具有年齡結構和水平傳播的媒介傳染病模型研究

梁霜霜, 聶麟飛, 胡 琳

（新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 烏魯木齊 830046）

0 引 言

利用數(shù)學模型來研究傳染病的傳播規(guī)律已有一百多年的歷史, 并取得了一系列重要的研究成果.然而, 考慮到疾病的傳播與病毒攜帶者被感染的時間長短密切相關, 研究具有感染年齡的傳染病模型就顯得十分重要. 例如, Magal等[1]提出了一類具有感染年齡的SIR傳染病模型, 通過構造Lyapunov函數(shù)證明了該模型的無病平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性與全局穩(wěn)定性, 其方法被國內(nèi)外學者廣泛采用[2-4]. 此外, 考慮到媒介傳染病(即是由細菌、病毒、病原微生物等引起, 通過某生物媒介在宿主間傳播的疾病)在各類傳染病中占有很大的比重, 以及宿主的潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)化率和感染宿主的恢復率都與被感染的時間長短密切相關, Dang等[5]提出了具有潛伏年齡和感染年齡的媒介-宿主傳染病模型, 得到了疾病流行或消除的閾值條件.

眾所周知, 病原微生物永遠不會像動物或者植物那樣出現(xiàn)某個物種的滅絕, 它會為了生存而不斷變異, 不僅會隨著環(huán)境的改變而出現(xiàn)新的宿主, 還可以在復制過程中產(chǎn)生基因重配, 致使結構發(fā)生改變而跨越宿主之間的界限, 獲得在宿主之間或多種宿主之間傳播的能力. 基于此, Lashari等[6]提出了一類病毒在宿主之間具有水平傳播的媒介-宿主傳染病模型, 討論了該模型無病平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性與全局漸近穩(wěn)定性, 以及后向分岔的存在性問題. 進一步, Wang等[7]提出了一類宿主之間具有水平傳播和感染年齡的媒介-宿主傳染病模型, 得到了無感染平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性和感染平衡態(tài)的存在性與全局吸引性, 討論了宿主之間的水平傳播對媒介傳染病流行或消除的影響.

基于上述討論, 考慮到病毒在宿主體內(nèi)的潛伏期長短與被感染時間的關系以及病毒變異的影響,本文將建立一類具有潛伏年齡和水平傳播的媒介-宿主傳染病模型, 并討論該模型無病平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性與全局穩(wěn)定性.

1 模型的建立和介紹

將某個地區(qū)的人群(宿主種群)分為4類: 易感者類、潛伏者類、感染者類和恢復者類, 其在t時刻的規(guī)模分別用Sh(t) 、Eh(t,a) 、Ih(t) 和Rh(t) 表示, 這里a表示感染年齡. 而媒介種群分為3類, 即易感、潛伏和感染的個體, 其規(guī)模分別表示為Sv(t) 、Ev(t) 和Iv(t) . 由于媒介的生命周期較短, 故而假設被感染的媒介不會從感染中恢復, 并且會攜帶病原體直至死亡. 基于病毒在宿主和媒介之間以及在宿主之間的傳播規(guī)律, 提出一類具有潛伏年齡和水平傳播的媒介傳染病模型, 該模型由如下微分方程組

和

構 成. 這里, Λh和 Λv分 別 是 宿主 和 媒介 的 補充 率;βhh表 示疾 病 在宿 主 之間 水 平傳 播 的 速 率;βvh是疾病從感染媒介到易感宿主的傳播系數(shù);μh和μv分別表示宿主和媒介的自然死亡率; 潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)化率依賴于感染年齡, 標記為m(a) ;αh是宿主與疾病相關的死亡率, 而rh是宿主的恢復率. 此外,βhv是疾病從受感染宿主到易感媒介的傳播系數(shù), 潛伏媒介到感染媒介的轉(zhuǎn)化率用αv表示. 所有的參數(shù) Λh、 Λv、βhh、βvh、βhv以及αh、αv、rh、μh、μv均為 正常 數(shù).

2 平衡態(tài)的存在性及其局部穩(wěn)定性

注意到R0＜1 時,H(0)=a2＜0 且

因此, 當R0＜1 時,H(x)=0 沒有正根, 即模型不存在感染平衡態(tài). 而當R0＞1 時, 則有H(0)=a2＞0 .此時H(x)=0 存在唯一的正根, 即R0＞1 時模型存在唯一的感染平衡態(tài).

綜合上述討論, 關于模型(1)平衡態(tài)的存在性, 我們得出下面的結論.

整理方程組(6)可得

3 無病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性

定理 3.1 當R0＜1 時, 模型(1)的無病平衡態(tài)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

4 模型的一致持久性

考慮如下輔助系統(tǒng)

5 地方病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性