引入橡膠襯套的車(chē)輛七自由度振動(dòng)模型分析

劉 芳，曹嬌嬌，李 廣，檀潤(rùn)華

（1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；2.國(guó)家技術(shù)創(chuàng)新方法與實(shí)施工具工程技術(shù)研究中心，天津 300401；3.中汽研（天津）汽車(chē)工程研究院有限公司，天津 300300）

0 引言

車(chē)輛平順性是車(chē)輛的重要性能之一。關(guān)于車(chē)輛平順性的研究可以分為兩個(gè)方面：評(píng)價(jià)研究和改進(jìn)研究。評(píng)價(jià)研究包括主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)。改進(jìn)研究主要包含振動(dòng)模型的改進(jìn)、振動(dòng)模型響應(yīng)的求解以及零部件研究等。其中整車(chē)振動(dòng)模型的研究是改善車(chē)輛平順性的重要方法。

國(guó)內(nèi)外對(duì)車(chē)輛振動(dòng)模型的研究比較早。楊鑫[1]通過(guò)建立二自由度1/4車(chē)輛懸架振動(dòng)模型，研究了車(chē)輛振動(dòng)特性對(duì)車(chē)輛平順性影響。彭亞琪[2]通過(guò)分析對(duì)比幾種自由度振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，選取七自由度振動(dòng)模型為整車(chē)優(yōu)化模型。Sayers[3]建立的18自由度振動(dòng)模型等具有典型的代表性。已有整車(chē)振動(dòng)研究所建立的振動(dòng)模型大多基于系統(tǒng)級(jí)別，對(duì)于部件間橡膠襯套連接件對(duì)平順性影響的研究卻較少。

橡膠襯套力學(xué)特性包括靜態(tài)力學(xué)特性和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。對(duì)于橡膠襯套的研究，國(guó)內(nèi)陳茜[4]、邱實(shí)[5]等人通過(guò)ABAQUS建立橡膠襯套模型并導(dǎo)入到整車(chē)多體動(dòng)力學(xué)模型中，但是通過(guò)有限元軟件建立橡膠襯套的方法增加了工作量與研發(fā)周期。Dzierzek[6]基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了一種半經(jīng)驗(yàn)參數(shù)模型，但模型沒(méi)有描述扭轉(zhuǎn)方向特性。

綜上所述，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究整車(chē)振動(dòng)模型對(duì)車(chē)輛平順性的影響時(shí)，建立的整車(chē)振動(dòng)模型很少考慮到橡膠襯套力學(xué)特性模型，研究將橡膠襯套力學(xué)特性結(jié)合到整車(chē)模型中更加匱乏，這對(duì)平順性分析有一定的影響。車(chē)輛是一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)，在研究車(chē)輛平順性時(shí)，整車(chē)振動(dòng)模型通常采用七自由度模型。因此，本文通過(guò)構(gòu)建橡膠襯套力學(xué)特性模型，建立引入橡膠襯套靜態(tài)和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型，通過(guò)MATLAB建立其數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行仿真，將經(jīng)典七自由度振動(dòng)數(shù)學(xué)模型與引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型對(duì)平順性評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響進(jìn)行對(duì)比分析，研究橡膠襯套對(duì)于車(chē)輛平順性的影響。

1 橡膠襯套力學(xué)特性模型

通常橡膠襯套與頻率相關(guān)的特性稱(chēng)為粘彈性，與幅值相關(guān)的特性稱(chēng)為彈塑性。目前，對(duì)于橡膠襯套動(dòng)態(tài)特性的研究，學(xué)者均認(rèn)為彈塑性和粘彈性是相互不關(guān)聯(lián)的，可以對(duì)其模型單獨(dú)進(jìn)行分析。因此，本文通過(guò)對(duì)已有橡膠襯套的彈塑性和粘彈性模型進(jìn)行分析，構(gòu)建包含靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的橡膠襯套模型。

1.1 橡膠襯套彈塑性模型

基于橡膠襯套的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性表現(xiàn)的摩擦遲滯特性，學(xué)者們?cè)谘芯肯鹉z襯套動(dòng)態(tài)力學(xué)特性時(shí)，普遍采用摩擦元件來(lái)描述摩擦遲滯，主要摩擦元件模型有：線性摩擦模型[7]、Bouc-Wen模型[8]等。其中線性摩擦模型系數(shù)少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能夠描述橡膠變形時(shí)摩擦力與相對(duì)位移的關(guān)系，但不能夠描述瞬時(shí)摩擦。而B(niǎo)ouc-Wen模型是Wen基于Bouc模型進(jìn)行修改提出的，通過(guò)使用一階微分方程描述非線性光滑遲滯模型，其數(shù)學(xué)模型如式(1)所示。

