偶數(shù)維帶邊流形上的一類Kastler-Kalau-Walze類型定理

包開花, 孫愛慧, 夏令遠(yuǎn)

（1. 內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 內(nèi)蒙古 通遼 028000; 2. 吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000;3. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長春 130024）

0 引 言

非交換幾何框架下的非交換留數(shù)是定義在閉流形經(jīng)典擬微分算子代數(shù)上的跡, 但它不是通常算子跡意義下的延拓. 低維流形上的非交換留數(shù)是由Adler[1]發(fā)現(xiàn)的, 而高維流形的非交換留數(shù)是由Wodzicki[2]和Guillemin[3]同時(shí)發(fā)現(xiàn)的. Connes[4]敏銳地發(fā)現(xiàn)Dirac算子逆平方的非交換留數(shù)與Einstein-Hilbert作用成比例, 現(xiàn)稱此結(jié)論為Kastler-Kalau-Walze定理(以下簡稱KKW定理). Kastler[5],Kalau等[6]分別獨(dú)立地證明了此定理. 這開創(chuàng)了非交換幾何框架下的非交換留數(shù)在重力作用方面的理論和應(yīng)用, 為重力作用給出了一種算子理論解釋, 賦予了KKW定理非平凡的研究意義.

Wodzicki的結(jié)論是: 當(dāng)?shù)琢餍螢榉蔷o致或帶邊流形時(shí), 經(jīng)典擬微分算子代數(shù)上不存在跡形式. 在帶邊流形的情況下, 需要考慮不同的代數(shù)結(jié)構(gòu). Fedosov等[7]將經(jīng)典的非交換留數(shù)在Boutet de Monvel代數(shù)上進(jìn)行推廣, 得到帶邊流形上的非交換留數(shù). Wang[8]將Connes的框架推廣到帶邊流形情形, 得到了帶邊流形的共形不變量. 進(jìn)一步, Wang[8-10]結(jié)合Ponge[11]的工作, 用帶邊流形上的非交換留數(shù)定義了與無撓Dirac算子相關(guān)的帶邊流形上的低維體積, 并得到了這種情況下的KKW類型定理, 對帶邊流形上的重力作用給出一種算子理論解釋. 對于帶撓率的Dirac算子不能直接利用Fedosov,Ponge等給出的方法得到緊致帶邊流形的低維體積. Ackermann等[12]在偶數(shù)維Spin流形上證明了帶撓率的Dirac算子的Lichnerowicz公式. 近期, Pf?ffle等[13]在配有保度量聯(lián)絡(luò)的緊致黎曼流形上考慮了帶撓率Dirac算子的特征. 進(jìn)一步, Pf?ffle等[14]考慮了在緊致黎曼流形上帶撓率的保度量聯(lián)絡(luò)的變化情況, 并結(jié)合誘導(dǎo)的Dirac算子、形變Dirac算子以及Chamseddine-Connes類型Dirac算子表示出了其譜作用. 在文獻(xiàn)[15-16]中, 筆者將文獻(xiàn)[8,13]中的結(jié)論進(jìn)一步推廣, 對緊致帶邊Spin流形給出了帶撓率的Dirac算子相關(guān)的低維體積表示, 得到相應(yīng)的KKW類型定理, 并導(dǎo)出了低維緊致帶邊Spin流形上的重力作用.

1 帶邊流形上關(guān)于帶撓率的Dirac算子的低維體積

設(shè) (M,gM) 是n=2n+2 維定向帶邊黎曼流形, 邊界為?M且配備有固定的Spin結(jié)構(gòu). 設(shè)M上的度量gM有下面的形式:

2 偶數(shù)維帶邊流形上的一類Kastler-Kalau-Walze類型定理

本章將構(gòu)建一類KKW類型定理. 首先計(jì)算帶撓率的Dirac算子的與本文相關(guān)的一些符號. 帶撓率的Dirac算子的定義、符號及相關(guān)的詳細(xì)內(nèi)容請參看文獻(xiàn)[15]中的第二節(jié), 本章不再詳細(xì)介紹相關(guān)的幾何環(huán)境. 設(shè) (M,gM) 是n=2n+2 維定向帶邊黎曼流形, 邊界為?M且配備有固定的Spin結(jié)構(gòu). 那么由文獻(xiàn)[15]得出, 帶撓率的Dirac算子DT定義為

其中

由文獻(xiàn)[15]的結(jié)論可得如下引理.

其中

由文獻(xiàn)[17]的引理3.1, 通過計(jì)算可得

由擬微分算子的復(fù)合公式可得

則可得以下引理.

由引理2.1和引理2.3可得

由引理2.1和引理2.3可得

由引理2.2和引理2.3可得

由引理2.1及引理2.3—2.4可得

其中 Φ 由式 ( 2) 給出.

由定理2.5可得以下推論.