在約束條件下集值全局真有效點(diǎn)集的連通性

劉富榮， 陳劍塵， 汪 洋

（南昌航空大學(xué)，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063）

引言

在集值優(yōu)化問題中,全局真有效解的連通性是十分值得我們?nèi)ド罹康膯栴}之一。對于全局真有效點(diǎn)集的標(biāo)量化問題Gong在文獻(xiàn)[1]己經(jīng)進(jìn)行了研究，并得到了一些重要的結(jié)論。隨后，王秀玲在文獻(xiàn)[2]對全局真有效解的概念作了詳細(xì)的闡述，并將可行域設(shè)定在緊凸集的情況下，對全局真有效解集的連通性進(jìn)行了深入研究。緊接著,高潔在文獻(xiàn)[3]中將目標(biāo)映射設(shè)為弱上半連續(xù)的,可行域設(shè)成弧連通緊的，證明了全局真有效點(diǎn)集的連通性和全局有效解集的連通性。本文首先給出了全局真有效性的相關(guān)概念和h?有效點(diǎn)的相關(guān)定義，并在可行域?yàn)橐话惴强站o子集，約束映射為上半連續(xù)且目標(biāo)映射為錐類凸的情況下，在相對較弱的條件下得到了全局真有效點(diǎn)集連通性的定理，這就使目前全局真有效點(diǎn)集連通性的相關(guān)結(jié)論得到進(jìn)一步推廣。

1 預(yù)備知識

除特別說明外，本文始終假設(shè)X是拓?fù)淇臻g，Y和Z是Hausdoff局部凸拓?fù)渚€性空間。Y的拓?fù)鋵ε伎臻g用Y?表示，M?Y為非空子集，用cl(M)表示M的閉包,conv(M)表示包含M的最小的凸集，集合M的生成錐記為:

C是Y中的閉凸點(diǎn)錐，且intC≠?。C的正對偶錐C?和嚴(yán)格正對偶錐C#分別定義為:

B?C是非空凸子集，B稱為錐C的基，假如C=cone(B)且0?cl(B)。

定義1.1[1]設(shè)D?Y是非空子集合，C是Y中的閉凸點(diǎn)錐：

1)x?∈D稱為D關(guān)于C的有效點(diǎn)，記x?∈E(D,C)，若(D?x?)∩(?C)?C。若C為點(diǎn)錐，則x?∈D為有效點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(x??D)∩C={0}，當(dāng)且僅當(dāng)(x??D)∩D={x?}。

2)稱y0∈D為D的全局真有效點(diǎn)，記作y0∈ZE(D,C)，假設(shè)存在Y中的閉凸點(diǎn)錐G，C{0}?intG，使得

由定義，可知，全局真有效點(diǎn)必然為有效點(diǎn)，即

(3)假設(shè)h∈C?{0}，稱y0∈D為D的h?有效點(diǎn)，若：

此時(shí)，記作y0∈h?E(D,C)，記D的h?有效點(diǎn)的全體為h?E(D,C)。

定義1.2[4]設(shè)A?X為非空子集。集值映射F:A→2Y稱作C?類凸的，若F(x)的凸包包含在F(A)+C中，即

定義1.3[1]假設(shè)D?Y是非空子集合，C是Y中的閉凸點(diǎn)錐，假設(shè)D+C為凸集，則稱D為C?凸集。

引理1.1[1]假設(shè)Y是局部凸的空間，C是Y中的點(diǎn)凸錐，且有基B，D?Y且D≠?是C?凸集，則有

假設(shè)A為X的非空子集，F(xiàn):A→2Y為集值映射且?x∈A,F(x)≠?.設(shè)X為Hausdoff局部凸空間，我們研究下面的向量優(yōu)化問題(SVOP)：

定義1.4[4]假設(shè)x0∈A,y0∈F(x0)，C為Y中的點(diǎn)凸錐，x0稱作(SVOP)的全局真有效解，假設(shè)存在Y中的點(diǎn)凸錐H，C{0}?intH，使得

集值優(yōu)化問題，關(guān)于錐C全局真有效解構(gòu)成的集合記作ZE(A,C,F)。

2 全局真有效點(diǎn)集的連通性

設(shè)C?Y,T?Z分別是Hausdoff局部凸拓?fù)淇臻gX與Y中的非空閉凸點(diǎn)錐。A?X為非空子集合，F(xiàn):A→2Y，G:A→2Z為集值映射，且?x∈A，F(xiàn)(x)≠?,G(x)≠?。

我們定義非空約束子集如下:

引理2.1[5]集值映射F:S→2Y是C?類凸集值映射當(dāng)且僅當(dāng)F(S)+C為凸集。

引理2.2[6]設(shè)A是X中的非空子集合，T?Z為閉凸點(diǎn)錐。集值映射G:A→2Z是上半連續(xù)的，則非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}是閉集。

引理2.3[7]設(shè)X是局部凸拓?fù)淇臻g，則A?X為有界集當(dāng)且僅當(dāng)A關(guān)于X中的弱拓?fù)錇橛薪缂?/p>

定義2.1[7]設(shè)X,Y為兩個(gè)拓?fù)淇臻g，集值映射F:X→2Y稱在x0∈X處是上半連續(xù)的,假如對F(x0)的任意的鄰域V?Y，存在x0的鄰域U，使得F(U)?V。稱F在X上是上半連續(xù)的，若F在X上任一點(diǎn)處是上半連續(xù)的。

