基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

蒙懿 徐慶娟

摘要：股票價(jià)格預(yù)測(cè)一直受到人們的廣泛關(guān)注。本文基于長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）和馬爾科夫鏈（馬氏鏈）構(gòu)建了一個(gè)新的股價(jià)預(yù)測(cè)模型。以2019年1月2日到2020年10月30日大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A（000069）的日收盤(pán)價(jià)為實(shí)證分析對(duì)象，先利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后運(yùn)用馬氏鏈模型對(duì)其殘差進(jìn)行校正。經(jīng)測(cè)試發(fā)現(xiàn)，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-馬氏鏈模型預(yù)測(cè)比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更接近實(shí)際。最后，對(duì)股價(jià)的漲跌趨勢(shì)及運(yùn)動(dòng)周期進(jìn)行了長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：股價(jià)預(yù)測(cè) LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 馬爾科夫鏈

一、引言

全球政治局勢(shì)、國(guó)家宏觀(guān)調(diào)控、金融政策、新冠疫情等多種因素均可導(dǎo)致金融市場(chǎng)的波動(dòng)，進(jìn)而對(duì)股票市場(chǎng)產(chǎn)生重大影響。因此，如何科學(xué)、合理地預(yù)測(cè)股票價(jià)格漲跌趨勢(shì)已受到人們的廣泛關(guān)注，其研究成果也日益豐富。

近年來(lái)，彭燕等[1]利用長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）內(nèi)部的選擇記憶性，對(duì)股票價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)建模與分析，實(shí)現(xiàn)短期的股票預(yù)測(cè)，給投資者提供一定的參考。馮宇旭、李裕梅[2]通過(guò)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并與SVR和Adaboost模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出LSTM預(yù)測(cè)結(jié)果的均方根誤差（RMSE）更低。

受眾多隨機(jī)因素影響，股票價(jià)格起伏不定，對(duì)其短期、符合內(nèi)在機(jī)理、精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)并不容易。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，股價(jià)的波動(dòng)性似乎又呈現(xiàn)出股價(jià)具有某種趨勢(shì)。國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者運(yùn)用馬爾科夫鏈相關(guān)理論對(duì)股票價(jià)格及其走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，王強(qiáng)[3]用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法分析桂林旅游（SZ000978）價(jià)格的波動(dòng)情況;孟銀鳳、李榮華等人[4]利用馬氏鏈對(duì)申華控股（600653）價(jià)格的變動(dòng)情況分析;王新武[5]運(yùn)用馬氏鏈相關(guān)理論對(duì)中國(guó)石油股價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。以上運(yùn)用馬氏鏈相關(guān)理論建立股價(jià)走勢(shì)預(yù)測(cè)模型，給投資者提供了一定的理論參考。

考慮到LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈模型在股價(jià)預(yù)測(cè)中的優(yōu)勢(shì)，本文將以華僑城A（000069）等股票收盤(pán)價(jià)為實(shí)證分析對(duì)象，利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)良性能對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，再運(yùn)用馬爾科夫鏈模型對(duì)其殘差進(jìn)行校正，并對(duì)收盤(pán)價(jià)序列進(jìn)行長(zhǎng)期漲跌趨勢(shì)和運(yùn)動(dòng)周期預(yù)測(cè)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際進(jìn)行對(duì)比分析，以期給廣大投資者提供一定的理論參考。

二、LSTM的結(jié)構(gòu)及原理

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在時(shí)間遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）的基礎(chǔ)上增加了“門(mén)控”結(jié)構(gòu)，可以一定程度上解決RNN處理時(shí)間序列問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的梯度消失或爆炸的問(wèn)題，適合于預(yù)測(cè)時(shí)間序列中間隔和延遲相對(duì)較長(zhǎng)的重要事件[6]。

