提升初中生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的教學(xué)策略

鐘小青

【摘要】本文從四個(gè)方面論述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的策略，即聯(lián)系新舊知識以培養(yǎng)邏輯思維能力、設(shè)計(jì)判斷題型以幫助學(xué)生掌握邏輯推理的思維方法、規(guī)范幾何語言的書寫方式以培養(yǎng)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、優(yōu)化課堂問題設(shè)計(jì)以發(fā)展邏輯推理的思維能力，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中生 數(shù)學(xué)邏輯推理能力 教學(xué)策略

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）45-0131-03

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包含六個(gè)方面，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。其中邏輯推理能力是指根據(jù)周圍環(huán)境和活動對事物進(jìn)行觀察、類比、分析、概括、判斷、綜合、抽象、演繹和推理等進(jìn)行思考的能力，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力，關(guān)系著學(xué)生品質(zhì)和能力的未來發(fā)展。初中階段是邏輯推理素養(yǎng)形成的關(guān)鍵時(shí)期，初中數(shù)學(xué)教師要關(guān)注學(xué)生邏輯推理能力的形成與發(fā)展。我們知道，教學(xué)活動是學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的重要途徑，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，中學(xué)生通過對數(shù)學(xué)題目的思考和分析，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的掌握，鍛煉自己的思維能力;通過對數(shù)學(xué)知識的吸收和理解，提高綜合應(yīng)用能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和能力等特點(diǎn)，以及課程標(biāo)準(zhǔn)和未來人才的需求，采用有效的教學(xué)策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。下面談一談提升數(shù)學(xué)邏輯推理能力的教學(xué)策略。

一、聯(lián)系新舊知識，培養(yǎng)邏輯思維能力

在備課過程中，教師遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和能力水平，對教材進(jìn)行整合、拓展與延伸，從邏輯關(guān)系上把新舊知識聯(lián)系起來。選取比較貼近生活的數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)案例和素材，鼓勵(lì)學(xué)生積極深入情景問題進(jìn)行分析、推理，讓推理的熱情和興趣在學(xué)生的心中生根發(fā)芽，讓學(xué)生不斷積累生活中的數(shù)學(xué)推理經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)邏輯推理的習(xí)慣和熱情。我們分析教材發(fā)現(xiàn)，初中的數(shù)學(xué)知識雖然比較多，但知識具有系統(tǒng)性、連貫性和嚴(yán)密的邏輯性。因此教師帶領(lǐng)學(xué)生探究新知時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生分析新知識與舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以利于學(xué)生構(gòu)建充滿邏輯性的數(shù)學(xué)知識框架，這對學(xué)生掌握新的知識有很大的幫助。例如，講授湘教版七年級下冊第二章《2.1.2 冪的乘方》時(shí)，從教材中可看出對冪的乘方的設(shè)計(jì)與同底數(shù)冪的乘法的設(shè)計(jì)思路是一致的，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察一些具有特性的同底數(shù)冪的乘法式子進(jìn)行聯(lián)想，根據(jù)乘方的意義，對冪的乘方進(jìn)行邏輯推理得出一般形式。同時(shí)也讓學(xué)生懂得，由于冪的乘方的特殊性，我們在計(jì)算的過程中，有可能會漏掉符號，從而使得到的結(jié)果不一定成立，需要進(jìn)行驗(yàn)證，以培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)密的邏輯思維習(xí)慣。在教學(xué)中，教師要根據(jù)實(shí)際情況，盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—抽象—猜想—論證”的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聯(lián)系新舊知識，理解前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而做到舉一反三，融會貫通，構(gòu)建嚴(yán)密的知識體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、設(shè)計(jì)判斷題型，幫助學(xué)生掌握邏輯推理的思維方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)判斷題文字少，思維容量大，耗時(shí)短，容易操作，是促進(jìn)學(xué)生理解概念的內(nèi)涵、性質(zhì)和知識之間關(guān)系的較好題型，也是為學(xué)生提供更多參與課堂學(xué)習(xí)活動的載體。教師設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)呐袛囝}，通過學(xué)生的判斷、辨別和推理，了解學(xué)生的推理思路。當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的推理錯(cuò)誤時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生重新分析、梳理，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，從而掌握邏輯推理的基本方法。有時(shí)候還要根據(jù)情況，讓學(xué)生從逆向開展邏輯推理，通過反向思維找到因果之間的關(guān)系，從而更加扎實(shí)地理解知識。這樣，從正反兩個(gè)不同的方向訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，掌握不同的邏輯推理方法。例如，講授湘教版八年級上冊《2.2.2 真命題 假命題與定理》時(shí)，筆者為了讓學(xué)生掌握判斷真、假命題的方法，形成知識技能，設(shè)計(jì)了5個(gè)判斷題：“①絕對值最小的數(shù)是0;②相等的角是對頂角;③兩個(gè)銳角的和一定大于90°;④在同一平面內(nèi)，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b;⑤如果數(shù)a，b的積ab>0，那么a，b都是正數(shù)。”這5個(gè)判斷題文字少，但是思維量比較大。這5個(gè)題目的訓(xùn)練，讓學(xué)生在推理的過程中復(fù)習(xí)了絕對值、對頂角、鈍角、相交線及有理數(shù)的乘法等知識的性質(zhì)和判定。同時(shí)，也解決了兩件事情：一是判斷一個(gè)命題為真必須要有推理;二是推理必須要有依據(jù)。判定一個(gè)命題為真命題，需要從假設(shè)條件成立開始，通過推理或驗(yàn)算，然后才能判斷是不是真命題;判斷一個(gè)命題是假命題，只要能舉出一個(gè)條件成立但是結(jié)論不成立的例子即可。利用判斷題讓學(xué)生運(yùn)用真假命題的判定定理判斷一般命題的真?zhèn)?，從而進(jìn)一步理解真假命題概念的內(nèi)涵，掌握邏輯推理的思維方法。

