基于火箭殘骸實(shí)時(shí)定位信息的落點(diǎn)計(jì)算模型

(西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000)

0 引言

隨著陸地火箭落區(qū)地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口增加和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，需要保護(hù)和關(guān)注的重要目標(biāo)和重點(diǎn)部位越來越多，對(duì)殘骸快速回收的要求也越來越高。然而，由于殘骸落點(diǎn)計(jì)算精度不高，地面搜索范圍較大，嚴(yán)重制約了殘骸搜索回收的工作效率。

為減輕航天發(fā)射任務(wù)落區(qū)工作負(fù)擔(dān)，提升落區(qū)應(yīng)急處置速度，亟需建設(shè)一套火箭殘骸回收系統(tǒng)。即在火箭分離體上(分離后稱為殘骸)安裝有衛(wèi)星導(dǎo)航定位以及發(fā)送定位數(shù)據(jù)的殘骸自定位裝置，利用北斗短報(bào)文實(shí)時(shí)發(fā)送殘骸在空中的位置、速度信息，當(dāng)殘骸到達(dá)預(yù)定高度后，則進(jìn)入傘控或舵控等可控墜落回收模式。

通過殘骸墜落幾次實(shí)測(cè)試驗(yàn)表明，當(dāng)殘骸高速進(jìn)入稠密大氣層后，其自定位裝置可靠性不高，獲取的有效定位信息較少甚至?xí)耆?lián)，嚴(yán)重后果會(huì)導(dǎo)致殘骸失控失聯(lián)以致地面搜尋不到殘骸。進(jìn)入稠密大氣層前，殘骸自定位裝置工作穩(wěn)定可靠。

本文基于工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和需求，以能夠收到50 km高度殘骸自定位信息為前提，研究建立一種精簡(jiǎn)的適用型精確落點(diǎn)計(jì)算模型，實(shí)現(xiàn)殘骸墜落過程中在預(yù)定高度落點(diǎn)位置的快速精準(zhǔn)計(jì)算。模型的工程應(yīng)用價(jià)值在于，當(dāng)殘骸自定位裝置工作異常后，模型可以實(shí)現(xiàn)預(yù)定高度(傘控或舵控工作點(diǎn))落點(diǎn)位置精確計(jì)算，再根據(jù)傘控或舵控的可控墜落軌跡即可準(zhǔn)確獲取殘骸的落地位置，從而實(shí)現(xiàn)快速回收。根據(jù)火箭殘骸回收系統(tǒng)工程實(shí)際應(yīng)用需求，要求模型計(jì)算精度為 ：50 km高度以下，高度相差20 km以內(nèi)的預(yù)測(cè)落點(diǎn)位置偏差不大于1 km。

1 火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析

真實(shí)環(huán)境下火箭墜落過程的彈道非常復(fù)雜，受很多因素干擾，包括空氣動(dòng)力、空間目標(biāo)特性、地球物理攝動(dòng)影響、地球扁率和旋轉(zhuǎn)等因素。其中空氣動(dòng)力又包括大氣風(fēng)場(chǎng)力和空氣阻力，由于火箭在無控墜落過程中速度非常大，因而受空氣阻力影響很大，而受大氣風(fēng)場(chǎng)力影響較小[1-2]。

圖1 墜落段運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律

在彈道頂點(diǎn)，空氣非常稀薄，而且速度也非常小，空氣阻力接近為零，地球引力垂直于空氣阻力，可認(rèn)為此時(shí)火箭速度達(dá)到最小。當(dāng)火箭飛行過頂點(diǎn)后，地球引力的切向分量與速度方向相同，而與阻力方向相反。由于引力的作用較阻力大，速度逐漸增大。隨著火箭高度的降低，空氣密度逐漸增大，空氣阻力也在增大，當(dāng)空氣阻力與地球引力的切向分量再次相等時(shí)，此時(shí)的速度達(dá)最大值。隨著飛行高度的急劇下降，空氣密度急劇增加，空氣阻力也相應(yīng)地增加很快，加速度絕對(duì)值增大，速度不斷減小。之后因速度減小，阻力也減小，同時(shí)也因速度傾角的絕對(duì)值增大，引力的切向分量增大，故加速度又有所回升，但仍為負(fù)值。

由以上分析可知，當(dāng)火箭高速進(jìn)入稠密大氣層，由于空氣阻力的作用，加速特性變化劇烈的氣動(dòng)加熱和復(fù)雜的大氣環(huán)境會(huì)產(chǎn)生較大的落點(diǎn)偏差。因此，在火箭的落點(diǎn)計(jì)算中加入空氣阻力模型對(duì)提高落點(diǎn)計(jì)算精度是非常有必要的。

