基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格稀疏恢復(fù)非正側(cè)視陣空時(shí)自適應(yīng)處理算法

章 濤郭駿騁 來(lái) 燃

(中國(guó)民航大學(xué)天津市智能信號(hào)與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津300300)

1 引言

對(duì)于機(jī)載相控陣體制雷達(dá)，空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)通過(guò)聯(lián)合多個(gè)天線多個(gè)脈沖信號(hào)能夠有效地抑制空時(shí)耦合雜波，進(jìn)而增強(qiáng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)性能[1]。STAP方法通過(guò)對(duì)雜波樣本的統(tǒng)計(jì)估計(jì)獲得雜波協(xié)方差矩陣(Clutter Covariance Matrix,CCM)，進(jìn)而計(jì)算自適應(yīng)濾波權(quán)矢量提高輸出信雜比。Reed等人[2]的研究表明，若需保證輸出信雜比較最優(yōu)值下降不超過(guò)3 d B，則至少需要獨(dú)立同分布(Independent Identically Distributed,IID)樣本數(shù)為系統(tǒng)自由度的2倍。當(dāng)天線陣面位于載機(jī)的正側(cè)面，即為正側(cè)視陣時(shí)，各個(gè)距離單元的雜波統(tǒng)計(jì)特性可以認(rèn)為不隨距離變化，IID樣本數(shù)相對(duì)較多。但是，實(shí)際系統(tǒng)中天線有多種架設(shè)方式，對(duì)于非正側(cè)視陣的情況，不同距離的空時(shí)2維雜波譜分布不同，很難獲得足夠的IID樣本[3]。

近年來(lái)，稀疏恢復(fù)方法在信號(hào)處理領(lǐng)域快速發(fā)展[4,5]。由于稀疏恢復(fù)方法的超分辨性，可以在無(wú)自由度損失的情況下進(jìn)行降維處理，已成為機(jī)載雷達(dá)雜波抑制的研究熱點(diǎn)[6,7]。特別是基于雜波空時(shí)功率譜稀疏性的STAP方法，該類(lèi)方法與統(tǒng)計(jì)估計(jì)STAP處理過(guò)程類(lèi)似，利用與待檢測(cè)單位鄰近的數(shù)據(jù)作為雜波樣本估計(jì)CCM來(lái)實(shí)現(xiàn)雜波抑制，進(jìn)而進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)。目前已有的稀疏恢復(fù)STAP方法主要針對(duì)正側(cè)視陣開(kāi)展研究，例如，文獻(xiàn)[8]提出了基于?1范數(shù)最小化的多快拍聯(lián)合稀疏恢復(fù)STAP方法。文獻(xiàn)[9–11]提出了基于欠定系統(tǒng)局部解方法(FOCal Underdetermined System Solution,FOCUSS)的非凸優(yōu)化雜波譜稀疏恢復(fù)方法。針對(duì)稀疏恢復(fù)中正則化參數(shù)難以確定的問(wèn)題，文獻(xiàn)[12–14]提出了基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sp arse Bayesian Learning,SBL)的雜波譜稀疏恢復(fù)方法。

目前已有的稀疏恢復(fù)STAP方法將雜波信號(hào)看作在某些已知基向量下是稀疏的，這些基向量被稱為字典。由于字典是有限且離散的，稀疏恢復(fù)的雜波譜連續(xù)參數(shù)空間需要進(jìn)行離散化處理。離散化字典與連續(xù)的雜波譜參數(shù)間的誤差問(wèn)題被稱作字典失配問(wèn)題，嚴(yán)重影響稀疏恢復(fù)效果[15]。在正側(cè)視陣情況下，由于雜波脊位于空時(shí)平面的對(duì)角線上，即正好落在離散化空時(shí)平面的網(wǎng)格點(diǎn)上，字典失配引起的稀疏恢復(fù)誤差并不明顯。但是當(dāng)陣列為非正側(cè)視架設(shè)時(shí)，雜波脊則大多不會(huì)位于離散化的空時(shí)平面網(wǎng)格點(diǎn)上，字典失配將嚴(yán)重影響稀疏恢復(fù)STAP的雜波抑制性能。雖然一些方法利用先驗(yàn)知識(shí)通過(guò)增加字典網(wǎng)格劃分密度來(lái)減少字典失配誤差，但是過(guò)于密集的字典網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致字典中基向量的相關(guān)性過(guò)強(qiáng)，從而降低稀疏恢復(fù)的性能[16,17]。