式中：x（t）為襯套兩端點(diǎn)相對(duì)位移；z（t）為模型遲滯恢復(fù)力；a為系統(tǒng)線剛度；γ、β為系統(tǒng)參數(shù)，影響系統(tǒng)非線性段的剛度與阻尼，β>0、γ<0，系統(tǒng)剛度非常??；β<γ遲滯曲線面積大，即系統(tǒng)耗能增加；γ<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定；n為系統(tǒng)參數(shù)。

Bouc-Wen模型中參數(shù)較多，通常采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。Bouc-Wen模型可以通過(guò)改變參數(shù)來(lái)獲取多種不同形狀的曲線，能夠精確的描述橡膠非線性遲滯的力學(xué)特性，得到了廣泛應(yīng)用。因此，本文選取Bouc-Wen模型來(lái)描述橡膠襯套的幅值相關(guān)特性。

1.2 橡膠襯套粘彈性模型

橡膠襯套的粘彈性是通過(guò)動(dòng)剛度和損耗角進(jìn)行頻率相關(guān)性描述。目前，通常描述橡膠襯套粘彈性的模型有：Kelvin-Voigt模型、三參數(shù)Maxwell模型和Frequency-Dependent模型。三種粘彈性模型的具體內(nèi)容如表1所示。

表1 粘彈性模型圖

通過(guò)橡膠襯套的靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)和動(dòng)態(tài)力學(xué)試驗(yàn)，可得到橡膠襯套的線剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、動(dòng)剛度以及損耗角等參數(shù)。

基于橡膠襯套的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和粘彈性的三參數(shù)Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型和Frequency-Dependent模型，分別對(duì)橡膠襯套的動(dòng)剛度及損耗角進(jìn)行擬合對(duì)比，其結(jié)果如圖1～圖3所示。圖1～圖3中，虛線為試驗(yàn)數(shù)據(jù)；實(shí)線為模型擬合曲線。

通過(guò)圖1～圖3可知，三參數(shù)Maxwell模型動(dòng)剛度曲線擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)在低頻時(shí)擬合較差，對(duì)于損耗角的擬合較差。Kelvin-Voigt模型能夠較好的擬合損耗角試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是對(duì)于動(dòng)剛度擬合較差。Frequency-Dependent模型對(duì)于動(dòng)剛度及損耗角的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合較好，但是在低頻時(shí)的損耗角擬合有所差異。

圖1 三參數(shù)Maxwell模型動(dòng)剛度與損耗角的曲線擬合圖

圖2 Kelvin-Voigt模型動(dòng)剛度與損耗角的曲線擬合圖

圖3 Frequency-Dependent模型動(dòng)剛度與損耗角的曲線擬合圖

上述三種粘彈性模型的擬合結(jié)果表明，F(xiàn)requency-Dependent模型對(duì)于橡膠襯套粘彈性的擬合效果最好。因此，本文選取Frequency-Dependent模型來(lái)描述橡膠襯套的粘彈性。

1.3 橡膠襯套力學(xué)模型構(gòu)建

本文選取非線性彈性元件描述橡膠襯套的超彈性，F(xiàn)requency-Dependent模型描述橡膠襯套粘彈性，Bouc-Wen模型描述橡膠襯套彈塑性，構(gòu)建了包含靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的橡膠襯套模型，如圖4所示。

圖4 包含靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的橡膠襯套模型

模型中描述橡膠襯套粘彈性的Frequency-Dependent模型，其模型的輸入為力，輸出為位移，并且力與位移的關(guān)系為：

對(duì)式(2)進(jìn)行拉氏變換與傅里葉變換得：

由式(3)與式(4)可以推導(dǎo)出Frequency-Dependent模型的動(dòng)剛度與損耗角：

2 整車(chē)七自由度振動(dòng)模型

2.1 經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型

車(chē)輛立體模型中，車(chē)身、車(chē)架及其上總成所構(gòu)成的車(chē)身質(zhì)量為m1，車(chē)輪、車(chē)軸構(gòu)成的車(chē)輪質(zhì)量為m2。在分析車(chē)輛平順性時(shí)，車(chē)輛立體模型的車(chē)身質(zhì)量主要考慮垂直、側(cè)傾及俯仰三個(gè)方向的自由度，車(chē)輪質(zhì)量只考慮垂向的四個(gè)自由度，共七個(gè)自由度。車(chē)身具有繞通過(guò)質(zhì)心x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix、Iy。經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型如圖5所示。模型假設(shè)：

