基于節(jié)點(diǎn)冗余容量動(dòng)態(tài)控制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究

張 震 劉迪洋 張 進(jìn) 謝記超

①(戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué) 鄭州450000)

②(網(wǎng)絡(luò)通信與安全紫金山實(shí)驗(yàn)室 南京210000)

1 引言

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在電力網(wǎng)絡(luò)、通信網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)和互聯(lián)網(wǎng)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的分析和研究越來(lái)越受到人們的重視，其中一個(gè)重要領(lǐng)域是研究網(wǎng)絡(luò)部分節(jié)點(diǎn)失效對(duì)其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和服務(wù)功能的影響，即網(wǎng)絡(luò)魯棒性[1]。級(jí)聯(lián)失效場(chǎng)景下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性是該領(lǐng)域的核心問題，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)節(jié)點(diǎn)失效后，失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載將重新分配至其鄰居節(jié)點(diǎn)并引發(fā)下一輪失效，此種網(wǎng)絡(luò)連鎖失效反應(yīng)稱為級(jí)聯(lián)失效[2]。

當(dāng)前級(jí)聯(lián)失效下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究主要從級(jí)聯(lián)失效模型和魯棒性優(yōu)化策略兩方面進(jìn)行。級(jí)聯(lián)失效模型方面，Motter和Lai[3]假設(shè)網(wǎng)絡(luò)上節(jié)點(diǎn)的負(fù)載和容量呈線性關(guān)系，提出了著名的ML(Motter-Lai)模型，但ML模型與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)流量特征不完全相符。文獻(xiàn)[4]對(duì)ML模型進(jìn)行改進(jìn)，提出節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載越大，獲得的額外冗余資源應(yīng)當(dāng)越多。文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步引入了反映節(jié)點(diǎn)承受額外負(fù)載能力的超載系數(shù)，以及描述負(fù)載重分配后節(jié)點(diǎn)所承擔(dān)負(fù)載的剩余系數(shù)和失效概率參數(shù)，建立了更接近實(shí)際網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的動(dòng)態(tài)模型。文獻(xiàn)[6]引入本地分配比例系數(shù)，利用節(jié)點(diǎn)的度和失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載分布范圍作為負(fù)載重分配參數(shù)，并提出基于節(jié)點(diǎn)承載能力的級(jí)聯(lián)失效模型。文獻(xiàn)[7]針對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過程，建立級(jí)聯(lián)失效模型并提出一種擇優(yōu)恢復(fù)的魯棒性優(yōu)化方法。魯棒性優(yōu)化策略方面，主要通過調(diào)整負(fù)載重分配策略抵抗級(jí)聯(lián)失效，文獻(xiàn)[8]基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論提出一種針對(duì)編隊(duì)電磁網(wǎng)絡(luò)的魯棒性優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[9]提出大負(fù)載節(jié)點(diǎn)應(yīng)該承擔(dān)更多的重分配負(fù)載。文獻(xiàn)[10]跟蹤了節(jié)點(diǎn)的實(shí)時(shí)負(fù)載狀態(tài)，并將相鄰節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)作為一個(gè)重要的指標(biāo)來(lái)改進(jìn)經(jīng)典的重分配方法，文獻(xiàn)[11]將節(jié)點(diǎn)失效視為一個(gè)過程，根據(jù)當(dāng)前失效容量確定節(jié)點(diǎn)所需冗余容量，提出將失效節(jié)點(diǎn)所屬的冗余容量重分配至其鄰居節(jié)點(diǎn)的重分配機(jī)制，并引入網(wǎng)絡(luò)相變的概念對(duì)級(jí)聯(lián)失效過程進(jìn)行分析。

