)處理，得到：

圖2 西藏地區(qū)GDP環(huán)比增長(zhǎng)速度

圖3 和圖4 依次作出了LGDP 序列的時(shí)序圖和自相關(guān)偏自相關(guān)圖。LGDP 具有明顯的直線上升趨勢(shì)，圖4 中LGDP 的自相關(guān)系數(shù)遞減到零的速度緩慢，在較長(zhǎng)的延遲期里，自相關(guān)系數(shù)一直為正，隨后一直為負(fù)，自相關(guān)圖中也呈現(xiàn)出了明顯的三角對(duì)稱形，說(shuō)明該序列是具有單調(diào)趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列。

圖3 LGDP的時(shí)序圖

圖4 LGDP的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

為消除LGDP 序列的線性趨勢(shì)性，這里考慮對(duì)此作一階差分處理，即有：

其中：△表示差分算子。從圖5 可以發(fā)現(xiàn)，△LGDP序列的自相關(guān)系數(shù)除延遲2 期外都控制在2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍以內(nèi)，說(shuō)明該序列是一個(gè)隨機(jī)性很強(qiáng)的平穩(wěn)序列?？紤]到時(shí)序圖檢驗(yàn)和自相關(guān)偏自相關(guān)圖檢驗(yàn)得出的平穩(wěn)性結(jié)論較為主觀，下面采用ADF單位根檢驗(yàn)考察△LGDP序列的平穩(wěn)性。

圖5 △LGDP的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

根據(jù)式（2），可以得到有常數(shù)均值但無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)類型的ADF 檢驗(yàn)結(jié)果。表1 的計(jì)算結(jié)果顯示，常數(shù)項(xiàng)、滯后一期的LGDP 以及滯后一期的△LGDP 的t 統(tǒng)計(jì)量值均在1%水平下顯著，ADF檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量值也在1%水平下顯著，說(shuō)明△LGDP 序列屬于平穩(wěn)序列。因此，采用ARMA 模型對(duì)該時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模得到的估計(jì)結(jié)果可靠。

表1 △LGDP的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

這里對(duì)△LGDP 序列進(jìn)行純隨機(jī)性分析。根據(jù)式（3）計(jì)算出延遲2～12 期的Q 統(tǒng)計(jì)量值，如表2 所示。當(dāng)延遲期數(shù)為2～5 期時(shí)，Q 統(tǒng)計(jì)量值在1%水平下顯著；當(dāng)延遲期數(shù)為6～12期時(shí)，Q統(tǒng)計(jì)量值在5%水平下顯著。因此，可以顯著拒絕原假設(shè)，說(shuō)明△LGDP序列具有很強(qiáng)的前后相關(guān)性，即認(rèn)為該序列趨勢(shì)有統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循，具備統(tǒng)計(jì)建模價(jià)值。

表2 △LGDP的純隨機(jī)性檢驗(yàn)結(jié)果

3.2 模型估計(jì)與遴選

估計(jì)ARMA 模型的一大關(guān)鍵在于模型的定階問(wèn)題。從圖5 的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖可以看出，自相關(guān)系數(shù)在2 階處出現(xiàn)了截尾，可以選用MA(2)模型；偏自相關(guān)系數(shù)也呈現(xiàn)出了2階截尾，因此可以采用AR(2)模型；綜合考慮自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的截尾現(xiàn)象，可以選取ARMA(2,2)模型；自相關(guān)系數(shù)在延遲4 期處靠近兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置，此時(shí)考慮用AR(4)模型；同理也可選用ARMA(4,2)模型。因此，下面分別選用AR(2)、MA(2)、ARMA(2,2)、AR(4)以及ARMA(4,2)對(duì)△LGDP序列進(jìn)行擬合，根據(jù)式（4）和式（5）計(jì)算得到表3。

表3 ARMA模型的估計(jì)結(jié)果

MA(2)模型、AR(2)模型、AR(4)模型以及ARMA(4,2)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果均在5%水平下顯著，說(shuō)明這4個(gè)模型回歸結(jié)果的可靠性較強(qiáng)，ARMA(2,2)模型中2階移動(dòng)平均項(xiàng)系數(shù)的回歸結(jié)果并不顯著，說(shuō)明該模型的可靠性較差，因此舍去該擬合模型。從表3 可以進(jìn)一步看出，擬合的模型1，即AR(2)模型為：

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:

擬合的模型2，即AR(4)模型為:

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:

擬合的模型3，即MA(2)模型為:

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：

擬合的模型5，即ARMA(4,2)模型為:

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：

從擬合優(yōu)度來(lái)看，ARMA(4,2)模型要優(yōu)于AR(2)模型，而AR(2)模型又優(yōu)于MA(2)模型，AR(4)模型的擬合效果較差；再考慮DW 檢驗(yàn)結(jié)果，AR(2)模型和MA(2)模型的DW 檢驗(yàn)值分別為1.7902 和1.7083，超出了1.8～2.2 的經(jīng)驗(yàn)范圍，故排除這兩個(gè)模型；對(duì)于AR(4)模型與ARMA(4,2)模型，這里同時(shí)采用AIC 準(zhǔn)則和SBC 準(zhǔn)則，ARMA(4,2)模型的AIC 數(shù)值和SBC 數(shù)值都要小于AR(4)模型的，說(shuō)明ARMA(4,2)模型要明顯優(yōu)于AR(4)模型。綜合以上原因，本文選取ARMA(4,2)模型擬合△LGDP序列，即采用ARIMA(4,1,2)模型擬合LGDP序列。

