圓盤式行波壓電馬達的接觸界面動力學分析及傳動效率優(yōu)化

石明友， 陳 超， 王均山

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

圓盤式壓電馬達是20世紀末發(fā)展起來的一種新概念動力裝置[1]。與傳統(tǒng)的電磁式電機相比，壓電馬達具備結構形式小巧、無需附加減速機構就可達到低速大扭矩的性能、斷電自鎖和控制精度高等明顯的優(yōu)點，這些優(yōu)點展示了其無比廣闊美好的應用前景，因此壓電馬達已成為當今機電產品研發(fā)領域的熱點之一[2-5]。近年來壓電馬達在航天、軍工和民品上都展現(xiàn)了較為廣泛的應用前景[6-10]。

圓盤式壓電馬達利用接觸界面來完成其第二步運動轉換和動力傳遞，據此將定子的振動運動轉換成轉子的旋轉運動，同時輸出一定的力矩以帶動負載。這種基于接觸、摩擦的動力傳遞機制，使得壓電馬達產品結構緊湊、具有斷電自鎖能力。定、轉子之間的接觸、摩擦傳動決定著電機最后的輸出特性，對其進行準確描述是很重要的。目前文獻的模型大都簡化了接觸界面，主要分析了定子與轉子之間的周向相對運動，認為該 是推動轉子旋轉和輸出力矩的主要因素[11-12]。文獻[13]指出定子表面質點若存在徑向運動會使得壓電馬達在摩擦界面上的徑向相對運動引起的能量損耗不可忽略，這使得如何減少徑向滑動損耗、提高輸出效率成為了有待解決的問題。

本文針對具有代表性的盤式行波壓電馬達接觸界面作了較系統(tǒng)的研究?；诒“謇碚摻A盤式壓電復合定子的運動學方程，推導了定子表面質點的運動軌跡和運動分量數學表達；建立了圓盤定子與轉子的接觸模型，指出摩擦界面損耗主要來自于定、轉子之間的徑向和軸向相對滑動；通過數值仿真分析了圓盤式行波壓電馬達界面摩擦損耗的影響因素，提出了減少徑向相對滑動損耗的思路。最后加工了樣機，驗證了摩擦界面上徑向滑動造成的損耗與定子的外徑、工作模態(tài)有關，為整個電機的性能優(yōu)化設計提供了基礎。

1 考慮齒槽影響的界面動力傳動模型分析

圓盤式壓電馬達的結構如圖1所示，主要包括定子、轉子、壓電陶瓷，定子和轉子同構預壓力配合在一起。給壓電陶瓷輸入特定激勵信號，定子處于高頻、微幅(通常為微米級)的共振狀態(tài)，依靠定子對轉子的摩擦傳動實現(xiàn)轉子的連續(xù)旋轉。

圖1 圓盤式壓電馬達的結構Fig.1 Configuration of piezoelectric motor with disk stator

圓盤式定子產生面外彎曲振動時頂端質點將產生空間三維的運動軌跡。如果不考慮齒槽，基于薄板理論的位移場假設，定子在特定激勵下產生行波后頂端質點的運動軌跡在柱坐標系中可表達為[14]

(1a)

(1b)

wz=AsFs(r)cos(ωmt-mθ)

(1c)

式中:us,vs和ws分別為沿徑向、周向和縱向的位移分量;As為振動幅值;Fs(r)為與徑向標有關的形函數。式(1)表明定子產生行波后，其驅動界面各點的空間運動軌跡為斜橢圓。從圖2可以看到，定子驅動表面點的空間橢圓軌跡示意。其中，質點空間斜橢圓軌跡在r-θ和θ-z坐標面內投影均為橢圓，分別可以由式(1a)和式(1b)、式(1b)和式(1c)合成為橢圓方程；此外，為r-z三個坐標面的投影。其中，切向位移vs和縱向位移ws合成的橢圓運動軌跡直接驅動轉子，切向分量使得定子在接觸部分的質點產生相對轉子的切向滑動(趨勢)，對轉子產生驅動力，從而實現(xiàn)了將定子的微幅振動轉換為了轉子的宏觀上的運動并輸出力矩。

圖2 圓盤定子頂端點的空間斜橢圓軌跡Fig.2 Oblique ellipse motion of stator surface point

定子和轉子的接觸驅動原理可以用圖3表達。由于定子表面驅動點具有沿柱坐標系三個方向的分量，因此定子和轉子在接觸界面上的作用力也沿三個方向有分量：除了沿z向的法向正壓力以外，定、轉子之間的摩擦力與圓周切向有個夾角α。