綜上，當(dāng)前針對(duì)級(jí)聯(lián)失效的魯棒性優(yōu)化策略研究仍主要集中在重分配策略方面，而從節(jié)點(diǎn)冗余容量設(shè)置的角度，由于網(wǎng)絡(luò)被攻擊強(qiáng)度的不同和級(jí)聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，不同節(jié)點(diǎn)在不同時(shí)刻對(duì)冗余容量的需求是不同的。因此，針對(duì)傳統(tǒng)級(jí)聯(lián)失效模型中冗余參數(shù)固定不變的問題，本文建立了基于節(jié)點(diǎn)冗余容量動(dòng)態(tài)控制的(Dynamic control of node Redundancy Capacity,DRC)級(jí)聯(lián)失效模型，與傳統(tǒng)模型相比，DRC模型可以根據(jù)攻擊強(qiáng)度和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖兓瘎?dòng)態(tài)地確定節(jié)點(diǎn)所需的冗余容量。此外，本文引入網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子的概念，用于判斷DRC模型中節(jié)點(diǎn)失效后在其鄰居節(jié)點(diǎn)處引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的可能性，并基于網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子與網(wǎng)絡(luò)魯棒性的關(guān)系提出了兩種網(wǎng)絡(luò)魯棒性優(yōu)化策略。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了DRC模型和本文所提策略對(duì)魯棒性優(yōu)化的有效性。

2 DRC級(jí)聯(lián)失效模型

2.1 初始負(fù)載

節(jié)點(diǎn)負(fù)載是指節(jié)點(diǎn)在某一時(shí)刻處理的信息數(shù)量，反映了節(jié)點(diǎn)處理信息的能力?；贛L模型，節(jié)點(diǎn)j初始時(shí)刻的負(fù)載Lj是關(guān)于節(jié)點(diǎn)度的冪函數(shù)，定義為[3]

其中，k j是節(jié)點(diǎn)j的度，τ是初始負(fù)載調(diào)節(jié)參數(shù)，τ>0。節(jié)點(diǎn)度越大，初始負(fù)載越大。

2.2 節(jié)點(diǎn)容量

節(jié)點(diǎn)容量是指節(jié)點(diǎn)所能處理的最大負(fù)載。ML級(jí)聯(lián)失效模型中，節(jié)點(diǎn)j的容量Cj與其初始負(fù)載成正比，定義為[3]

其中，α是 節(jié)點(diǎn)j的冗余參數(shù)，α≥0。如前文所述，不同網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)下節(jié)點(diǎn)對(duì)冗余容量的需求不同，因此本文設(shè)置節(jié)點(diǎn)冗余容量控制函數(shù)對(duì)冗余容量進(jìn)行“動(dòng)態(tài)控制，按需分配”。因此，DRC模型中節(jié)點(diǎn)容量定義為

其中，αj是節(jié)點(diǎn)冗余容量控制函數(shù)?；谖墨I(xiàn)[11]對(duì)于失效容量的定義，從外部因素考慮，節(jié)點(diǎn)在每次攻擊過程中受到不同程度的損壞直至失效，這一過程中節(jié)點(diǎn)對(duì)冗余容量的需求隨攻擊強(qiáng)度變化而變化；從內(nèi)部因素考慮，級(jí)聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖兓?，?jié)點(diǎn)所承擔(dān)負(fù)載在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的比例即發(fā)生變化。因此，將αj描述為由攻擊強(qiáng)度μ，初始負(fù)載與節(jié)點(diǎn)平均負(fù)載的比值共同決定的函數(shù)

其中，μ為攻擊強(qiáng)度，μ>0。

2.3 負(fù)載重分配

基于ML模型，DRC模型的負(fù)載重分配基于節(jié)點(diǎn)負(fù)載。節(jié)點(diǎn)j失效后，重分配至節(jié)點(diǎn)i的負(fù)載量?L i定義為

其中，Γ是節(jié)點(diǎn)j的功能正常的鄰居節(jié)點(diǎn)集合。當(dāng)負(fù)載重分配發(fā)生后，如果節(jié)點(diǎn)i原有負(fù)載與收到的負(fù)載之和超過其容量，將導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)i級(jí)聯(lián)失效，其負(fù)載將再次重分配。這個(gè)過程會(huì)一直重復(fù)，直至網(wǎng)絡(luò)中無(wú)過載節(jié)點(diǎn)。

