“點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南京市第一中學(xué)馬群分校 蔡 璐

一、內(nèi)容解析

本節(jié)課是蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第二章之后的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課。點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是中考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)之一，因此，需要一節(jié)專題復(fù)習(xí)課來有效地改進(jìn)學(xué)生存在的問題。

二、目標(biāo)解析

1.鞏固和掌握點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法及切線的判定和性質(zhì)。

2.會(huì)用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算和說明，理解三角形的內(nèi)心。

3.通過具體問題構(gòu)建此部分的知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善對(duì)點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的整體認(rèn)識(shí)。在探究的過程中，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想在數(shù)學(xué)問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：切線的判定定理和性質(zhì)定理。

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行計(jì)算和說理。

四、教學(xué)過程

1.問題探究

問題1：（播放幻燈片）過平面上一點(diǎn)可以畫幾條⊙O的切線？

追問1：這個(gè)點(diǎn)的位置可能在哪里？如何用數(shù)量關(guān)系刻畫這種位置關(guān)系？

追問2：過平面上一點(diǎn)可以畫一條直線，這條直線與⊙O可能有哪幾種位置關(guān)系？如何用數(shù)量關(guān)系表示呢？

追問3：直線與圓的位置關(guān)系中，最特殊的一種就是相切，那么過圓上一點(diǎn)如何畫出過該點(diǎn)的圓的切線呢？你的依據(jù)是什么？這個(gè)定理反過來又是什么？

追問4：看到圖1你能聯(lián)想到什么定理？

圖1

啟發(fā)學(xué)生用作圖來回顧點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系和直線與圓的三種位置關(guān)系，并用數(shù)量關(guān)系去刻畫這三種位置關(guān)系。通過畫切線復(fù)習(xí)切線的判定和性質(zhì)以及進(jìn)一步地追問復(fù)習(xí)切線長(zhǎng)定理，并由教師在黑板梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)。

設(shè)計(jì)意圖：這里沒有通過直接羅列知識(shí)點(diǎn)或具體的題目來梳理基本知識(shí)，而是通過一系列作圖和由作圖引發(fā)的思考來復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性，避免復(fù)習(xí)課的平淡乏味。從點(diǎn)與圓的位置關(guān)系到直線與圓的位置關(guān)系，并引出其中最特殊的一種“相切”關(guān)系，為后面的課堂圍繞“切線”展開做準(zhǔn)備。

2.典型例題

問題2：連接OP，若PO平分∠APB，且PA與⊙O相切，那么PB也與⊙O相切嗎？如圖2，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∠APO=∠QPO。PQ與⊙O也相切嗎？

追問1：通過這道題目，請(qǐng)你總結(jié)一下，證明直線與圓相切有哪些方法？應(yīng)該如何選取適當(dāng)?shù)姆椒兀?/p>

追問2：當(dāng)題目中給出一條切線的條件時(shí)，我們可以聯(lián)想到什么？

學(xué)生獨(dú)立完成，教師有目的地進(jìn)行巡批，巡視過程中尋找不同方法的、幾何語(yǔ)言書寫不規(guī)范的。如在作輔助線時(shí)，正確步驟應(yīng)該是“連接OA，過O作OB⊥PQ，交PQ于點(diǎn)B”，學(xué)生易寫成“連接OA，過O作OB⊥PQ”。學(xué)生完成后，用投影展示以上巡批中發(fā)現(xiàn)的問題，并與學(xué)生討論交流。

設(shè)計(jì)意圖：在問題1學(xué)生畫出的圖形的基礎(chǔ)上，連接線段OP，使之成為問題2的圖形。這樣的安排不僅可以復(fù)習(xí)切線的判定和性質(zhì)定理，又可以將知識(shí)連貫起來，讓學(xué)生參與到題目自然生成的過程中，不斷引發(fā)學(xué)生的思考和往下探究的興趣。問題過后及時(shí)總結(jié)和歸納方法，也是復(fù)習(xí)課提升學(xué)生相關(guān)知識(shí)認(rèn)知水平的重要途徑。

問題3：通過剛才的證明我們已經(jīng)知道，PQ也與⊙O相切。若把切點(diǎn)記為B，連接兩個(gè)切點(diǎn)A、B，并延長(zhǎng)PO與⊙O分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，你能得到哪些結(jié)論呢？如圖3，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B。射線PO交⊙O于點(diǎn)C、D，交AB于點(diǎn)E。根據(jù)題設(shè)條件，你能得到哪些結(jié)論？為什么？追問1：若∠APB=60°，你能推出哪些角的度數(shù)？追問2：若F為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠F為多少度？