圖3 觸界面上的分布式法向力和切向摩擦力Fig.3 Distributed normal and tangential pressure at the contact interface

定子在接觸界面上除了沿z向壓縮摩擦層變形以外，在徑向r和周向θ都有相對轉子運動的趨勢。因此，定子受到的接觸界面上的作用力應該為三維的空間向量，除了壓縮摩擦層產生的縱向分量fn以外，在r-θ坐標面內的切向摩擦力分量fτ并不是簡單的沿周向的，而是和周向有一個夾角α。其中，定子與轉子沿周向的摩擦是驅動馬達旋轉動力，而定子在徑向上與轉子的相對滑動做的功則完全損耗掉了。轉子所受的分布式縱向接觸力和切向摩擦力分量大小可寫成

fn=kng

(2a)

fτ=μfn

(2b)

式中：kn為接觸界面的等效分布式彈簧剛度系數；g為接觸變形量；μ為定、轉子接觸界面的摩擦因數。因此，切向摩擦力沿圓周向和徑向的分量可以寫成

fτθ=fτcosα

(3a)

fτr=fτsinα

(3b)

式中：α為切向摩擦力圓周向的夾角，可由定、轉子在接觸點P的相對速度決定。摩擦角描述了定、轉子在該點處沿徑向的相對滑動趨勢。若α角較大，則切向摩擦力在該點處沿周向的投影就小，能夠給予轉子的驅動力矩也小了；同時徑向的分量卻比較大，將使得定、轉子在徑向上的磨損變大。

參考Hagood等的研究可以得到接觸界面力的表達和旋轉型壓電馬達的動力學模型，對其輸出特性進行仿真分析。顯然，界面上的滑動造成的摩擦損失功率包括徑向滑動損耗Pdr和周向滑動損耗Pdθ

(4)

定子徑向分量會造成界面上的能量消耗，對于電機的輸出特性是無益，造成了界面上傳動效率的降低；周向分量與軸向分量是構成壓電馬達動力輸出的必要條件。一般來說，希望定子在接觸界面處的徑向分量盡量的小，因此有必要分析一下徑向分量及其相對周向分量比例的影響因素。因此，減少徑向滑動損耗在整個界面能量耗散中的比例是很有意義的。我們可定義界面動力傳遞效率為

(5)

式中，Po為馬達輸出的機械能

(6)

如果定子是一個規(guī)則圓盤(見圖2)，其頂端的速度分量可以用式(1)的導數表達，徑向、切向和縱向分量具有一定的比例關系。若在圓盤頂端設計齒槽結構則情況有所不同，頂部齒形部分剛度發(fā)生變化，使得齒端面的位移軌跡不再由式(1)描述，如圖4所示。

圖4 定子齒的位移分量Fig.4 Displacement component of stator teeth

如果不考慮圖4中圓盤定子的齒槽，則P點沿切向和徑向分仍可由式(1)表達，形式如圖4虛線。其中，實線為考慮齒槽后，圓盤總體高度相同時的運動輪廓?？梢钥吹?，在相同激勵條件下，有齒槽后的定子表面點運動分量都發(fā)生變化。此時，定子齒可看做為圓板基礎上的附屬結構，具有自身的慣性和剛度，因此會產生圖4的運動效果——徑向位移分量似乎“滯后”。這樣一來，相對沒有齒槽的情況，定子齒徑向位移的分量相對切向分量會降低，這對于提高界面的傳動效率是有利的。

對于圖4中定子齒結構，為了方便分析界面動力傳遞和優(yōu)化設計，采用了動態(tài)子結構結合有限元的方法描述其動力學行為。設定子頂端共有N個齒，任意齒n都可被離散為數個8節(jié)點6面體等參單元來以較為準確描述變形。因此，用于劃分齒n的每個齒元質量、剛度矩陣分別

(7a)

(7b)

式中:上標n-m為圖3中第n個齒的第m個單元；Bt為應變矩陣;ct為齒的剛度矩陣;J為Jacobin矩陣;Nt為參單元的形函數矩陣。其中，可以根據齒形描述的準確要求劃分單元個數m(m=1,2,3,…)。

將齒n的所有單元矩陣組裝可形成該齒的整體質量和剛度陣，設為Kn,Mn。結合Guyan縮聚與動態(tài)子結構方法，每個齒的質量和剛度矩陣都可以疊加到定子的基體上得到考慮齒槽的壓電圓盤力電耦合動力學方程

(8)

式中,M,K分別為定子圓盤基體的質量和剛度矩陣,可求解得到考慮了齒槽的定子振動響應?？紤]齒槽后，定子頂端各驅動點的位移已經不能用式(1)表達，這是因為齒形結構也具有了自己的剛度和慣性，會發(fā)生如圖3的附屬變形。根據Guyan縮聚的思想，齒的位移場可以由式(8)中模態(tài)坐標響應表達為

un=Γnx

(9)