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由記憶單元和門(mén)控單元所組成的，主要通過(guò)三個(gè)門(mén)即輸入門(mén)（）、遺忘門(mén)（）和輸出門(mén)（）來(lái)實(shí)現(xiàn)信息的保護(hù)和控制。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)t時(shí)刻的工作原理見(jiàn)圖1所示，表示時(shí)刻隱藏狀態(tài)，對(duì)應(yīng)t時(shí)刻的輸入，雙曲正切函數(shù)，為整個(gè)細(xì)胞單元狀態(tài)，，，分別對(duì)應(yīng)遺忘門(mén)、輸入門(mén)、輸出門(mén)。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部機(jī)制可通過(guò)下列公式表示：

其中σ為激活函數(shù)，若結(jié)果為1，則完全保留上一層的信息;若結(jié)果為0，則完全舍棄該信息。，，，分別對(duì)應(yīng)Forget gate、Input gate、cell、Output gate的權(quán)值項(xiàng);，，，分別對(duì)應(yīng)Forget gate、Input gate、cell、Output gate的偏置項(xiàng);為更新時(shí)刻的細(xì)胞狀態(tài)。

三、馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)隨機(jī)過(guò)程方法，概念直觀(guān)且易于實(shí)現(xiàn)。在隨機(jī)時(shí)間序列研究中有著重要的價(jià)值，在醫(yī)療、科技、金融等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用。馬氏鏈模型主要有以下特性[7][8]：

第一，（無(wú)后效性）即t時(shí)刻的狀態(tài)只依賴(lài)t-1時(shí)刻的狀態(tài)，與t-1之前的狀態(tài)無(wú)關(guān)。

第二，馬爾科夫鏈有離散型和連續(xù)型，一般地轉(zhuǎn)移概率不僅與狀態(tài)有關(guān)，還與轉(zhuǎn)移時(shí)間有關(guān)，如果轉(zhuǎn)移概率不依賴(lài)轉(zhuǎn)移時(shí)間的話(huà)，則表示馬爾科夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。

第三，對(duì)齊次馬爾科夫鏈而言，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次方，通過(guò)C-K方程很容易得到。

四、基于LSTM-馬氏鏈的股價(jià)預(yù)測(cè)校正模型

考慮到LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擁有選擇記憶性的優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)階段金融市場(chǎng)中個(gè)別股票價(jià)格無(wú)后效性，基本符合馬爾科夫鏈的特性，因此本文嘗試基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈構(gòu)建股價(jià)預(yù)測(cè)校正模型，具體步驟如下：

步驟1 利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。

步驟1.1 利用標(biāo)準(zhǔn)化方法對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，消除量綱影響。將股票價(jià)格數(shù)據(jù)收縮到區(qū)間，使得訓(xùn)練模型的loss下降更快，可以利用下面的最大-最小標(biāo)準(zhǔn)化公式進(jìn)行歸一：

（7）

其中，代表第i天的收盤(pán)價(jià)，，分別代表該收盤(pán)價(jià)序列的最大值與最小值。

步驟1.2 采用時(shí)間滑動(dòng)窗口，將股票價(jià)格歸一化后的數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。將前一天的股票收盤(pán)價(jià)序列作為輸入樣本，當(dāng)天的收盤(pán)價(jià)序列作為輸出樣本，基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行訓(xùn)練，通過(guò)反歸一化可得預(yù)測(cè)價(jià)格序列。與真實(shí)價(jià)格序列的殘差記為。

步驟2 檢驗(yàn)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的殘差序列是否具有馬爾可夫性。

步驟2.1 根據(jù)區(qū)間范圍及其序列特征將其隨機(jī)劃分為s個(gè)小區(qū)間：[，），[，），…，[，）;

步驟2.2 令=[，），（k=1，2，3，…，s），將視為以，（k=1，2，3，，s）為狀態(tài)空間的隨機(jī)時(shí)間序列;