Candes等人[18]提出了全變分范數(shù)的概念，可以在連續(xù)參數(shù)空間上進(jìn)行稀疏恢復(fù)，進(jìn)而解決稀疏恢復(fù)中的字典失配問(wèn)題。文獻(xiàn)[19–21]在此基礎(chǔ)上提出了基于原子范數(shù)最小化(Atomic Norm Minimization,ANM)的稀疏恢復(fù)方法，將存在NP-hard問(wèn)題的全變分范數(shù)最小化放松到矩陣秩的?1范數(shù)最小化。這個(gè)方法的提出為存在字典失配問(wèn)題的非正側(cè)視陣稀疏恢復(fù)STAP提供了一種新的思路。本文針對(duì)非正側(cè)視陣雜波譜稀疏恢復(fù)受字典失配影響較大的問(wèn)題，提出了一種基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格稀疏恢復(fù)非正側(cè)視陣STAP方法，并給出了半正定規(guī)劃(Semi-Definite Programming,SDP)和交替方向乘子(Alternating Direction of Method of Multipliers,ADMM)兩種實(shí)現(xiàn)方法。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法在非正側(cè)視陣情況下能夠有效地提高雜波譜稀疏恢復(fù)精度，STAP處理性能優(yōu)于已有字典離散化處理的稀疏恢復(fù)STAP算法。

2 信號(hào)模型

考慮機(jī)載相控陣?yán)走_(dá)非正側(cè)視均勻線陣的情況，如圖1所示，陣列天線由陣元間距為d=λ/2的M個(gè)陣元組成，雷達(dá)工作波長(zhǎng)為λ。載機(jī)平臺(tái)高度為H，速度為vp，且沿x軸運(yùn)動(dòng)。ψ為陣列軸線與飛行方向間的夾角，即偏航角。θ和φ分別為俯仰角和方位角。α為 散射點(diǎn)P與飛行方向間的夾角，β為散射點(diǎn)P與陣列軸線間的夾角。雷達(dá)在每個(gè)相干處理周期內(nèi)發(fā)射N(xiāo)個(gè)脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr。對(duì)K個(gè)距離單元的回波進(jìn)行采樣可以獲得K個(gè)空時(shí)快拍數(shù)據(jù)，每一個(gè)空時(shí)快拍數(shù)據(jù)排列為NM維列向量。

每個(gè)距離單元的雜波可看成多個(gè)雜波散射體空時(shí)響應(yīng)的疊加，第i個(gè)雜波散射體對(duì)應(yīng)的空間導(dǎo)向矢量和時(shí)間導(dǎo)向矢量分別定義為

其 中，X=[x1,x2,···,x K]，雜 波 成 分Xc=[xc,1,xc,2,···,xc,K]，噪聲成分N=[n1,n2,···,n K],C表示復(fù)數(shù)空間。

圖1 機(jī)載雷達(dá)非正側(cè)視陣列幾何結(jié)構(gòu)

雜波子空間可以由雜波秩NR個(gè)空時(shí)導(dǎo)向矢量張成[22]，則有

其中，s(fd,i,fs,i)=ss,i(fs,i)?sd,i(fd,i)表 示第i個(gè)雜波散射體對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量，?表示kronecker積運(yùn)算。

3 空時(shí)功率譜稀疏恢復(fù)及字典失配問(wèn)題

3.1 空時(shí)功率譜稀疏恢復(fù)

基于雜波譜稀疏恢復(fù)的STAP方法將空時(shí)平面分隔為Ns×Nd的網(wǎng)格，其中Ns=ρsM,Nd=ρdN,ρs和ρd稱為網(wǎng)格劃分系數(shù)，且ρs>1,ρd>1。網(wǎng)格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量集合可以表示為

