基于自適應旋轉角度的CORDIC 算法的設計與仿真

(南京恩瑞特實業(yè)有限公司,江蘇南京 211100)

0 引言

CORDIC(Coordinated Rotation Digital Computer)算法只有移位和加減運算,便于在FPGA等硬件平臺上實現(xiàn)復雜的三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和復數(shù)求模等計算,廣泛的應用于數(shù)字上下變頻、波形產生、數(shù)字鑒相、快速傅里葉變換[1-2]等方面。

傳統(tǒng)的CORDIC算法旋轉的角度固定,通常需要較多的迭代次數(shù)才能實現(xiàn)較高的運算精度。近年來,大量學者在提高CORDIC算法運算精度、增加角度覆蓋范圍、減少迭代次數(shù)、降低資源消耗方面進行了大量的研究。文獻[3]結合區(qū)間折疊技術和雙步旋轉策略,減少了迭代次數(shù)且具有較高的運算精度,但時延很大。文獻[4]采用單向固定旋轉方式降低了算法的延遲時間和資源消耗,但該算法運算精度較低。文獻[5]提出將多種技術綜合起來,可以有效降低輸出時延,但硬件實現(xiàn)較為復雜。文獻[6]提出單向最優(yōu)迭代的CORDIC算法,具有實時性強、資源消耗少的優(yōu)點,但該方法迭代結束時間判定復雜,硬件實現(xiàn)困難,難以應用于高速系統(tǒng)。

在相同迭代次數(shù)下,CORDIC算法運算精度與算法可以遍歷的角度個數(shù)密切相關,但上述算法每一級的旋轉角度固定,算法可遍歷的角度個數(shù)較少。通常采用增加迭代次數(shù)、數(shù)據(jù)長度、存儲深度等方法來提高運算精度,代價是延遲時間的增加以及硬件資源的消耗。本文提出了一種自適應旋轉角度的CORDIC算法,根據(jù)輸入的角度自適應選擇每一級迭代的旋轉角度,不需要消耗大量存儲資源,具有收斂速度快,延遲時間短、可遍歷角度個數(shù)多、運算精度高的優(yōu)點。

1 CORDIC算法

1.1 傳統(tǒng)的CORDIC算法

在直角坐標平面上將點(x1,y1)逆時針旋轉θ角度到點(x2,y2)的標準方法如式(1)所示:

CORDIC方法的核心是旋轉角度θ滿足tanθi=2-i。每次旋轉的表達式如式(2)所示:

式中z表示每次迭代累加的旋轉角度,符號di=±1是判決算子,決定旋轉方向。

CORDIC算法的旋轉角度限定在第一象限,且每次旋轉都會影響最終要旋轉的累積角度,因此僅在-99.7°≤θ≤99.7°的范圍內的任意角度可以旋轉。為了保證旋轉前后幅度不變,對CORDIC輸出的數(shù)據(jù)乘以一個系數(shù)A,如式(3)所示:

傳統(tǒng)的CORDIC算法實現(xiàn)較為簡單,但每次旋轉的角度固定,要實現(xiàn)較高精度的計算,需要多級流水線結構,多級流水線結構延遲大且會增加硬件成本。

1.2 改進的CORDIC算法

本文在傳統(tǒng)的CORDIC基礎上提出改進的CORDIC算法。根據(jù)輸入的角度自適應選擇每次旋轉的最優(yōu)角度,僅需要消耗少量存儲資源且在旋轉次數(shù)較少的情況下即可實現(xiàn)較高精度的正余弦值計算,延遲時間短,實時性強。改進的五級旋轉CORDIC算法結構如圖1所示。

建立兩個數(shù)組CS、XX,CS存儲角度值,XX存儲對應的余弦值。根據(jù)每一級旋轉的剩余角度從CS與XX中選擇最優(yōu)的旋轉角度與余弦值補償因子。角度表達式為:

式(4)中μ(i)∈{1,-1,0}決定第i次旋轉的方向,1表示逆時針旋轉;-1表示順時針旋轉;0表示旋轉已經(jīng)達到最小精度值,剩余角度已經(jīng)為0;ε為誤差值。a(s(i))表示第i次旋轉的度數(shù),s(i)∈{0,1,2,…,n-1},i∈{1,2,3,…n-1},n為數(shù)組的長度,為便于計算機實現(xiàn),令:

綜上可得迭代方程如式(6)為:

每一次旋轉中,比較剩余角度的絕對值與數(shù)組CS 中的角度判斷出此次旋轉的最優(yōu)角度值,并記錄其余弦值,將每次旋轉記錄的余弦值相乘得到補償因子Pn。

改進后的CORDIC算法有以下優(yōu)點:

(1)對于某些特殊角度如:45°,arctan(2-1),…只需要一次選轉即可使誤差為零,傳統(tǒng)算法旋轉多次后仍有較大誤差;

(2)量化位數(shù)、流水線級數(shù)相同時,改進后的CORDIC算法,跳過某些旋轉,可以達到的精度遠高于傳統(tǒng)算法;

(3)只需要4級迭代,就可覆蓋角度-π～π。

2 算法仿真與比較

本文將提出的自適應旋轉角度CORDIC算法與傳統(tǒng)的基于固定旋轉角度的CORDIC算法在計算精度、遍歷角度個數(shù)、收斂速度以及計算量方面進行仿真對比。

圖1 改進CORDIC 算法五級流水線結構Fig.1 Improved five-stage pipeline structure of CORDIC algorithm

首先對0-360°范圍的角度分別采用傳統(tǒng)CORDIC算法與改進的CORDIC算法計算正弦值,計算誤差如圖2所示。仿真過程中角度從0°變化到360°,步進1°,角度量化為12位,幅度量化為12位,兩種算法均采用五級迭代。從圖2可以看出,相同的迭代次數(shù)下,改進的CORDIC算法計算的正弦值更接近標準的正弦值。

圖2 0°-360°正弦值誤差比較Fig.2 0°-360° sine value error comparison

仿真中分別對兩種算法迭代3-7 次時能夠遍歷的角度個數(shù)進行比較,如圖3所示。從圖3可以看出兩種算法可以遍歷的角度個數(shù)均隨著迭代次數(shù)的增加而增加,迭代次數(shù)相同時改進的CORDIC 算法可以遍歷的角度個數(shù)明顯比傳統(tǒng)算法多。改進的CORDIC算法每一級旋轉可以選擇更多角度,因此可以準確計算的角度個數(shù)增加,從而提高了CORDIC算法計算正余弦值的精度。

圖3 兩種算法角度遍歷比較Fig.3 Comparison of angle traversal between two algorithms

圖4為兩種算法收斂速度的仿真比較。隨機產生0-90°的輸入角度,比較傳統(tǒng)算法與改進算法每一級迭代后的剩余角度,重復實驗1000次。從圖4可以看出兩種算法剩余角度均隨著迭代次數(shù)的增加而趨近0,但是改進后的算法收斂速度更快。

圖4 兩種算法收斂速度比較Fig.4 Comparison of the convergence speed of the two algorithms

傳統(tǒng)的CORDIC算法每次迭代過程需要進行一次角度判斷、兩次移位和三次加減法運算。改進的CO RDI C算法每次迭代過程需要進行一次角度比較、一次角度判斷、兩次移位和三次加減法運算。改進的算法比傳統(tǒng)的算法多一次角度的比較,具體的運算量由角度數(shù)組CS 的大小決定。改進的CORDIC算法以略復雜的角度比較換取更少的迭代次數(shù)與更高的精度。

3 結語

本文介紹了一種自適應旋轉角度的CORDIC算法,通過仿真從計算精度、角度遍歷與收斂速度等方面與傳統(tǒng)的CORDIC 算法進行性能比較。仿真結果表明改進的CORDIC算法,計算精度更高、占用資源較少,設計結構簡單,易于硬件實現(xiàn)。