步驟2.3 構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)是否具有馬爾科夫性，具體如下：

若表示，，…，從狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的頻數(shù)，則頻數(shù)矩陣可記為：

（8）

令

（9）

可得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=，則當(dāng)較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

（10）

服從自由度為的卡方分布。

選定置信水平α，若>，則在該置信水平下，不能拒絕具有馬爾科夫性的零假設(shè)，即具有馬爾科夫性;否則拒絕具有馬爾科夫性的零假設(shè)，即不具有馬爾可夫性。

步驟3 若具有馬爾科夫性，則利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到K個(gè)預(yù)測(cè)值。結(jié)合訓(xùn)練集的預(yù)測(cè)，可得預(yù)測(cè)價(jià)格序列，（K=1，2，3，）。根據(jù)馬氏性及C-K方程[8][9]，以訓(xùn)練集最后一個(gè)交易日殘差作為馬氏鏈的初始狀態(tài)，得到的狀態(tài)概率分布：

，（s=1，2，3，4，5，6;K=1，2，3，…）（11）

均值：

，（K=1，2，3，…）（12）

該均值序列（K=1，2，3，…）是對(duì)該測(cè)試集校正后的股票價(jià)格序列。若不具有馬爾科夫性，則說(shuō)明該股票價(jià)格不適合利用馬氏鏈模型校正。

步驟4 利用步驟2.3中得到的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可預(yù)測(cè)該股票價(jià)格穩(wěn)態(tài)概率下漲跌趨勢(shì)和運(yùn)動(dòng)周期。

五、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源

本文以2019年1月2日到2020年10月30日，大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A（000069）的每日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)（除節(jié)假日外）為實(shí)證分析對(duì)象，共計(jì)443個(gè)，其數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)。該收盤(pán)價(jià)時(shí)序圖如下：

由圖2可知，華僑城A收盤(pán)價(jià)漲跌趨勢(shì)之間具有一定的間隔或延遲，波動(dòng)較大，但在一定程度上也具有周期性。因此，可考慮先用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其收盤(pán)價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，再用馬氏鏈模型進(jìn)行校正。

（二）LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

本文模型利用Python3.6編程實(shí)現(xiàn)，通過(guò)調(diào)用庫(kù)中的Sequential模型構(gòu)建單層LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)前一天數(shù)據(jù)信息預(yù)測(cè)第二天的收盤(pán)價(jià)，選取了華僑城A股票收盤(pán)價(jià)序列前65%（287個(gè)樣本）作為訓(xùn)練集，后35%（156個(gè)樣本）作為測(cè)試集，其輸出樣本個(gè)數(shù)分別為286個(gè)和155個(gè)。通過(guò)微調(diào)參數(shù)，可使模型訓(xùn)練達(dá)到最優(yōu)，從而提高模型的預(yù)測(cè)效果。

為了驗(yàn)證模型的有效性，選取可解釋方差、擬合優(yōu)度（R2）及平均相對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。通過(guò)訓(xùn)練好的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)收盤(pán)價(jià)訓(xùn)練集、測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到華僑城A股票校正前預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖3所示。從圖3（a）容易發(fā)現(xiàn)，華僑城A股票訓(xùn)練集的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值能較好地吻合，其誤差整體都在0上下波動(dòng)，前期和后期偶爾少許波動(dòng)，說(shuō)明預(yù)測(cè)值隨時(shí)間t以真實(shí)值為“軸線(xiàn)”上下波動(dòng)，為后期建立馬爾科夫鏈模型提供了可行性基礎(chǔ)。由圖3（b）可知，通過(guò)微調(diào)參數(shù)后的華僑城A股票測(cè)試集預(yù)測(cè)效果較好。

從表1可知，通過(guò)參數(shù)微調(diào)可得到95.34%左右的可解釋方差值，擬合優(yōu)度達(dá)到95.3%，平均相對(duì)誤差較小，約1.6%，這進(jìn)一步說(shuō)明利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初步預(yù)測(cè)華僑城A股票的收盤(pán)價(jià)是有效的。