其中，A=[a1,a2,···,a K]∈RNsNd×K稱為稀疏恢復(fù)的支撐集矩陣，其每一個(gè)非0行表示一個(gè)對(duì)應(yīng)的雜波單元。 R 表示實(shí)數(shù)空間。支撐集矩陣A可根據(jù)聯(lián)合稀疏恢復(fù)理論通過(guò)式(7)最優(yōu)化方法獲得

其中，| |·||2,0表 示?2,0混合范數(shù)，| |·||F表示Frobenius范數(shù)，ε表示噪聲水平。

由于?2,0范數(shù)最小化問(wèn)題是NP-hard的，可通過(guò)基于?2,1范 數(shù)或?2,p( 0

3.2 字典失配問(wèn)題

4 基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格稀疏恢復(fù)空時(shí)自適應(yīng)處理

針對(duì)非正側(cè)視陣空時(shí)譜稀疏恢復(fù)受字典失配影響較大的問(wèn)題，本文提出一種基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格稀疏恢復(fù)非正側(cè)視陣STAP方法，記為ANM-STAP方法。

對(duì)于STAP雷達(dá)，雜波子空間可以由空時(shí)導(dǎo)向矢量張成，所以CCM矩陣R可以有如式(8)分解形式

連續(xù)空時(shí)平面上的空時(shí)導(dǎo)向矢量集合可以表示為原子集合A，即

根據(jù)低秩矩陣恢復(fù)理論和雜波的稀疏特性，Xc=[xc,1,xc,2,···,xc,K]∈CN M×K在連續(xù)空時(shí)平面的稀疏恢復(fù)可以用如下?2,1混合范數(shù)形式表示，稱為原子范數(shù)，即

圖2 雜波脊在空時(shí)平面上的分布示意圖

4.1 SDP實(shí)現(xiàn)

式(11)用半正定約束形式表示為

4.2 ADMM實(shí)現(xiàn)

式(11)除了可以用式(12)半正定規(guī)劃求解外，還可以利用交替方向乘子法快速求解，式(11)重新表示為

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 雜波空時(shí)功率譜分析

實(shí)驗(yàn)1為了比較字典失配問(wèn)題在不同偏航角情況下對(duì)稀疏恢復(fù)STAP的影響，陣列首先采用正側(cè)視模式。使用相同的3個(gè)空時(shí)快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù)，從圖3可以看出對(duì)于正側(cè)視陣的情況，3種方法獲得的雜波譜均集中在雜波脊上，無(wú)明顯展寬，能夠有效抑制雜波。這說(shuō)明對(duì)于正側(cè)視陣的情況，雜波脊恰好落在離散化的空時(shí)平面網(wǎng)格點(diǎn)上，因此字典失配對(duì)正側(cè)視陣情況影響并不明顯。

實(shí)驗(yàn)2 陣列采用偏航角ψ=45°模式，由于非正側(cè)視陣雜波譜存在距離依賴性，雜波樣本僅在局部具有平穩(wěn)特性，因此在1個(gè)和3個(gè)空時(shí)快拍數(shù)據(jù)情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。從圖4中可以看出，F(xiàn)OCUSS-STAP方法和SBL-STAP方法在1個(gè)快拍情況下不能有效恢復(fù)出雜波譜，如圖4(a)和圖4(b)所示。在3個(gè)快拍情況下雖然雜波譜的恢復(fù)較1個(gè)快拍有所改善，如圖4(d)和圖4(e)所示，但是雜波譜有明顯的展寬，分辨率不高，雜波抑制性能損失較大。對(duì)比實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的結(jié)果可以看出，字典失配是影響雜波譜稀疏恢復(fù)效果的重要因素，在非正側(cè)視陣情況下，使用離散化字典的稀疏恢復(fù)STAP性能較差。而本文方法在1個(gè)空時(shí)快拍情況和3個(gè)空時(shí)快拍情況下都能獲得較為清晰的雜波譜，如圖4(c)和圖4(f)所示。