3 網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子與網(wǎng)絡(luò)魯棒性

3.1 網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ

借鑒物理學(xué)中相變的概念，本文將部分節(jié)點(diǎn)失效后引發(fā)的級(jí)聯(lián)失效定義為網(wǎng)絡(luò)相變，網(wǎng)絡(luò)相變臨界狀態(tài)則是網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效發(fā)生前一刻，失效節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)所處的狀態(tài)。

假設(shè)節(jié)點(diǎn)i在接收失效節(jié)點(diǎn)j的部分負(fù)載后，網(wǎng)絡(luò)處于相變臨界狀態(tài)。此時(shí)節(jié)點(diǎn)i維持正常功能所需要的臨界容量為C ic。臨界容量的需求越大，節(jié)點(diǎn)i處越容易引發(fā)級(jí)聯(lián)失效。將臨界容量Cic定義為[11]

3.2 網(wǎng)絡(luò)相變因子與網(wǎng)絡(luò)魯棒性的關(guān)系

網(wǎng)絡(luò)魯棒性的評(píng)價(jià)指標(biāo)用于量化評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的強(qiáng)弱。本文采用剩余網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖(largest connected subgraph)規(guī)模作為網(wǎng)絡(luò)魯棒性評(píng)價(jià)指標(biāo)，這一測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)在網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究中應(yīng)用廣泛[12]，其定義為

其中，N是初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)的總節(jié)點(diǎn)數(shù)，N′是級(jí)聯(lián)失效過程結(jié)束后網(wǎng)絡(luò)中最大連通子圖的規(guī)模。R越小，級(jí)聯(lián)失效的傳播規(guī)模越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越弱；反之，R越大，級(jí)聯(lián)失效的傳播規(guī)模越小，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。

根據(jù)式(6)，臨界容量C ic與 相變臨界因子θ成正比。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)相變因子θ逐漸減小，在節(jié)點(diǎn)i處引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的可能也逐漸減小，攻擊引起的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓饾u遠(yuǎn)離網(wǎng)絡(luò)相變臨界狀態(tài)，僅遭受到攻擊的部分節(jié)點(diǎn)會(huì)失效，剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)N′增多，網(wǎng)絡(luò)魯棒性R逐漸增大；反之，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)相變因子θ逐漸增大，臨界容量C ic逐漸增大，此時(shí)在節(jié)點(diǎn)i處引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的可能逐漸增大，攻擊引起的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓饾u靠近或突破網(wǎng)絡(luò)相變臨界狀態(tài)，從而引發(fā)網(wǎng)絡(luò)相變導(dǎo)致更多節(jié)點(diǎn)失效，剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)N′減少，網(wǎng)絡(luò)魯棒性R逐漸減小直至趨近于0。因此網(wǎng)絡(luò)魯棒性R與網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ負(fù)相關(guān)。

4 網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ 解析與網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略

4.1 BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型

Barabasi和Albert基于冪率分布產(chǎn)生的增長(zhǎng)和優(yōu)先連接特征提出BA(Barabasi-Albert)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[13]。BA模型中，初始連通網(wǎng)絡(luò)中包含m0個(gè)節(jié)點(diǎn)，每次向網(wǎng)絡(luò)中添加一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)并以一定概率連接到m個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)上(m

為了更普遍地反映無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦裕涠确植己瘮?shù)可寫成

其中，c,λ為常數(shù)。

4.2 BA模型網(wǎng)絡(luò)中相變臨界因子θ 解析

為分析不同網(wǎng)絡(luò)參數(shù)與相變臨界因子θ的關(guān)系，結(jié)合BA網(wǎng)絡(luò)的度分布函數(shù)對(duì)θ進(jìn)行解析。由文獻(xiàn)[11]有