3.3 穩(wěn)健性分析與預(yù)測(cè)

由于估計(jì)式(5)時(shí)采用了極大似然法，而極大似然估計(jì)的前提為假設(shè)△LGDP 序列服從正態(tài)分布。從圖6 可以看出，△LGDP 序列大體上服從正態(tài)分布，即符合極大似然估計(jì)的前提假設(shè)。

圖6 △LGDP的分布直方圖

本文最終選定ARIMA(4,1,2)模型擬合LGDP 序列，下面就對(duì)殘差序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，據(jù)此判斷ARIMA(4,1,2)模型對(duì)LGDP 序列的信息提取是否充分，即判斷是否需要對(duì)該序列進(jìn)行再一步挖掘。

從圖7和圖8可以看出，殘差序列符合正態(tài)分布的基本假設(shè)，下面再對(duì)殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)（表4）。

圖7 殘差序列的分布直方圖

圖8 殘差序列的正態(tài)Q-Q圖

表4 殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果

從表4 可以看出，P 值明顯大于顯著性水平0.05，所以殘差序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)，即認(rèn)為該序列是純隨機(jī)序列。

上述檢驗(yàn)結(jié)果顯示，△LGDP 序列服從正態(tài)分布的基本假設(shè)，殘差序列也通過(guò)了正態(tài)性檢驗(yàn)和白噪聲檢驗(yàn)，說(shuō)明采用ARIMA(4,1,2)對(duì)LGDP 序列建模，其估計(jì)結(jié)果是十分穩(wěn)健的。

下面采用ARIMA(4,1,2)對(duì)西藏地區(qū)未來(lái)十年的GDP 情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，將式（7）和式（8）代入式（12）中，得到預(yù)測(cè)方程為：

根據(jù)式（13）計(jì)算出對(duì)未來(lái)十年西藏地區(qū)GDP 的發(fā)展情況為：

依據(jù)表5 的預(yù)測(cè)結(jié)果，作出西藏未來(lái)GDP 的定基增長(zhǎng)速度圖和環(huán)比增長(zhǎng)速度圖，如圖9和圖10。

表5 來(lái)十年西藏GDP預(yù)測(cè)結(jié)果

圖9 未來(lái)十年西藏GDP定基增長(zhǎng)速度

從圖9 可以看出，未來(lái)十年西藏地區(qū)GDP 仍處于增長(zhǎng)趨勢(shì)，但定基增長(zhǎng)速度已經(jīng)從圖1 的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)變得較為平緩，甚至接近于一條直線，說(shuō)明西藏地區(qū)GDP 的增速減緩了。再?gòu)膱D10 可以看出，未來(lái)十年西藏地區(qū)GDP的環(huán)比增長(zhǎng)速度雖然呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但出現(xiàn)了不同程度的波動(dòng)情況，由2020 年到2021 年的環(huán)比增長(zhǎng)下降了近0.5個(gè)百分點(diǎn)。

圖10 未來(lái)十年西藏GDP環(huán)比增長(zhǎng)速度

4 結(jié)論

本文基于西藏地區(qū)1978—2018 年的GDP 時(shí)間序列數(shù)據(jù)，建立ARIMA(4,1,2)擬合預(yù)測(cè)模型。首先，對(duì)非平穩(wěn)GDP 序列進(jìn)行取對(duì)數(shù)、作差分的平穩(wěn)性處理，得到平穩(wěn)的且具有時(shí)期相關(guān)性的△LGDP序列；其次，采用ARMA 對(duì)△LGDP序列進(jìn)行擬合，并通過(guò)擬合優(yōu)度、DW 檢驗(yàn)、AIC 準(zhǔn)則和SBC 準(zhǔn)則等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)擬合的模型綜合比較，發(fā)現(xiàn)ARIMA(4,1,2)對(duì)LGDP 序列的擬合效果最好；最后，通過(guò)△LGDP序列的正態(tài)性檢驗(yàn)以及殘差序列的正態(tài)性檢驗(yàn)和白噪聲檢驗(yàn)，證明了估計(jì)結(jié)果的穩(wěn)健性，并對(duì)西藏地區(qū)未來(lái)十年GDP的發(fā)展情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。

實(shí)證結(jié)果顯示，在未來(lái)十年西藏地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，西藏GDP定基增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)出較為平緩的直線增長(zhǎng)趨勢(shì)，環(huán)比增長(zhǎng)速度也出現(xiàn)了不同程度的下調(diào)，從側(cè)面說(shuō)明了，未來(lái)十年西藏地區(qū)在經(jīng)濟(jì)發(fā)展同時(shí)，還要考慮到諸如環(huán)境、資源等方面的問(wèn)題，要堅(jiān)持走經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)新常態(tài)之路。