數(shù)學(xué)中的曲與直之美
——“曲”“直”轉(zhuǎn)化解函數(shù)中求參問題

東莞市東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳德煜

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律”“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”。數(shù)學(xué)的美是自然之美的一種反映，是自然科學(xué)美的重要組成部分。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中隱含著大量的“美育”因素，我們通過發(fā)掘數(shù)學(xué)課程中的美，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并感知數(shù)學(xué)的美，從而喜歡數(shù)學(xué)。

在高中的函數(shù)問題解決中，存在著大量的曲（線）與直（線）之美，即將未知曲線問題轉(zhuǎn)化為已知曲線與直線問題或簡(jiǎn)單未知曲線（可通過導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究其圖像）與直線問題進(jìn)行求解，既體現(xiàn)了曲與直之美，又體現(xiàn)解題的簡(jiǎn)潔之美。

一、曲與直的轉(zhuǎn)化解決函數(shù)中的恒成立（存在性）問題

函數(shù)的恒成立（存在性）條件下求參數(shù)的取值范圍，一直以來都是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，幾乎每年的高考試卷中都能發(fā)現(xiàn)它的身影。

例1：已知函數(shù)f（x）=x2lnx-a（x2-1）（a∈R），若f（x）≥0在0

解法一：換元法，數(shù)形結(jié)合

點(diǎn)評(píng)：本題是2018年天津高考理科的第14題，解法有多種，但如果巧妙分離，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)與直線（射線），那么利用圖形可以直觀地解決問題。此解法的好處是分離的兩個(gè)函數(shù)更簡(jiǎn)單，只需研究其極端情況相切就行。

三、曲與直的轉(zhuǎn)化解決不等式中整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題

點(diǎn)評(píng)：本題是2015年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第12題，解法有多種，可以直接利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍。但由于原函數(shù)含有參數(shù)，直接研究圖像比較麻煩。如果巧妙地分離轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知函數(shù)(不含參數(shù)，可通過導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究其圖像)與直線，那么可以直觀地解決問題。

四、總結(jié)與反思

含參數(shù)的函數(shù)問題是高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，在歷年的高考中是?？純?nèi)容，既可以體現(xiàn)在選擇題、填空題中，也可以體現(xiàn)在解答題中。對(duì)于選擇題、填空題中所出現(xiàn)的含參數(shù)函數(shù)問題，一般會(huì)出現(xiàn)恒成立（或存在性）問題、研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（或方程的根的個(gè)數(shù)）問題、研究函數(shù)不等關(guān)系中的整數(shù)解個(gè)數(shù)問題。這種題型如果直接構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫函數(shù)草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，必定會(huì)遇到所構(gòu)造函數(shù)含有參數(shù)，直接研究圖像比較麻煩的情況。如果能巧妙地分離轉(zhuǎn)化成一個(gè)已知曲線與直線或轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單未知曲線（可通過導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究其圖像）與直線，那么利用圖形可以直觀求解。一般來說，轉(zhuǎn)化后的函數(shù)是個(gè)不含參數(shù)的簡(jiǎn)單函數(shù)，直線中的參數(shù)一般代表斜率或截距的幾何含義，通過直線的繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或平行移動(dòng)觀察直線與曲線的位置關(guān)系可解。在日常教學(xué)中，教師要注意幫助學(xué)生總結(jié)好如何轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生掌握上述幾種轉(zhuǎn)化思想，這樣，當(dāng)學(xué)生遇到不同的函數(shù)時(shí)會(huì)有明確的思維轉(zhuǎn)化方向，能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。