式中：un為齒n的位移場;x為式(8)表述的定子模態(tài)響應;Γn為基于縮聚思想后它們之間的關系矩陣;上標n為對應第n個齒。通過設計合理的齒形結構，使得定子振動的時候，齒頂端的位移各分量不再是如式(1)那樣的比例，有可能使得徑向分量相對變小，即使得圖2中的空間斜橢圓的不那么傾斜，則圖3中的摩擦角也會變小——徑向分量減小、周向分量變大。

值得說明的是，通過齒槽和齒形的設計，也改變了定子的振動特性，單獨比較徑向分量的增減并不全面?？紤]界面動力傳遞效率的式(3)，徑向分量相對其他兩個分量的比例更有意義，因此選擇以界面上的動力傳遞效率來進行設計和分析。

2 定子齒形設計及界面?zhèn)鬟f特性仿真分析

以某52 mm直徑的壓電馬達為例，考慮到現(xiàn)有陶瓷元件、夾持和安裝要求，選用了9個波長工作模態(tài)、齒數為72，主要分析齒形的影響，因此選定圖5設計參數來優(yōu)化定子與轉子之間的動力傳遞效率，其他參數都按圖示。

圖5 參數化齒形以優(yōu)化界面?zhèn)鲃有?mm)Fig.5 Transmission efficiency optimization by the design of stator teeth(mm)

在圖5中:δ1為齒沿徑向的等腰梯形剖面傾角;δ2為齒沿周向的等腰梯形剖面傾角，hw,ht和hr分別為齒槽寬度、齒高以及齒的徑向寬度。值得說明的是，齒形也可以補設計成等腰梯形剖面，即各個傾角都不等，本文側重敘述思想而進行了簡化。

鑒于主要探討規(guī)律并考慮加工條件，在參數化分析過程中對設計參數各自按一定增量取值，同時考慮可行的組合。則設計參數空間及約束如下。其中角度和長度單位分別為(°)、mm。

δ1=[90，89，88，...,45]

(10a)

δ2=[90,89,87,...,45]

(10b)

(10c)

ht=[0.1,0.2,0.3,...，3]

(10d)

hr=[0.1,0.2,0.3,...,7]

(10e)

(11a)

(hr-2htctgδ2)>0

(11b)

其中，約束條件的物理意義在于在參數組合中，圖5中齒的頂部尺寸面積不能為負；齒槽寬度hw為圓周長除以72(齒)等分后的可能值。

選定設計的目標函數為接觸界面動力傳遞效率的倒數

(12)

可以通過壓電馬達的動力學方程，即包括定子機電耦合動力學方程、定/轉子的接觸模型以及轉子的動力學方程[15]，得到選取特定結構參數時的上述目標函數值。圖6是基于馬達動力學模型式(8)的數值迭代優(yōu)化過程的示意圖。

圖6 參數優(yōu)化的程序流程圖Fig.6 Program flow chart of parameter optimization

該直徑50 mm的馬達額定工作轉速在80 r/min，以此額定轉速來計算界面損耗和輸出功率，參見式(4)～式(6)。根據上述的設計變量和約束條件，將各種可能的參數組合帶入壓電馬達動力學方程組，執(zhí)行一系列的分析，就可以計算、對比和確定式(8)在特定轉速下取得最小值的那組參數，如表1所示。為方便比較，表1中列出了用于對比的幾組其他結構參數組合。

表1 傳動效率最優(yōu)的參數組1及對比Tab.1 Comparison of the optimal and other parameters

選定上述最有設計的參數組合，進行界面的動力傳遞效率仿真，如圖7所示。

圖7 采用不同參數組的界面?zhèn)鲃有时容^Fig.7 Transmission efficiency with different parametersof the stator

圖7中，分析了多組參數下壓電馬達在額定轉速及附近狀態(tài)點的情況?？梢钥吹?，選定表1中最優(yōu)組合參數后，馬達在額定工作狀態(tài)附近的動力傳遞效率最高，在整個工作區(qū)間也能獲得較好效率。

圖8 為幾組相同的參數組合下的馬達輸出特性仿真曲線情況。

圖8 壓電馬達速度-力矩特性仿真Fig.8 Simulation of speed-torque characteristics of piezoelectric motor