三、規(guī)范幾何語言的書寫，培養(yǎng)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)的幾何語言是一種邏輯語言，學(xué)生只有掌握如何規(guī)范書寫數(shù)學(xué)的幾何語言，才能精準(zhǔn)地理解概念的內(nèi)涵、知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，書寫的過程是學(xué)生的邏輯推理能力的凸顯。在幾何教學(xué)中，教師要重視幾何語言的規(guī)范表達(dá)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貢鴮懯痉?，不斷地?xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握Z言表達(dá)能力。因此教師從一開始就要用規(guī)范的格式板書，要求學(xué)生必須按照規(guī)范的格式書寫，不能用漢語言文字代替幾何語言，并熟練地把漢語言與幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力，養(yǎng)成幾何思維習(xí)慣。比如，漢語講的“直線AB垂直于直線CD”，其幾何語言是“AB⊥CD”;“直角三角ABC”的幾何語言是“Rt△ABC”。利用幾何題的解題過程的書寫格式規(guī)范學(xué)生的幾何表達(dá)方式，讓學(xué)生感知幾何語言的簡捷性和邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

【例1】如圖1，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，BC的延長線上取一點(diǎn)E，使得CE=CD，∠E=30°。求∠DBC的度數(shù)。

解：∵AB=BC，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)（已知）

∴BD⊥AC（三線合一）

∴∠BDC=90°

∵CE=CD，∠E=30°（已知）

∴∠CDE=∠E=30°

∴∠BCD=∠CDE+∠E=60°

∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=180°-90°-60°=30°

這是解幾何題或者說幾何語言的規(guī)范書寫格式，在這個(gè)求解過程中，沒有多余的語言，思路清晰，推理嚴(yán)謹(jǐn)，格式簡潔。在沒有用到漢語言的情況下直觀而完美地把求解過程講解清楚，讓人一目了然。因此在書寫幾何內(nèi)容時(shí)，能夠用幾何語言表達(dá)的都不用漢語言來表達(dá)，訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成“口說漢語寫用幾何語”的習(xí)慣。比如，從“在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)”推導(dǎo)“AC垂直于是BD”時(shí)，其幾何語言就是“∵AB=BC，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)（已知），∴BD⊥AC（三線合一）”。表達(dá)清楚，因果關(guān)系清晰，是一種嚴(yán)密的邏輯推理過程，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、優(yōu)化課堂問題設(shè)計(jì)，發(fā)展邏輯推理的思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，而問題是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)。因此在平時(shí)的教學(xué)活動中，教師應(yīng)以問題為紐帶，以“問題”為中心教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、推理證明來學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生逐步形成完整的思維體系，發(fā)展邏輯推理的思維能力。創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的生活情境，然后抽象為數(shù)學(xué)知識進(jìn)行設(shè)問，讓學(xué)生快速切入主題，進(jìn)行猜想，為探究新知識做好鋪墊。圍繞新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系有遞度地設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生理清知識脈絡(luò)，找出新舊兩個(gè)知識點(diǎn)之間的區(qū)別和聯(lián)系，更深刻地理解知識的內(nèi)在本質(zhì)，為系統(tǒng)地掌握知識、提升邏輯推理能力打下基礎(chǔ)。一般來說，教師根據(jù)新學(xué)習(xí)的知識設(shè)置相應(yīng)的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，讓學(xué)生從同類型的知識中尋找探究的思路，找到新舊知識之間的邏輯關(guān)系，找到新知識的本質(zhì)，圍繞知識的內(nèi)在聯(lián)系找到解決問題的突破口，從而解決問題，掌握知識。