引理2.4[8]若A是X中的非空子集合，F(xiàn):X→2Y為集值映射，若下面3個(gè)條件同時(shí)成立：

①對?x∈A，F(xiàn)(x)為非空連通集；

②X的非空子集A為 連通集；

③集值映射F:X→2Y是上半連續(xù)的,

則F(A)為連通集。

引理2.5[9]設(shè)X和Y為2個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X為緊集，若集值映射F:X→2Y為上半連續(xù)的，且?x∈X,F(x)為緊的，則F(X)必為緊集。

引理2.6[10-12]設(shè)X和Y是兩個(gè)Hauddorff拓?fù)淇臻g，G:X→2Y是集值映射x0∈X，G(x0)是緊集,則G在x0∈X是上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于X中的任意網(wǎng){xα,α∈I},且xα→x0，對Y中任意網(wǎng){yα,α∈I}，有yα∈G(xα),?α∈I，都存在y0∈G(x0) 和{yα,α∈I}的一個(gè)子網(wǎng)使得yβ→y0。

命題2.1定義集值映射R:C#→2F(S)使得

若規(guī)定C#上的拓?fù)錇閺?qiáng)拓?fù)洇?Y?,Y),F(S)上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y,Y?)，F(xiàn)(S)為弱緊的，則R為 上半連續(xù)映射。

證明：反證法。假設(shè)R不 是上半連續(xù)的，則存在h0∈C#，使得R在h0處不上半連續(xù).于是存在R(h0)的弱開鄰域V?Y，對V可取到網(wǎng){hα}?C#及網(wǎng){yα}，其中yα∈R(hα)，使得。由于{yα}?F(S)且F(S)為弱緊集，不妨設(shè)又yα?V，V為弱開領(lǐng)域開集，故y0?V。由

知

由于F(S)為弱緊的，故F(S)是弱完全有界的，從而關(guān)于弱拓?fù)溆薪?。?Y,σ(Y,Y?))為局部凸空間，由引理2.3知，G為 有界集，于是PG是空間(Y?,β(Y?,Y))上的連續(xù)半范。于是?ε＞0,?α0，使得α≥α0時(shí)，有

于是α≥α0時(shí)，有

又h0∈Y?,故h0是連續(xù)的，于是?α1≥α0，使得

由式(2)和式(3)可得

由極限的保號性，對(1)式兩邊取極限得

于是y0∈R(h0)?V，但這與y0?V矛盾，于是R在C#上是上半連續(xù)的。

定理2.1設(shè)A為X中的非空子集且為緊集，C、T分別是Y、Z中的閉凸點(diǎn)錐，B是C的有界基，在非空約束集S上的目標(biāo)集值映射F:A→2Y為C?類凸的，在S上取弱緊值且是上半連續(xù)的(這里Y上的拓?fù)涫侨跬負(fù)洇?Y,Y?))，約束映射G:A→2Z為上半連續(xù)的，其中非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}。則ZE(F(S),C)是非空連通集。

證明：由引理2.2知A中非空約束集S為閉集，又A是緊集，故S也是緊集。因?yàn)镕是上半連續(xù)映射(其中Y上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y,Y?)，且F在S上取到弱緊值，故由引理2.5知，F(xiàn)(S)是弱緊集。又F為C?類凸的，由引理2.1知，F(xiàn)(S)+C為凸集。因?yàn)閅為局部凸空間，C為閉凸錐且具有基B，由引理1.1可知

任取h∈C#，由于h關(guān)于弱拓?fù)洇?Y,Y?)連續(xù)，且F(S)關(guān)于拓?fù)洇?Y,Y?)為緊集，故?x0∈F(S)，使得

即h?E(F(S),C)≠?. 從而ZE(F(S),C)≠?。

下證ZE(F(S),C)的連通性：

易知

由F(S)為弱緊集知，對?h∈C#,R(h)≠?。又C#為凸集，故C#為連通集。

任取x1,x2∈R(h),則x1,x2∈F(S)，且由R(h)的定義可知

h∈Y??t∈[0,1]

由于為連續(xù)線性泛函，故對，有

下面說明tx1+(1?t)x2∈F(S),?t∈[0,1]。若不然，存在t0∈[0,1]，使得

由于F(S)+C為凸集，且x1,x2∈F(S)，故存在x3∈F(S),c∈C使得

若c=0，則有t0x1+(1?t0)x2=x3∈F(S)

這與假設(shè)矛盾，故c≠0。此時(shí)h(c)＞0，于是由h∈C#

可得

這與

矛盾。

于是

從而tx1+(1?t)x2∈R(h),?t∈[0,1]。即R(h)，?h∈C#為非空連通集。

于是由命題2.1以及引理2.4可得∪{R(h):h∈C#}連通集，從而ZE(F(S),C)是非空連通集。

3 結(jié)論

本文將可行域A設(shè)定在非空的一般緊子集上，在約束映射G是上半連續(xù)的且約束集上的目標(biāo)映射F是上半連續(xù)的錐類凸的情況下, 通過對對偶錐上的集值映射連通性的證明,對含約束錐類凸的全局真有效點(diǎn)集的連通性進(jìn)行了討論，并給出了相關(guān)結(jié)論，故本文是在條件相對較弱的目標(biāo)映射及可行域更一般的條件下推廣了現(xiàn)有的集值優(yōu)化問題全局真有效點(diǎn)集連通性的有關(guān)結(jié)論。