追問3：當(dāng)題目中出現(xiàn)兩條切線時(shí)，我們可以聯(lián)想到什么？

追問4：?jiǎn)栴}2中已經(jīng)畫出了⊙O的兩條切線，如果再畫一條⊙O的切線，與PA、PB圍成一個(gè)三角形，你有幾種不同的畫法？

學(xué)生舉手積極發(fā)言，綜合利用切線的性質(zhì)與判定、切線長(zhǎng)定理等所學(xué)知識(shí)得到不同層次的結(jié)論，教師適當(dāng)?shù)貙?duì)學(xué)生的結(jié)論加以引導(dǎo)和歸納。

設(shè)計(jì)意圖：本題是一個(gè)開放性的問題，綜合考查了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)。學(xué)生的認(rèn)知水平不同，得到的結(jié)論也深淺不一。這樣設(shè)置可以避免復(fù)習(xí)課一刀切的弊端，尊重學(xué)生個(gè)體的差異性，為不同層次的學(xué)生提供不同的發(fā)展機(jī)會(huì)和可能，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。在兩條切線的基礎(chǔ)上，繼續(xù)追問第三條切線的畫法，這樣的直線有兩類，一類切點(diǎn)在劣弧AB上，一類切點(diǎn)在優(yōu)弧AB上，這里也滲透了分類的思想。

問題4：改變⊙O第三條切線的位置，使其與PB垂直，所圍的三角形是一個(gè)直角三角形。如圖4，⊙O為△PMN的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、C，且∠PMN=90°。

圖2

圖3

（1）若∠PNM=40°，則∠MON=_°。

（2）若PA=4，NA=6，則⊙O的半徑為多少？

追問1：若PM=6，MN=8，則⊙O的半徑是多少？

追問2：當(dāng)題目中出現(xiàn)三條切線時(shí)，我們可以聯(lián)想到什么？學(xué)生先積極思考獨(dú)立完成，再通過小組匯報(bào)交流展示。

設(shè)計(jì)意圖：在問題3包含⊙O的兩條切線的圖形基礎(chǔ)上，添加第三條切線，引出三角形的內(nèi)切圓的問題，延續(xù)了前面問題的探究思路，即從包含一條切線的圖形到包含兩條切線的圖形，再到包含三條切線的圖形，問題的設(shè)置也是由易到難、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

3.課堂練習(xí)，及時(shí)反饋，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果

（1）已知半徑為5的圓，其圓心到某直線的距離是3，此時(shí)直線和圓的位置關(guān)系為( )

A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 無法確定

（2）如圖5，直線l是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，B為直線l上一點(diǎn)，連接OB交⊙O于點(diǎn)C。若AB＝12，OA＝5，則BC的長(zhǎng)為( )

A. 15 B. 6 C. 7 D. 8

（3）如圖6，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∠AOP＝50°，則∠PAB＝_____°，∠OPB＝______°。

（4）已知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑是________。

圖6

圖5

圖7

（5）如圖7，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于點(diǎn)P，且PC＝BC。求證：BC是⊙O的切線。

4.歸納總結(jié)

教師：今天這節(jié)課我們復(fù)習(xí)了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？能不能和大家交流一下你的收獲？

學(xué)生積極發(fā)言，交流想法，分享復(fù)習(xí)成果，教師根據(jù)學(xué)生所述進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充和概括，最后評(píng)價(jià)學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)的總結(jié)可以鞏固本節(jié)知識(shí)，并將知識(shí)在歸納和反思中升華，使學(xué)生內(nèi)化于心，靈活運(yùn)用于證明各種與點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的題目。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課從畫圖入手，讓學(xué)生畫出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系，引出直線與圓相切的基本圖形，課堂都是圍繞切線開展，不斷地在圖上添加一些線，生成新的圖形。從包含一條切線組成的圖形引出切線的性質(zhì)和判定定理，到包含兩條切線組成的圖形引出切線長(zhǎng)定理，再到包含三條切線組成的圖形引出三角形的內(nèi)切圓，使得與切線相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系在一起，讓學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化，掌握得更加穩(wěn)固。同時(shí)在問題的探究中，不斷滲透數(shù)形結(jié)合、分類等重要的數(shù)學(xué)思想，在每個(gè)問題后也引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生利用相關(guān)知識(shí)解決綜合問題的能力。