2 落點(diǎn)計(jì)算模型

2.1 建立運(yùn)動(dòng)微分方程

根據(jù)墜落過程的彈道特性分析，忽略大氣風(fēng)場(chǎng)力，考慮空氣阻力的影響，火箭飛行速度為V對(duì)當(dāng)?shù)厮骄€的傾角為θ，空氣阻力為X，墜落過程的運(yùn)動(dòng)特性如圖2所示。

圖2 考慮空氣阻力的墜落段運(yùn)動(dòng)特性

墜落段動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程組為[3]：

(1)

當(dāng)火箭以高速進(jìn)入稠密大氣層時(shí)，在巨大的空氣阻力作用下，將有一個(gè)較大的負(fù)加速度，速度會(huì)急劇下降。實(shí)踐表明，火箭墜入50 km以下大氣層，空氣阻力均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于引力，而且加速度g變化較小，可將其視為常數(shù)。

X=CxSmρV2/2

(2)

Cx為空氣阻力的阻力系數(shù)，不但與飛行速度有關(guān)，而且由于實(shí)際大氣存在粘性，空氣阻力中還含有比重不大的粘性摩擦阻力，粘性摩擦阻力隨著高度的增大而減少，因此阻力系數(shù)應(yīng)是速度與高度的函數(shù)[6]。但是阻力系數(shù)在50 km高度以下的墜落過程中變化很小，若視為變量模型將非常復(fù)雜，因此，為簡(jiǎn)化模型，實(shí)現(xiàn)模型的可解性和適用性，本文應(yīng)用于殘骸回收系統(tǒng)的落點(diǎn)計(jì)算模型的阻力系數(shù)視為一個(gè)定量，可通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。

而火箭的質(zhì)量m，為火箭殘骸的總質(zhì)量減去燃料的消耗量。殘骸墜落過程的空間面積特性變化非常復(fù)雜，但由于墜落速度很快，受空氣阻力很大，必然致使殘骸姿態(tài)趨近速度方向，因而殘骸的阻力受力面積Sm取最小截面積。

2.2 過程參數(shù)計(jì)算

以殘骸墜落過程實(shí)時(shí)自定位位置、速度信息[xkykzkvxkvykvzk]為模型彈道參數(shù)點(diǎn)的輸入，墜落飛行速度V、速度傾角θ、地心徑向距離r，計(jì)算式如下[7]：

(3)

對(duì)于墜落段飛行時(shí)間、射程角t、β的計(jì)算，可根據(jù)所求解出的條件，采用時(shí)域有限積分算法，選取一定的時(shí)間步長(zhǎng)逐步積分算出最終結(jié)果?！褒埜瘛獛焖狈ㄊ且环N在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步積分算法，采用四階“龍格—庫塔”法，以數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)頻率為步長(zhǎng)進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算。

四階“龍格—庫塔”法需要進(jìn)行四次計(jì)算，是可以自啟動(dòng)的單步法，需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量少，計(jì)算精度較高。取時(shí)間步長(zhǎng)為h，其基本公式如下[8-9]：

(4)

以中心機(jī)數(shù)據(jù)采樣率為基準(zhǔn)，取時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.05s，以火箭墜落過程實(shí)測(cè)的彈道參數(shù)點(diǎn)數(shù)據(jù)(自定位速度、位置信息)為初值，采用四階“龍格—庫塔”法實(shí)現(xiàn)火箭墜落段的計(jì)算，具體實(shí)現(xiàn)方法如下：

對(duì)于墜落段射程角，利用三角正弦定理計(jì)算得到，βi初值為0，計(jì)算式如下：

(5)

(2)判斷控制：?jiǎn)尾接?jì)算的結(jié)果作為下一步計(jì)算的初值，按此策略順序計(jì)算，其落點(diǎn)判斷控制為r

2.3 落點(diǎn)參數(shù)計(jì)算

模型建立和落點(diǎn)計(jì)算以收到高度50 km以下的殘骸自定位數(shù)據(jù)為輸入?？紤]到火箭墜落段高度50 km以下，彈道傾角較大，射程較近，地球攝動(dòng)以及形體扁率影響很小，可忽略不計(jì)，模型不做地球攝動(dòng)和扁率修正。以β為最終射程角，通過球面三角形公式求得經(jīng)緯度。

落點(diǎn)位置的地心緯度φc：

(6)

式中，φk是用于模型計(jì)算的彈道參數(shù)所在位置的地心緯度，σk是起始位置的彈道參數(shù)點(diǎn)的速度偏航角，σkc是用于模型計(jì)算的彈道參數(shù)點(diǎn)至落點(diǎn)方位角，J2為地球引力場(chǎng)二階帶球諧系數(shù)，ae為地球赤道半徑，P是地球橢圓的焦準(zhǔn)距。