圖5 經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型

1）車(chē)輛行駛狀態(tài)為勻速行駛，靜平衡下的車(chē)輛位移為線性位移；

2）模型忽略輪胎阻尼，用等效剛度代替；

3）車(chē)輛簧載與非簧載質(zhì)量視為剛體，且彈簧、減震器、輪胎位移可以通過(guò)剛度線性表示；

4）路面激勵(lì)為垂向方向，車(chē)輪、減震器等只考慮垂向的運(yùn)動(dòng)、剛度等；

5）車(chē)輛左右對(duì)稱(chēng)。

圖中：q1，q2，q3，q4為分別為路面激勵(lì)；Z1，Z2，Z3，Z4分別為輪心位移；

m1，m2，m3，m4為分別為簧下質(zhì)量；Kt1，Kt2，Kt3，Kt4分別為輪胎剛度；

Kd1，Kd2，Kd3，Kd4分別為懸架剛度；Cd1，Cd2，Cd3，Cd4分別為減震器阻尼系數(shù)；

Zb1，Zb2，Zb3，Zb4分別為簧下與簧上連接處垂直位移；

Z5為車(chē)身垂直位移；θ，φ分別為整車(chē)側(cè)傾角、俯仰角；

mb為簧載質(zhì)量；Ix，Iy側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

a、b分別為前、后軸至整車(chē)質(zhì)心距離；L、d分別為軸距、輪距。

簧下與車(chē)身連接處垂直位移與速度：

通過(guò)對(duì)圖5振動(dòng)模型進(jìn)行受力分析，可得模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和耗能如表2所示，進(jìn)而通過(guò)對(duì)模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和耗能公式進(jìn)行拉格朗日變換可得方程組(5)。

2.2 引入橡膠襯套力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型

基于整車(chē)經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型，將橡膠襯套力學(xué)特性模型導(dǎo)入到整車(chē)振動(dòng)模型中，建立引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)系統(tǒng)模型，其模型圖如圖6所示。模型中假設(shè)橡膠襯套的動(dòng)剛度為Kz1，Kz2，Kz3，Kz4，阻尼為Cz1，Cz2，Cz3，Cz4，且模型左右對(duì)稱(chēng)。

圖6中：Cb1，Cb2，Cb3，Cb4，Cb5，Cb6，Cb8，Cb1分別為橡膠襯套阻尼；Ks1，Ks2，Ks3，Ks4，Kn1，Kn2，Kn3，Kn1分別為橡膠襯套剛度。

表2 模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能、耗能公式表

通過(guò)對(duì)圖6振動(dòng)模型進(jìn)行受力分析，可得到模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和耗能如表3所示，其中U1、U2、U3、U4表示橡膠襯套的勢(shì)能，R1、R2、R3、R4表示橡膠襯套的耗能。

表3 模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能、耗能公式表

圖6 引入橡膠襯套力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型

通過(guò)對(duì)表3中模型系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和耗能公式進(jìn)行拉格朗日變換可得方程組6，將方程組整理成微分方程形式，可推導(dǎo)出X、Q、M、K、C，可以較為精確的描述懸架系統(tǒng)中零部件對(duì)于車(chē)輛平順性的影響。

3 模型仿真驗(yàn)證及試驗(yàn)對(duì)比分析

3.1 車(chē)型參數(shù)

依據(jù)試驗(yàn)車(chē)型SUV，在MATLAB中建立兩種模型的數(shù)學(xué)仿真模型進(jìn)行仿[9]，試驗(yàn)車(chē)型參數(shù)如表4所示。其中前后懸架分別采用麥弗遜式獨(dú)立懸架和多連桿式獨(dú)立懸架；車(chē)身剛度采用橡膠襯套進(jìn)行模擬，橡膠襯套位置位于車(chē)身彎曲變形最大處；輪胎采用F-tire模型，輪胎規(guī)格235/55R18。

表4 SUV車(chē)型整車(chē)參數(shù)