例如，在新授課《一元一次方程的解法1》中，解一元一次方程“2x-7=4x+3”時(shí)，我們可以設(shè)問：（1）解方程是為了把方程化為什么樣的形式呢？（生答：化為x=a的形式）（2）方程的解x=a有何特點(diǎn)呢？（生答：等號的一邊是未知數(shù)x，另一邊是常數(shù)a）（3）如何才能把含有未知數(shù)的項(xiàng)放到等號的一邊，常數(shù)放到等號的另一邊呢？通過三個(gè)問題讓學(xué)生明確解一元一次方程的思路是：利用等式的性質(zhì)把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，其中有去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟。

尊重學(xué)生個(gè)體差異，面向全體梯度設(shè)問。面向全體學(xué)生是學(xué)科教學(xué)的基本原則，但不同的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力，因此教師要努力使全體學(xué)生都能學(xué)有所獲。這是教師教學(xué)活動的出發(fā)點(diǎn)，也是要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)。教師務(wù)必根據(jù)學(xué)生的不同認(rèn)知水平和能力水平等差異來設(shè)計(jì)由易到難的問題，為學(xué)生的思維撘梯設(shè)橋，讓每個(gè)同學(xué)都能在各自的基礎(chǔ)上提升，從而提高邏輯推理能力。

【例2】（人教版八年級下冊第十九章《19.3 選擇方案》，課本P109第15題）如圖2，A城有肥料200 t，B城有肥料300 t?，F(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為20元/t和25元/t;從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/t和24元/t?，F(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240 t，D鄉(xiāng)需要肥料260 t，怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？

由于題目的問題難度比較大，很多學(xué)生無從下手，此時(shí)教師可以把它分解為三個(gè)有梯度的問題進(jìn)行設(shè)問引導(dǎo)：“（1）要計(jì)算調(diào)運(yùn)的總運(yùn)費(fèi)與什么有關(guān)？（2）在運(yùn)輸過程中，由A、B城運(yùn)送肥料到C、D鄉(xiāng)分別有哪些運(yùn)輸路線？（3）這些運(yùn)輸路線的肥料量要滿足什么等量關(guān)系？”通過這樣把問題分解，讓基礎(chǔ)相對薄弱的同學(xué)能夠順著這三個(gè)問題的解決思路進(jìn)行審題，把握題目的核心內(nèi)容。從第一個(gè)問題學(xué)生容易想到要求出總費(fèi)用就必須要先求出運(yùn)送肥料的重量，第二個(gè)問題提示學(xué)生思考運(yùn)送肥料的路線有從A運(yùn)送到C、A運(yùn)送到D、B運(yùn)送到C、B運(yùn)送到D四個(gè)運(yùn)輸路線，第三個(gè)問題是理清這四個(gè)量之間滿足的等量關(guān)系式，從而可以設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)等量關(guān)系式列出方程組，整個(gè)問題迎刃而解。

巧用變式設(shè)問，加強(qiáng)思維推理的深刻性。當(dāng)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本的方法以后，教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)變式設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生體會這一類題目隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生將一道題內(nèi)化為一類題的解題思路和方法，加強(qiáng)思維推理的深刻性。

【例3】（湘教版八年級下冊第二章《2.2.2 平行四邊形的判定》第2課時(shí)有關(guān)對角線的判定定理，課本P47的例3），如圖3，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在BD上，且OE=OF。求證：四邊形AECF是平行四邊形。

運(yùn)用平行四邊形判定定理證明的這類問題有一定的典型性，教師可以趁此設(shè)計(jì)兩個(gè)變式進(jìn)行設(shè)問。

變式一：如圖4，把“點(diǎn)E、F在BD上”改為“點(diǎn)E、F分別是在OB、OD延長線上的兩點(diǎn)”，其他條件不變，求證：四邊形AECF 是平行四邊形。

變式二：如圖5，把整個(gè)題目改為“在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足為點(diǎn)E、F，求證：四邊形AECF是平行四邊形”。

讓學(xué)生通過這樣的變式熟悉地掌握這一類型題目的解題思路和解決方法，并把它內(nèi)化為自己的思想和方法：當(dāng)這個(gè)四邊形已經(jīng)有了一條對角線被平分以后，可以考慮去證明另一條對角線也被平分，再依據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明該四邊形是平行四邊形。這樣就可以做到舉一反三、靈活應(yīng)用，取得懂一道題即懂一類題的教學(xué)效果，增強(qiáng)了學(xué)生思維推理的深刻性。

邏輯推理能力在開發(fā)智力、發(fā)展思維、培養(yǎng)科學(xué)精神等方面有著十分重要的作用，是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知能力等，采用合理的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維與語言表達(dá)能力，逐漸深入理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯推理能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)技能的提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李織蘭，蔣曉云，卿樹勇.初中生邏輯推理核心素養(yǎng)的認(rèn)識與培養(yǎng)策略研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（04）.

[2]周陽，金康彪.核心素養(yǎng)背景下初中生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略探究[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2018（8）.

（責(zé)編 李 唐）