預(yù)定高度的落點(diǎn)位置與用于模型計(jì)算彈道參數(shù)點(diǎn)的經(jīng)度之差：

(7)

最終獲得落點(diǎn)位置的大地經(jīng)緯度為：

(8)

其中：Lk是用于模型計(jì)算的殘骸自定位信息的彈道參數(shù)點(diǎn)大地經(jīng)度。

3 模型驗(yàn)證及分析

3.1 精度分析方法

模型的精度檢驗(yàn)以模型計(jì)算的落點(diǎn)和實(shí)際測(cè)量的落點(diǎn)位置之間的距離ΔS作為評(píng)價(jià)參數(shù)。若模型計(jì)算的落點(diǎn)經(jīng)緯度為(Lc,Bc),而實(shí)際落點(diǎn)為(Lo,Bo),那么兩點(diǎn)之間的距離ΔS可由下述公式得到[10]：

(9)

3.2 精度驗(yàn)證分析

關(guān)于火箭殘骸墜落過程的自定位數(shù)據(jù)，目前基于火箭殘骸回收系統(tǒng)的先期試驗(yàn)，獲得了兩個(gè)型號(hào)火箭殘骸墜落過程中相對(duì)比較完整的北斗短報(bào)文實(shí)測(cè)自定位數(shù)據(jù)，采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行精度驗(yàn)證。

1)型號(hào)Ⅰ數(shù)據(jù)驗(yàn)證：

型號(hào)Ⅰ火箭殘骸自定位數(shù)據(jù)通過北斗短報(bào)文下傳的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)較少，因早期殘骸自定位裝備可靠性不高，高度50 km以下只獲取高度40 km左右至10 km左右的數(shù)據(jù)。對(duì)模型的驗(yàn)證可基于高度40、30、20 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，代入模型計(jì)算獲得較低高度的預(yù)測(cè)落點(diǎn)，并與較低高度的實(shí)測(cè)落點(diǎn)(經(jīng)緯度)進(jìn)行比較來分析模型精度，即是模擬利用墜落過程中自定位數(shù)據(jù)通過模型計(jì)算預(yù)定高度(傘控或舵控工作點(diǎn))的落點(diǎn)位置。其中，模型中阻力系數(shù)Cx可近似取值為常數(shù)，基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通過正交擬合法求得為0.2，溫度設(shè)定為30 ℃。

(1)以高度10 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照：以高度40、30、20 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為模型輸入數(shù)據(jù)，利用建立的模型計(jì)算高度10 km的落點(diǎn)位置，與高度10 km實(shí)測(cè)位置進(jìn)行比較計(jì)算偏差，以偏差大小評(píng)價(jià)模型精度，計(jì)算的落點(diǎn)結(jié)果比較如圖3所示(圖中方形為實(shí)測(cè)位置，菱形為計(jì)算位置，下同)。

以高度40 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置與實(shí)測(cè)位置偏差1.36 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.92 km；以高度20 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.78 km。

(2)以高度30、20 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照：以高度40、30 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為輸入，計(jì)算高度20 km左右的落點(diǎn)位置偏差；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度30 km左右的落點(diǎn)位置偏差。計(jì)算的落點(diǎn)結(jié)果比較如圖4所示。

以高度40 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計(jì)算高度20 km左右的落點(diǎn)位置與實(shí)測(cè)位置偏差0.52 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度20 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.14 km；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度30 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.97 km。

圖3 型號(hào)I火箭殘骸以高度10 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照的計(jì)算結(jié)果比較

圖4 型號(hào)I火箭殘骸以高度30、20 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照的計(jì)算結(jié)果比較

結(jié)果分析為：高度相差10 km，計(jì)算的位置與實(shí)測(cè)位置平均偏差為0.63 km；高度相差20 km，平均偏差為0.72 km；高度相差30 km，偏差為1.36 km。

2)型號(hào)Ⅱ數(shù)據(jù)驗(yàn)證：

型號(hào)Ⅱ火箭殘骸自定位數(shù)據(jù)獲取較完整，且在預(yù)定高度采用了傘控墜落模式，按照設(shè)計(jì)的可控墜落軌跡墜落到預(yù)定地點(diǎn)。為與型號(hào)Ⅰ火箭對(duì)比分析模型精度，仍選用高度40 km左右至10 km左右的數(shù)據(jù)對(duì)模型精度進(jìn)行驗(yàn)證。其中，模型中阻力系數(shù)Cx基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通過正交擬合法求得為0.194，溫度設(shè)定為20 ℃。計(jì)算結(jié)果如圖5～6所示。