表4 （續(xù)）

3.2 模型仿真驗(yàn)證

車(chē)輛行駛時(shí)的車(chē)身垂向加速度、車(chē)輪處垂向加速度和懸架彈簧動(dòng)撓度是車(chē)輛平順性評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)。在MATLAB中建立的引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型，只考慮了前懸架下擺臂后襯套的模型。并且本文采用整車(chē)七自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型進(jìn)行分析，選用車(chē)身與車(chē)輪雙質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)模型分析其平順性指標(biāo)。

穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)z由激勵(lì)q以及頻率傳遞特性確定，其頻率響應(yīng)函數(shù)為H（jω）z～q：

將復(fù)振幅代入振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程組，得到七自由度振動(dòng)模型的頻率響應(yīng)函數(shù)，通過(guò)響應(yīng)函數(shù)推導(dǎo)得：懸架動(dòng)撓度f(wàn)d與q的頻率響應(yīng)函數(shù)以及車(chē)身加速度z5與q的頻率響應(yīng)函數(shù)：

通過(guò)平順性系統(tǒng)框架的輸入與振動(dòng)分析，在MATLAB中建立經(jīng)典七自由度數(shù)學(xué)模型與引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)數(shù)學(xué)模型，對(duì)車(chē)身處加速度功率譜密度、車(chē)輪處加速度功率譜密度、懸架動(dòng)撓度進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比分析，其結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 車(chē)身垂直加速度功率譜密度曲線

圖8 前懸架車(chē)輪垂直加速度功率譜密度曲線

由圖7～圖9可得，經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型所得到的車(chē)身固有頻率為1.3Hz，車(chē)輪處的固有頻率為12.2Hz，引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)特性的整車(chē)振動(dòng)模型所得到的車(chē)身固有頻率為1.4Hz，車(chē)輪處的固有頻率為12.29Hz[10]。

圖9 前懸架動(dòng)撓度幅頻特性曲線

為了滿足車(chē)輛具有良好的平順性，在底盤(pán)設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)時(shí)，要求車(chē)身處的固有頻率范圍為1Hz～2Hz，車(chē)輪處的固有頻率范圍在10Hz～15Hz之間，并且盡可能較低，兩模型數(shù)據(jù)均符合設(shè)計(jì)規(guī)范，驗(yàn)證了建立的引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性。

3.3 試驗(yàn)對(duì)比分析

針對(duì)SUV試驗(yàn)車(chē)型，本文進(jìn)行了車(chē)輛平順性試驗(yàn)，其試驗(yàn)道路平直，縱坡小于1%。試驗(yàn)采用GB/T 4970-2009《汽車(chē)平順性試驗(yàn)方法》中的標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)對(duì)試驗(yàn)車(chē)型SUV進(jìn)行平順性試驗(yàn)和計(jì)算，可得試驗(yàn)車(chē)型SUV的前懸架偏頻結(jié)果，如圖10、圖11所示。由圖10和圖11計(jì)算可得車(chē)身和車(chē)輪固有頻率，與3.2節(jié)中仿真結(jié)果如表5所示。

圖10 試驗(yàn)車(chē)型車(chē)身垂直加速度功率譜密度曲線

圖11 試驗(yàn)車(chē)型前懸架車(chē)輪垂直加速度功率譜密度曲線

由表5分析可得，基于整車(chē)經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型，在整車(chē)中加入前懸架下擺臂后襯套，得到的引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型的偏頻值有一定的增大，更加符合試驗(yàn)值，結(jié)果表明，建立的引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型能夠更精確的描述車(chē)輛的振動(dòng)傳遞特性。

表5 車(chē)身及車(chē)輪處固有頻率對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

1）本文分析了橡膠襯套粘彈性與彈塑性的模型，并且通過(guò)推導(dǎo)模型動(dòng)剛度與損耗角來(lái)描述橡膠襯套力學(xué)特性，構(gòu)建了包含靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的橡膠襯套模型。

2）基于整車(chē)經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型，構(gòu)建了引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型，通過(guò)MATLAB建立其數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性。

3）對(duì)整車(chē)經(jīng)典七自由度振動(dòng)模型與構(gòu)建的引入橡膠襯套靜態(tài)力學(xué)特性和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型進(jìn)行平順性評(píng)價(jià)指標(biāo)分析，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，確定了引入橡膠襯套靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性模型的整車(chē)振動(dòng)模型能夠更精確的描述車(chē)輛的振動(dòng)傳遞特性。