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    帶有機(jī)器維修和工件派送的單機(jī)排序問題

    2021-05-31 00:34:52偉,楊
    關(guān)鍵詞:空閑排序工件

    蔡 偉,楊 梅

    (1.南京審計(jì)大學(xué)金審學(xué)院,江蘇南京 210046;2.中國(guó)石油大學(xué)(北京)克拉瑪依校區(qū),新疆克拉瑪依 834000)

    0 引言

    機(jī)器加工及派送協(xié)同和帶維修區(qū)間的排序問題是兩類重要的排序問題,由于這兩類排序問題在制造生產(chǎn)與供應(yīng)鏈管理中應(yīng)用前景廣闊,所以近年來得到了廣泛研究.而機(jī)器帶維修區(qū)間的加工與工件派送相結(jié)合的排序問題,同樣具有重要的應(yīng)用價(jià)值,得到了一定的關(guān)注和研究.

    1 問題描述及符號(hào)說明

    本文研究的帶有機(jī)器維修和單車輛派送到多顧客的排序問題,具體描述如下:給定工件集Y={J1,J2,…,Jn},工件的Ji加工時(shí)間為pi,體積為si(0

    n工件的個(gè)數(shù)ni第i個(gè)客戶的工件數(shù)目m客戶的個(gè)數(shù)Jj第j個(gè)工件Y={J1,J2,…,Jn}總工件集合Y=J1∪J2∪…∪Jm總工件集合Ji={Ji1,Ji2,…,Jini}第i個(gè)客戶的工件集合P(B)集合B中工件的總加工時(shí)間ti工件派送到第i個(gè)客戶所需時(shí)間s維修開始的時(shí)間t維修結(jié)束的時(shí)間△維修時(shí)長(zhǎng)δ維修前空閑時(shí)間Ba維修后加工的第一批次BqSPT序列中最后一個(gè)批次Bw決定批次P所有工件加工時(shí)間和

    定理1 問題(1,h(1)→D,k=m|v=1,c=1,ti|Cmax)是NP-難的.

    證明由現(xiàn)有結(jié)論知:?jiǎn)栴}(1,h(1)→D,k=1|v=1,c=1,ti|Cmax)是NP-難的,本文研究的問題是派送到多客戶情況,把派送到每個(gè)客戶的時(shí)間都看成相同就是現(xiàn)有結(jié)論中單客戶情形,所以問題[1,h(1)→D,k=m|v=1,c=1,ti|Cmax]也是NP-難的.或者可以把工件的加工時(shí)間都看成0,此時(shí)與機(jī)器加工無(wú)關(guān),只需將工件分批派送,即簡(jiǎn)化為一個(gè)裝箱問題,由于裝箱問題是NP-難的,那么本章節(jié)研究的問題也是NP-難的.

    2 近似算法

    第1步 依據(jù)每批體積不超過車輛總體積的原則,利用FFD算法對(duì)每個(gè)客戶的工件進(jìn)行分批.

    (3)將派送到客戶的時(shí)間按不減排序,最小記為t1,最大記為tm.

    第3步 按照如下規(guī)則構(gòu)造流水作業(yè)排序問題實(shí)例I(F2||Cmax).

    第4步 利用Johnson算法最優(yōu)的求解所構(gòu)造流水作業(yè)排序問題實(shí)例I,所得排序記為π=〈B1,B2,…,BK〉.

    (1)按照π中的批次順序加工、交付批次;

    (2)同一批次加工不被維修打斷,即若維修前不能加工完該批次,則該批次放在維修后加工;

    (3)每一個(gè)批次內(nèi)部工件加工順序任意,若車輛可用時(shí)有多個(gè)批次可派送,則先加工完的批次先派送.

    3 最壞情況界分析

    成立,于是對(duì)每個(gè)客戶i都可得

    那么

    那么

    證明已知Cmax的取值是前面批次的完工時(shí)間與后面運(yùn)送時(shí)間和,我們稱決定完工時(shí)間的批次w為決定批次.根據(jù)批次的加工時(shí)間與派送時(shí)間,批次分成SPT與LPT階段,按照維修的位置及決定批次的位置分以下情況證明.

    由于情況(1)(3)(6)本質(zhì)上都是決定批次在SPT序內(nèi)部,并且維修在計(jì)算完工時(shí)間時(shí)不起作用,證明方式完全相同,本文只證明情況(1)即可.情況(2)(5)(7)(8)本質(zhì)上都是決定批次在LPT序內(nèi)部,證明過程相同者只證明其中一種.情況(4)本質(zhì)上是決定批次在SPT序內(nèi)部,但是放縮有所不同,需單獨(dú)證明.