可以看到，表1給出的參數組合是按界面最優(yōu)傳動效率來選擇的，的確可以在額定狀態(tài)甚至整個區(qū)間獲得較好的動力傳遞效率，原因在于選擇了合理的定子齒形參數：較大的齒倒角，使得齒更像一個附屬的機構隨著基座搖擺，減少了徑向的運動分量比例(見圖4)。將表1中的4組設計參數構成的定子進行動力學分析和仿真(在各自的9波長面外模態(tài)頻率下施加峰峰值200 V的激勵電壓)，可以得到其表面質點空間橢圓軌跡如圖9所示?？梢钥吹?，盡管組1參數構成的定子的響應幅值不一定最大，但其空間橢圓軌跡的斜度是最小的——這說明定子沿徑向的位移分量相對較小，因此可獲得較高的輸出效率。參數組4對應的定子在相同激勵條件下的響應幅值較大，但徑向分量也大，盡管獲得了較高的輸出轉速，但其整體的輸出效率偏低，沒有能夠獲得較大的輸出力矩，參見圖7和圖8。

圖9 不同參數下定子驅動點的運動軌跡Fig.9 Displacement trajectory of the stator surface point with different parameters

表1的表明：最優(yōu)組參數1可使得馬達獲得較大的輸出力矩；參數組4具有更深的齒槽，在相同激勵條件下定子齒端獲得更大的運動分量，獲得了更大的空載轉速，但是其中徑向分量和損耗比例同時加大，整個馬達的輸出效率卻不一定最優(yōu)。

3 樣機試制及實驗分析

為驗證和對比，根據表1設計選定的最優(yōu)參數組合以及另兩組參數加工了52 mm外徑的中空型壓電馬達樣機，如圖10所示。

圖10 中空型馬達樣機Fig.10 Prototype of hollow piezoelectric motor

采用PSV-300F-B激光多普勒測振儀，分別對上述定子進行模態(tài)測試：驅動齒面作為測量面，進行掃頻，然后對各自的B09模態(tài)進行定頻掃描。由于齒形參數不同，三個定子的B09模態(tài)頻率有所不同，其模態(tài)頻率和定頻響應幅值表2所示，其中定頻掃描施加的激勵信號為峰峰值100 V的交變電壓。

表2 樣機的模態(tài)實驗結果Tab.2 Modal test of the prototype

將上述定子裝配形成壓電馬達(見圖11)，利用M2020機械特性測試平臺(見圖12)對其負載特性進行測試，三組參數的馬達實測輸出特性如圖13所示，在輸出效率如圖14所示，其中離散點是施加離散負載力矩時實測的輸出轉速和效率。值得說明的是，圖14中的效率為直接測量馬達的輸出機械功率和輸入電能功率，通過兩者之比得到馬達在不同負載時的效率——包含了定子、轉子的振動損耗以及結構其他損耗，因此比圖7中的定、轉子傳動效率要低。

可以看到，采用最佳參數試制的馬達能夠在額定工作狀態(tài)時取得最好的輸出效率。值得注意的是，參數組2對應的馬達雖然其力矩-轉速特性比參數組4的稍微遜色一點，但是由于參數組2定子的徑向運動分量較小(見圖9)，因此反而能夠獲得較大的輸出效率。上述實測結果與設計和仿真的趨勢一致，說明定子齒槽的確可以通過改變定子齒運動軌跡，達到改善馬達輸出效率的效果。

圖11 圓盤式壓電馬達樣機Fig.11 Prototype of disk piezoelectric motor

圖12 機械特性測試系統(tǒng)Fig.12 Measurement system of mechanical characteristics

圖13 實測壓電馬達轉速-力矩特性Fig.13 Measured speed-torque curve of piezoelectric motor

圖14 圓盤式壓電馬達輸出效率Fig.14 Efficiency-torque curves of TRUM

4 結 論

基于圓盤式壓電馬達定子振動響應的運動學分析，指出定子的空間運動軌跡為三維斜橢圓，在以定子對稱軸為縱軸的柱坐標系中，具有沿徑向、圓周向和軸向的運動分量。其中，定子驅動表面的徑向運動會導致壓電馬達在摩擦界面上的純粹的能量損耗，這使得如何減少徑向滑動損耗、提高輸出效率成為了有待解決的問題。提出齒形結構使得定子振動響應的位移分量變得可調節(jié)，可以改變定子徑向運動分量的比值、即改變表明質點斜橢圓的傾斜度，使得定子和轉子之間的傳動效率得到提高。通過數值仿真分析了圓盤式行波壓電馬達界面摩擦損耗的影響因素，提成一種通過對齒形的參數化設計來減少徑向相對滑動損耗的思路。最后加工了特定幾組參數的中空型樣機，驗證了優(yōu)化的齒形結構可以通過減少界面上的徑向滑動損耗以提高馬達的效率。