（三）基于馬氏鏈模型的進(jìn)一步校正

利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)華僑城A股票收盤(pán)價(jià)的訓(xùn)練集，可得N個(gè)預(yù)測(cè)值。通過(guò)步驟1.2可得殘差的區(qū)間為。通過(guò)圖3（a）易知，其殘差值均圍繞0上下波動(dòng)，偏離超過(guò)10以上的比較少。根據(jù)區(qū)間范圍及其序列特征將其隨機(jī)劃分為6個(gè)區(qū)間（，，），即=[-29，-10），=[-10，-5），=[-5，0），=[0，5），=[5，10），=[10，17]。此時(shí)，是一個(gè)以，（k=1，2，3，，6）為狀態(tài)空間的隨機(jī)時(shí)間序列。

根據(jù)步驟2.3檢驗(yàn)是否具有馬爾科夫性。具體地，利用式（8）可得一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣：

。

利用公式（9）求得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

及為：

=[0.119298 0.273684 0.164912 0.157894? 0.154385 0.129824]。

最后，利用公式（10）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量201.74。取置信度α=0.01，查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到=44.31<201.74，故符合馬氏鏈，其狀態(tài)空間為I={1，2，3，4，5，6}。

下面，將基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，由步驟3可得預(yù)測(cè)值，（K=1，2，3，）。根據(jù)馬氏性及C-K方程[8][9]，以訓(xùn)練集最后一個(gè)交易日誤差作為馬氏鏈的初始狀態(tài)，其狀態(tài)為。記初始狀態(tài)，則的狀態(tài)概率分布和均值方程見(jiàn)步驟3。

當(dāng)K=1時(shí)，股票華僑城A的實(shí)際收盤(pán)價(jià)=268.562，由LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的收盤(pán)價(jià)。由式（12）對(duì)該預(yù)測(cè)值進(jìn)行校正，計(jì)算得到。校正前的相對(duì)誤差為1.575%，經(jīng)過(guò)馬氏鏈校正后的相對(duì)誤差為1.286%，顯然，校正后比校正前的相對(duì)誤差降低了0.29%。同理，對(duì)以后的預(yù)測(cè)值進(jìn)行校正，可得華僑城A股票收盤(pán)價(jià)的預(yù)測(cè)值，與真實(shí)值的比較見(jiàn)圖4。由圖4可知，基于馬氏鏈校正后的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較吻合，這也說(shuō)明基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型對(duì)華僑城A收盤(pán)價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)是有效的。

為進(jìn)一步驗(yàn)證該校正模型的有效性，對(duì)億緯鋰能（300014）、華高科技（000636）、金地集團(tuán) （600383）、塔牌集團(tuán)（002233）、保利地產(chǎn)（600048）5只股票收盤(pán)價(jià)也利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型（校正后）進(jìn)行預(yù)測(cè)校正，并與單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（校正前）預(yù)測(cè)進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)表1。對(duì)比表1中的結(jié)果可知，單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)擬合度都超過(guò)90%，多數(shù)超過(guò)95%，擬合效果較好。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型校正后的結(jié)果，其可解釋方差變化不大、擬合優(yōu)度有所提高，平均相對(duì)誤差明顯降低。當(dāng)然，結(jié)果也發(fā)現(xiàn)，該模型對(duì)這6只股票的短期預(yù)測(cè)較好，因?yàn)楫?dāng)，也就是經(jīng)過(guò)13天之后，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣慢慢趨向平穩(wěn)，導(dǎo)致后期對(duì)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的校正有限。但總體來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)馬氏鏈校正后的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值更加接近，因此，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型預(yù)測(cè)性能更優(yōu)越。

（四）基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-馬氏鏈模型的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)