    (1)維修在SPT與LPT之間,即維修不打斷SPT和LPT序列.

    a.決定批次在維修之前,

    b.決定批次在維修之后,

    (2)維修在SPT之間,即維修打斷SPT序列.

    c.決定批次在維修之前,證明與(1)的a相同.

    d.決定批次在維修之后,

    ⅰ.決定批次在SPT內(nèi),

    ⅱ.決定批次在LPT內(nèi),證明與(1)的b相同.

    (3)維修在LPT之間,即維修打斷LPT序列.

    a.決定批次在維修之前,

    ⅰ.決定批次在SPT內(nèi),證明與(1)的a相同.

    ⅱ.決定批次在LPT內(nèi),

    b.決定批次在維修之后,證明與(1)的b相同.

    對(duì)于問題(1,h(1)→D,k=m|v=1,c=1,ti|Cmax),本章節(jié)提出的FFD-Johnson算法得到的界不是緊界,這就需要我們提出更好的算法,或者是在最差性能比分析的過程中給出更細(xì)致與嚴(yán)格的放縮.

    定理3 FFD-Jonhson算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn),n是工件個(gè)數(shù).

    證明首先FFD裝箱算法所需時(shí)間是O(nlogn),所分批次數(shù)目最多為n;其次比較批次的加工時(shí)間與派送時(shí)間,所需時(shí)間為最多為O(n);最后對(duì)加工時(shí)間小于派送時(shí)間的批次按SPT序排,加工時(shí)間大于派送時(shí)間的批次按LPT序排,所需時(shí)間也是O(nlogn);因此FFD-Jonhson算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn).

    4 特殊情況

    接下來考慮只有一個(gè)客戶的特殊情況,即:工件在帶有一個(gè)不可用維修區(qū)間的機(jī)器上加工且由單車輛派送到單顧客的情形,問題表示為(1,h(1)→D,k=1|v=1,c=1,T|Cmax).

    引理4 對(duì)于該特殊情況,最優(yōu)排序π*得到的最優(yōu)時(shí)間表長(zhǎng)C*max滿足

    定理4 對(duì)于所給特殊問題(1,h(1)→D,k=1|v=1,c=1,T|Cmax),F(xiàn)FD-Johnson算法的界為2,且是緊界.

    證明若K*≥2,按維修區(qū)間的位置分以下幾種情形證明:

    (1)維修不打斷SPT和LPT序.

    a.由于車輛在派送SPT序的批次不會(huì)空閑,所以當(dāng)車輛在派送LPT序的批次時(shí)有空閑,那么

    b.若車輛在派送LPT序的批次時(shí)不空閑,

    (2)維修打斷SPT序.

    a.車輛在派送LPT序批次時(shí)有空閑,

    b.車輛在派送LPT序批次時(shí)無(wú)空閑且車輛在派送SPT序的批次也無(wú)空閑,

    c.車輛在派送LPT序批次時(shí)無(wú)空閑且在派送SPT序的批次時(shí)有空閑,此時(shí)空閑只會(huì)發(fā)生在維修后第一個(gè)批次加工完成之前,否則與派送SPT序的批次時(shí)有空閑矛盾,因此

    ⅰ.當(dāng)K=K*時(shí),

    ⅱ.當(dāng)K>K*時(shí),

    (3)維修打斷LPT序.

    a.車輛在派送LPT序批次時(shí)有空閑,

    Cmax=P+△+δ+T≤2C*max.

    b.車輛在派送LPT序批次時(shí)無(wú)空閑,

    Cmax=P(B1)+KT≤2C*max.

    緊界實(shí)例:設(shè)有兩個(gè)工件,加工時(shí)間與體積分別為J1=(1,∈)和J2=(∈,1),派送時(shí)間T=2∈,機(jī)器維修區(qū)間為[1,1+∈],車輛容積為1,其中∈是趨于0的正常數(shù).利用FFD裝箱算法將工件分為兩個(gè)批次B1={J1}和B2={J2}.最優(yōu)算法是先加工B1再加工B2,所用時(shí)間為1+4∈,利用FFD-Johnson算法是先加工B2再加工B1,所用時(shí)間為2+3∈,于是當(dāng)∈→0時(shí),

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