圖5 型號(hào)Ⅱ火箭殘骸以高度10 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照的計(jì)算結(jié)果比較

圖5中，以高度40 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置與實(shí)測(cè)位置偏差1.27 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.82 km；以高度20 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度10 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.45 km。

圖6中，以高度40 km左右的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計(jì)算高度20 km左右的落點(diǎn)位置與實(shí)測(cè)位置偏差0.66 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度20 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.21 km；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計(jì)算高度30 km左右的落點(diǎn)位置偏差為0.87 km。

圖6 型號(hào)Ⅱ火箭殘骸以高度30、20 km左右的實(shí)測(cè)位置為落點(diǎn)參照的計(jì)算結(jié)果比較

結(jié)果分析為：高度相差10 km，計(jì)算的位置與實(shí)測(cè)位置平均偏差為0.51 km；高度相差20 km，平均偏差為0.74 km；高度相差30 km，偏差為1.27 km。

3.3 分析小結(jié)

通過以上對(duì)型號(hào)Ⅰ、Ⅱ火箭殘骸墜落過程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算分析驗(yàn)證可知，代入模型計(jì)算的實(shí)測(cè)自定位數(shù)據(jù)，高度相差越小，計(jì)算落點(diǎn)位置與實(shí)測(cè)位置越接近，模型預(yù)測(cè)精度越高，且高度越低模型預(yù)測(cè)精度越高。而且計(jì)算結(jié)果表明，模型對(duì)于50 km高度以下高度相差20 km以內(nèi)的落點(diǎn)位置預(yù)測(cè)，偏差均小于1 km，而且通過殘骸墜落幾次實(shí)測(cè)試驗(yàn)表明，殘骸自定位裝備已穩(wěn)定可靠，能夠保證40 km以上墜落過程中實(shí)時(shí)自定位信息的完整獲取。模型適用性很好，滿足火箭殘骸回收系統(tǒng)工程指標(biāo)要求。

該模型基于殘骸墜落過程的實(shí)時(shí)自定位信息可實(shí)現(xiàn)落點(diǎn)的精確預(yù)測(cè)，不僅能夠應(yīng)用于自定位裝置異常情況實(shí)現(xiàn)預(yù)定高度落點(diǎn)位置精確計(jì)算，也能推廣應(yīng)用至當(dāng)傘控或舵控故障情況下實(shí)現(xiàn)殘骸落點(diǎn)1 km以內(nèi)的精確預(yù)測(cè)，大大減少殘骸搜索回收的工作量。同時(shí)，模型可推廣應(yīng)用至基于可靠的彈道測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)火箭落點(diǎn)進(jìn)行精確的預(yù)測(cè)計(jì)算。

另外，從位置偏差可以看出，落點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差呈現(xiàn)無規(guī)律性，主要原因是存在高空風(fēng)影響。模型計(jì)算過程中忽略了高空風(fēng)影響，未進(jìn)行地球攝動(dòng)和扁率修正，阻力系數(shù)也為近似擬合值，但最終計(jì)算結(jié)果較為理想?？缮钊胙芯?，在模型中加入高空風(fēng)的大氣風(fēng)場(chǎng)力，并輔以地球攝動(dòng)、扁率等因素的精確修正，從而進(jìn)一步提升模型的落點(diǎn)位置預(yù)測(cè)精度。

4 結(jié)束語

基于火箭殘骸回收系統(tǒng)工程需求，通過對(duì)火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析，建立了考慮空氣阻力的動(dòng)力學(xué)落點(diǎn)計(jì)算模型，模型以殘骸墜落過程中的實(shí)時(shí)自定位信息為輸入，以四階“龍格—庫塔”法求模型運(yùn)動(dòng)微分方程解。最后基于火箭殘骸墜落實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型驗(yàn)證分析。

分析結(jié)果表明，實(shí)時(shí)任務(wù)中若能獲得預(yù)定高度以上20 km以內(nèi)的殘骸自定位數(shù)據(jù)，預(yù)定高度落點(diǎn)位置的預(yù)測(cè)精度可達(dá)到1 km以內(nèi)。建立的基于火箭殘骸墜落過程中實(shí)時(shí)定位信息的落點(diǎn)計(jì)算模型簡(jiǎn)化適用、精準(zhǔn)有效，計(jì)算結(jié)果較為理想，非常適合應(yīng)用于火箭殘骸回收系統(tǒng)中，對(duì)墜落過程中的傘控或舵控工作點(diǎn)位置進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，從而最終實(shí)現(xiàn)殘骸的快速回收，可大大縮小落區(qū)搜索范圍，提高工作效率。而且模型擴(kuò)展性好，可推廣應(yīng)用其他場(chǎng)景需求，通過模型精度可進(jìn)一步研究提升。