將式(14)、式(16)代入式(9)，在BA網(wǎng)絡(luò)中采用DRC模型時(shí)有

根據(jù)式(17)、式(18)，目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)中，拓?fù)鋮?shù)λ，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N和節(jié)點(diǎn)最小度m為確定參數(shù)，因此ML模型下決定節(jié)點(diǎn)失效是否會(huì)引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的因素包括冗余參數(shù)α，被攻擊節(jié)點(diǎn)的度kj和初始負(fù)載參數(shù)τ,DRC模型下則為攻擊強(qiáng)度μ，被攻擊節(jié)點(diǎn)度k j和初始負(fù)載參數(shù)τ。

4.3 網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略

由3.2節(jié)分析，網(wǎng)絡(luò)魯棒性R與網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ為負(fù)相關(guān)關(guān)系，則θ與τ正相關(guān)時(shí)，魯棒性R與τ負(fù)相關(guān)；當(dāng)θ與τ負(fù)相關(guān)時(shí)，魯棒性R與τ正相關(guān)。因此，本文考慮通過調(diào)整參數(shù)τ減小網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ即網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效的可能性，從而達(dá)到提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性的目的。因此，本文提出兩種情況下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略：

θ與τ正相關(guān)：減小參數(shù)τ減小級(jí)聯(lián)失效可能性。

θ與τ負(fù)相關(guān)：增加參數(shù)τ減小級(jí)聯(lián)失效可能性。

下面對(duì)本節(jié)所提的魯棒性提升策略的可行性進(jìn)行分析：

理論可行性：根據(jù)式(17)、式(18)，根據(jù)被攻擊節(jié)點(diǎn)度k j不同，θ與τ存在正相關(guān)區(qū)間也存在負(fù)相關(guān)區(qū)間。因此，本文所提通過調(diào)整參數(shù)τ控制網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ的變化，從而提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性的策略理論上是可行的。

技術(shù)可行性：傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中難以實(shí)現(xiàn)冗余動(dòng)態(tài)分配，而虛擬化技術(shù)的出現(xiàn)使動(dòng)態(tài)冗余成為可能，虛擬化技術(shù)能夠動(dòng)態(tài)組織多種計(jì)算資源，隔離硬件體系結(jié)構(gòu)和軟件系統(tǒng)之間的緊密依賴關(guān)系，實(shí)現(xiàn)透明化的可伸縮計(jì)算系統(tǒng)架構(gòu)，為實(shí)現(xiàn)不同時(shí)刻根據(jù)不同節(jié)點(diǎn)的冗余資源需要進(jìn)行重新規(guī)劃與分配提供了技術(shù)基礎(chǔ)。因此，本文所提魯棒性提升策略在技術(shù)上是可行的。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提的DRC模型及魯棒性提升策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升的有效性，分別在BA網(wǎng)絡(luò)和ARPA網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。本文實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Intel(R)Core(TM)i7-4790 CPU@3.60 GHz計(jì)算機(jī)和PyCharm 2019 Community。

5.1 BA網(wǎng)絡(luò)

利用BA網(wǎng)絡(luò)模型生成實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)，相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=100，初始網(wǎng)絡(luò)包含節(jié)點(diǎn)數(shù)m0=10，每次新增連邊的數(shù)目m=2。

首先分析BA網(wǎng)絡(luò)中相變臨界因子θ與初始負(fù)載參數(shù)τ之間的關(guān)系。采用ML模型時(shí)如圖1(a)所示，所有曲線相交于(1,1.25)，當(dāng)0 <τ<1，θ隨kj增大而減??；當(dāng)1<τ<10，θ隨kj增大而增大。采用DRC模型時(shí)如圖1(b)所示，隨著τ的增加，θ逐漸收斂至1。所有曲線相交于(0.7,1.18)，當(dāng)0 <τ<0.7,θ隨kj增大而減??；當(dāng) 0.7<τ<10,θ隨kj增大而增大。兩種模型下，當(dāng)被攻擊節(jié)點(diǎn)的度k j較大時(shí)，θ會(huì)先增加再減少；當(dāng)被攻擊節(jié)點(diǎn)度kj較小，θ單調(diào)減少。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，根據(jù)被攻擊節(jié)點(diǎn)度k j的不同，增加或減小負(fù)載強(qiáng)度τ可以控制網(wǎng)絡(luò)相變臨界參數(shù)θ的魯棒性優(yōu)化策略是可行的。