圖3 偏航角ψ =0°正側(cè)視陣模式稀疏恢復(fù)雜波譜

圖4 偏航角ψ =45°時(shí)稀疏恢復(fù)的雜波空時(shí)譜

實(shí)驗(yàn)3陣列采用偏航角ψ=90°模式，即雷達(dá)天線處于正前視。從圖5(a)，圖5(b)，圖5(d)，圖5(e)可以看出FOCUSS-STAP方法和SBL-STAP方法恢復(fù)得到的雜波譜中雜波脊較實(shí)驗(yàn)2中情況更為模糊，這主要是由于正前視模式的雜波脊為半圓形，字典失配問(wèn)題更加嚴(yán)重。而如圖5(c)和圖5(f)所示，本文ANM-STAP方法獲得的雜波譜仍然能夠形成較為清晰的雜波脊，僅在歸一化多普勒頻率為?1和1附近略有展寬，這是由于正前視時(shí)的雜波脊在此處多普勒變化較小，受原子范數(shù)稀疏恢復(fù)分辨率影響[21]，雜波譜恢復(fù)性能稍有下降。但是整體上在非正側(cè)視陣情況下本文ANM-STAP方法較FOCUSSSTAP方法和SBL-STAP方法仍然有較大的優(yōu)勢(shì)。

5.2 雜波抑制性能分析

STAP處理的雜波抑制效果通常使用信干噪比損失(Signal to Interference plus Noise Ratio Loss,SINRLoss)來(lái)衡量，其定義為輸出SINR與系統(tǒng)中只存在熱噪聲情況下的輸出SINR的比值，即

其中，w=μR??1st,μ為非0參數(shù)，R?為稀疏恢復(fù)獲得的CCM估計(jì)值。

圖6為進(jìn)行500次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)得到的平均結(jié)果。其中圖6(a)為偏航角ψ=0°即正側(cè)視陣情況的信干噪比損失，從圖6中可以看出3種方法不但在主雜波區(qū)形成窄且深的零陷，其他區(qū)域的信干噪比損失大約為3 dB，這說(shuō)明在正側(cè)視陣情況下字典失配對(duì)于稀疏恢復(fù)的影響較小。圖6(b)和圖6(c)分別是偏航角ψ=45°和ψ=90°兩種非正側(cè)視陣情況，由于1個(gè)快拍進(jìn)行稀疏恢復(fù)時(shí)FOCUSS-STAP和SBL-STAP方法都不能有效形成雜波脊，只比較了使用3個(gè)快拍稀疏恢復(fù)的結(jié)果，可以看出FOCUSSSTAP方法和SBL-STAP方法在低速區(qū)域(多普勒較小區(qū)域)的信干噪比損失都較大，這會(huì)大大降低系統(tǒng)對(duì)低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)性能。而本文ANM-STAP方法在非正側(cè)視陣情況下，用1個(gè)快拍和3個(gè)快拍稀疏恢復(fù)都能在主雜波區(qū)形成較深且窄的零陷，在抑制雜波的同時(shí)，能夠獲得較好的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)性能。

5.3 ANM-STAP計(jì)算復(fù)雜度及收斂性能分析

圖5 偏航角ψ =90°時(shí)稀疏恢復(fù)的雜波空時(shí)譜

圖6 不同偏航角下的信干噪比損失

每次迭代后協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差值由500次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)取平均得到，ADMM實(shí)現(xiàn)方法和SDP實(shí)現(xiàn)方法的收斂性能如圖7所示?？梢钥闯鰞煞N方法收斂后的協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度基本一致，但是ADMM方法進(jìn)行了不到10次迭代后即可收斂，而SDP方法需要大約17次迭代才能收斂。ADMM方法不但每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度較低，而且迭代收斂速度也較SDP方法更快，更能適應(yīng)機(jī)載系統(tǒng)實(shí)時(shí)計(jì)算的要求。

圖7 ANM-STAP兩種實(shí)現(xiàn)方法的收斂性能比較

6 結(jié)束語(yǔ)

非正側(cè)視陣情況下稀疏恢復(fù)STAP受字典失配影響較大，嚴(yán)重影響雜波抑制性能。本文利用原子范數(shù)最小化實(shí)現(xiàn)連續(xù)空時(shí)平面的稀疏恢復(fù)STAP，能夠有效提高非正側(cè)視陣情況下的機(jī)載雷達(dá)雜波抑制性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法在非正側(cè)視正情況下，雜波抑制性能優(yōu)于字典離散化處理的稀疏恢復(fù)STAP方法。