1.穩(wěn)態(tài)概率下的漲跌趨勢(shì)。首先，對(duì)華僑城A股票的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行長(zhǎng)期漲跌勢(shì)預(yù)測(cè)，并與實(shí)際情況對(duì)比分析。若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣不可約（即當(dāng)N很大時(shí)容易滿(mǎn)足），則由文獻(xiàn)[3][4]可知，存在平穩(wěn)分布使得，且。解齊次線(xiàn)性方程，將I-P進(jìn)行初等變換，可得該方程組的解：=（0.1285，0.2719，0.1452，0.1542，0.1641，0.1361），即為平穩(wěn)分布。因此，穩(wěn)態(tài)概率下該股票收盤(pán)價(jià)下跌的概率為=0.5456，上漲的概率為=0.4544。由圖3（b）可知，從長(zhǎng)期來(lái)看，該支股票下跌的概率大于上漲的概率，預(yù)測(cè)結(jié)果與之是一致的。

2.股價(jià)的周期預(yù)測(cè)。其次，基于馬氏鏈模型對(duì)華僑城A股票的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行周期預(yù)測(cè)。記為收盤(pán)價(jià)從狀態(tài)i開(kāi)始經(jīng)過(guò)時(shí)間單位n之后首次進(jìn)入狀態(tài)j的概率，即。令為狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的平均時(shí)間，，（）滿(mǎn)足方程組[4]。

（13）

解方程組（13）可得，即狀態(tài)1到狀態(tài)6的平均時(shí)間（由跌到漲的平均時(shí)間）;以及，即狀態(tài)6到狀態(tài)1的平均時(shí)間（由漲到跌的平均時(shí)間）。方程組（13）也可表示為：

解得=8.8326，同理可解得=8.3081，=7.7843，=7.3472。

從上述結(jié)果可知，華僑城A股票的收盤(pán)價(jià)在2020年3月11日到2020年10月30日這156個(gè)交易日期間，由狀態(tài)1到狀態(tài)6平均需要9個(gè)交易日，由狀態(tài)6到狀態(tài)1平均需要9個(gè)交易日，即大跌到大漲要9個(gè)交易日，大漲到大跌也要9個(gè)交易日。，說(shuō)明該股票收盤(pán)價(jià)完成一個(gè)短線(xiàn)運(yùn)行周期平均需要18個(gè)交易日。=7.7843，=7.3472狀態(tài)1回到狀態(tài)1，狀態(tài)6回到狀態(tài)6均需要8個(gè)交易日，說(shuō)明該股票收盤(pán)價(jià)短期波動(dòng)較大。類(lèi)似地，對(duì)其它5支股票收盤(pán)價(jià)進(jìn)行漲跌趨勢(shì)和周期預(yù)測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況基本一致。

六、結(jié)束語(yǔ)

本文基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈理論提出一種新的股票價(jià)格預(yù)測(cè)模型，并以大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A股票日收盤(pán)價(jià)為研究對(duì)象進(jìn)行實(shí)證分析?；谌A僑城A股票2019年1月2日到2020年3月10日的日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)，利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)（訓(xùn)練），結(jié)果發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值比較吻合。利用馬氏鏈理論檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該殘差具有馬爾科夫性。選取華僑城A股票2020年3月11日到2020年10月30日的日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)（測(cè)試），基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型進(jìn)行預(yù)測(cè)校正，結(jié)果發(fā)現(xiàn)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)效果好，前者平均相對(duì)誤差1.56%比后者的1.62%更低。 此外，本文對(duì)億緯鋰能 （300014）、華高科技（000636 ）、金地集團(tuán) （600383）、塔牌集團(tuán) （002233）、保利地產(chǎn)（600048）5只股票收盤(pán)價(jià)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其平均相對(duì)誤差都低于2.9%，均比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差低，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文預(yù)測(cè)模型的有效性。

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基金項(xiàng)目：南寧師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目（20180406001）。

作者單位：南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，徐慶娟為通訊作者