BA網(wǎng)絡(luò)采用ML模型時(shí)，網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ與冗余參數(shù)α之間的關(guān)系如圖2所示，隨著α的增加，θ不斷增加；當(dāng)α相同時(shí)，θ隨kj增大而減小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)增加冗余容量的策略并不能很好地抵抗級(jí)聯(lián)失效。采用DRC模型時(shí)，θ與攻擊強(qiáng)度μ之間的關(guān)系如圖3所示，當(dāng)0<μ<2.2時(shí) 被攻擊節(jié)點(diǎn)度kj越大，θ越大；μ>2.2時(shí)被攻擊節(jié)點(diǎn)的度k j越小，網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ越大。隨著攻擊強(qiáng)度μ增加，θ逐漸增加，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文對(duì)于動(dòng)態(tài)控制函數(shù)αj的設(shè)置是完全合理的。

圖1 BA網(wǎng)絡(luò)中θ 隨τ 變化圖

圖2 BA網(wǎng)絡(luò)ML模型中θ 隨α 變化圖

最后分析BA網(wǎng)絡(luò)中魯棒性R與θ之間的關(guān)系，ML模型和DRC模型下實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖4(a)、圖4(b)所示，當(dāng)θ相同時(shí)，被攻擊節(jié)點(diǎn)度kj越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越弱，這是因?yàn)锽A網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性，移除高度關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)后對(duì)網(wǎng)絡(luò)破壞較大。對(duì)比圖4(a)與圖4(b)，被攻擊節(jié)點(diǎn)度kj相同時(shí)ML模型下R值較小，表明DRC模型對(duì)于網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提升是有效的。

圖3 BA網(wǎng)絡(luò)DRC模型中θ 隨μ 變化圖

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=50，其余參數(shù)不變時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)10失效后，不同模型下的級(jí)聯(lián)失效的傳播范圍如圖5所示，其中灰色節(jié)點(diǎn)表示失效節(jié)點(diǎn)，β=1,τ=0.2,α=0.25。

由圖5可知，ML模型下級(jí)聯(lián)失效過程結(jié)束后最終失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量為23，而DRC模型下最終失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量為16，失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少30.43%。因此，DRC模型對(duì)于減小級(jí)聯(lián)失效傳播范圍，提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性是有效的。

圖4 BA網(wǎng)絡(luò)中R 隨θ 變化圖

圖5 BA網(wǎng)絡(luò)ML模型與DRC模型失效傳播對(duì)比圖

5.2 ARPA網(wǎng)絡(luò)

ARPA網(wǎng)絡(luò)是一種主干網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌?1個(gè)節(jié)點(diǎn)和23條連接組成。其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D6所示。

首先分析ARPA網(wǎng)絡(luò)中θ與τ之間的關(guān)系。采用M L 模型時(shí)如圖7(a)所示，所有曲線相交于(1.05,1.5)，當(dāng)0 <τ<1.05，θ隨kj增大而減?。划?dāng)1.05<τ<5，θ隨kj增大而增大。采用DRC模型時(shí)如圖7(b)所示，所有曲線相交于(0.9,1.75)，當(dāng)0<τ<0.9，θ隨kj增大而減??；當(dāng) 0.9<τ<5，θ隨k j增大而增大。兩種模型下，當(dāng)被kj為3或4時(shí)θ單調(diào)增大，當(dāng)kj=2時(shí)θ單調(diào)減小。與圖1相比，θ的值均較大，這是因?yàn)锳RPA網(wǎng)絡(luò)中度為3或4的節(jié)點(diǎn)占了相當(dāng)?shù)谋壤⑶曳植荚谕負(fù)渲械闹匾恢?，失效后引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的概率更高。

圖6 ARPA網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?/p>

圖7 ARPA網(wǎng)絡(luò)中θ 隨τ 變化圖

ARPA網(wǎng)絡(luò)采用ML模型時(shí)，相變臨界因子θ與冗余參數(shù)α之間的關(guān)系如圖8所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)論與BA網(wǎng)絡(luò)中相同。采用DRC模型時(shí)，θ與攻擊強(qiáng)度μ之間的關(guān)系如圖9所示，當(dāng)0 <μ<0.79時(shí)，kj隨網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ增大而增大；當(dāng)μ>0.79時(shí)，k j越大，θ越小。這些結(jié)論與BA模型網(wǎng)絡(luò)中的表現(xiàn)是一致的，也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提模型的正確性。

最后分析ARPA網(wǎng)絡(luò)中魯棒性R與θ之間的關(guān)系。ML模型和DRC模型下實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖10(a)、圖10(b)所示，網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ與網(wǎng)絡(luò)魯棒R負(fù)相關(guān)。相同θ條件下，被攻擊節(jié)點(diǎn)度kj越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越差。對(duì)比圖6(a)與圖6(b)，被攻擊節(jié)點(diǎn)度相同時(shí)，ML模型下網(wǎng)絡(luò)魯棒性值較小。ARPA網(wǎng)絡(luò)魯棒性R與θ之間的關(guān)系與圖7中BA網(wǎng)絡(luò)魯棒性R與θ之間的關(guān)系一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了DRC模型在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的有效性。

在ARPA網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎?，?dāng)節(jié)點(diǎn)3失效后，不同模型下的級(jí)聯(lián)失效的傳播范圍如圖11所示，其中，τ=0.2,α=0.2。由圖11可知，ML模型下級(jí)聯(lián)失效導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)失效，而DRC下最終失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量為8，失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少61.9%。因此，進(jìn)一步驗(yàn)證了DRC模型在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中減小級(jí)聯(lián)失效傳播范圍，提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性的有效性。

6 結(jié)束語(yǔ)

研究外部攻擊條件下網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膭?dòng)態(tài)演化過程，提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文針對(duì)傳統(tǒng)的級(jí)聯(lián)失效模型冗余參數(shù)固定的問題，提出了節(jié)點(diǎn)冗余容量動(dòng)態(tài)控制的思路，主要工作有：

(1)考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊強(qiáng)度與失效過程中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膭?dòng)態(tài)變化提出節(jié)點(diǎn)冗余容量控制函數(shù)，通過這一方法動(dòng)態(tài)地確定節(jié)點(diǎn)所需冗余容量，并建立了DRC級(jí)聯(lián)失效模型。

圖8 ARPA網(wǎng)絡(luò)ML模型中θ 隨α 變化圖

圖9 ARPA網(wǎng)絡(luò)DRC模型中θ 隨μ 變化圖

圖10 ARPA網(wǎng)絡(luò)中R 隨θ 變化圖

圖11 APRA網(wǎng)絡(luò)ML模型與DRC模型失效傳播對(duì)比圖

(2)引入網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子θ，可衡量節(jié)點(diǎn)失效后在其鄰居節(jié)點(diǎn)處引發(fā)級(jí)聯(lián)失效的概率，根據(jù)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布函數(shù)分別推導(dǎo)了ML模型和DRC模型下中網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子表達(dá)式，并給出相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略。

(3)針對(duì)模型網(wǎng)絡(luò)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了級(jí)聯(lián)失效仿真實(shí)驗(yàn)，分析了攻擊強(qiáng)度和節(jié)點(diǎn)負(fù)載等參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)相變臨界因子和網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，驗(yàn)證了本文所提網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升策略和DRC模型應(yīng)對(duì)級(jí)聯(lián)失效的有效性。

下一步的工作是研究邊增加動(dòng)態(tài)控制下網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓^程與網(wǎng)絡(luò)魯棒性。