探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實(shí)踐

趙 勇

（廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，四川廣安 638000）

0 引言

“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力，也是中華民族最深沉的民族稟賦。”《國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略綱要》［1］指出，要讓創(chuàng)新成為引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力，要推動(dòng)教育創(chuàng)新，把科學(xué)精神、創(chuàng)新思維、創(chuàng)造能力和社會(huì)責(zé)任感的培養(yǎng)貫穿教育全過(guò)程。數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心，是科技創(chuàng)新必不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力的技術(shù)，高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)正在成為共識(shí)［2］。

探索性實(shí)驗(yàn)是指采用科學(xué)思維方法，進(jìn)行大膽設(shè)計(jì)，探索研究的一種開(kāi)放式教學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)實(shí)施的基本程序與科研過(guò)程基本一致［3］。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅要用到數(shù)學(xué)知識(shí)，還要用到非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，按照分析整理的數(shù)據(jù)與信息自行設(shè)定已知條件，將問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)經(jīng)典理論和算法提出解決思路和解決方案。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，訓(xùn)練學(xué)生快速獲取信息和資料、快速了解和掌握新知識(shí)的能力、團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作精神、邏輯思維和開(kāi)放性思考方式，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)——即創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐的有效途徑。

1 探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建

高校數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中，不能停留在營(yíng)造創(chuàng)新的“氛圍”、開(kāi)展創(chuàng)新“活動(dòng)”，而應(yīng)設(shè)計(jì)有探索性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生利用創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐完成任務(wù)并及時(shí)給予有效指導(dǎo)。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與生產(chǎn)、生活實(shí)際緊密結(jié)合，所解決的問(wèn)題沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，量與量之間的關(guān)系不明確，需要學(xué)生自己動(dòng)手去采集、分析、整理數(shù)據(jù)和信息。在教學(xué)實(shí)踐中，利用國(guó)家政策、社會(huì)熱點(diǎn)、生活實(shí)際需求構(gòu)建項(xiàng)目任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，越來(lái)越受到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有一定的挑戰(zhàn)度，沒(méi)有創(chuàng)新就不能完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取了信息歸結(jié)、探求新知、思維創(chuàng)新，最終解決問(wèn)題所帶來(lái)的成就感、獲得感。

探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)構(gòu)建原則上要學(xué)生參與，通過(guò)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)在全校廣泛征集實(shí)際問(wèn)題，由學(xué)生自行查閱資料，擬定實(shí)驗(yàn)方案，與指導(dǎo)教師一起敲定實(shí)驗(yàn)方案，發(fā)布并實(shí)施，學(xué)生自行組隊(duì)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)以課題的形式加以推進(jìn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)、討論，提出解決方案，對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣度、挑戰(zhàn)度和獲得感；要求學(xué)生撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，格式應(yīng)工整，圖文并茂，程序規(guī)范；實(shí)驗(yàn)完成后要總結(jié)匯報(bào)，組織數(shù)模協(xié)會(huì)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，相互交流，取長(zhǎng)補(bǔ)短。

2 探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的案例

結(jié)合成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟(jì)圈這一國(guó)家級(jí)的發(fā)展戰(zhàn)略，形成了優(yōu)化成渝地區(qū)城市群旅游交通路線為任務(wù)的實(shí)驗(yàn)題目：《2019 年新型城鎮(zhèn)化建設(shè)重點(diǎn)任務(wù)》明確將成渝城市群與京津冀城市群、長(zhǎng)三角城市群和粵港澳城市群并列［4］。成渝城市群旅游資源非常豐富，連接旅游城市的高速公路網(wǎng)絡(luò)較為完善，2019 年川渝高速總里程超10 000 km，預(yù)計(jì)到2022 年將達(dá)到12 000 km，高速公路在促進(jìn)交通運(yùn)輸與旅游融合發(fā)展發(fā)揮了重要作用。旅游交通特別是高速公路交通的便利程度，是區(qū)域旅游業(yè)是否發(fā)達(dá)的重要因素。試從旅游一體化發(fā)展、旅行成本最小化的角度，優(yōu)化成渝城市群旅游交通路線。

2.1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化

針對(duì)該問(wèn)題，學(xué)生查閱、整理和分析相關(guān)資料，得到如下結(jié)論：旅游交通路線的選擇是旅行組織最優(yōu)先考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求時(shí)間最少獲得更多的旅游體驗(yàn)、旅行社追求最小的成本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、交通流量等相差不大的情況下，最優(yōu)化路線實(shí)際上就是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線是節(jié)約旅游成本、時(shí)間的最好途徑，也是規(guī)劃旅游線路的首要考慮。于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求遍歷n 個(gè)川渝旅游城市最短的高速公路旅行路線，其中這n 個(gè)城市學(xué)生可以自行選擇。問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化后，學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)的方向明確了，接下來(lái)就是合理假設(shè)和尋求問(wèn)題的解決方案。

2.2 解決問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)

圖是由表示頂點(diǎn)的集合V 和表示頂點(diǎn)之間關(guān)系的集合E組成的，通常表示為G=（V，E），其中，G 表示一個(gè)圖，V是圖G中頂點(diǎn)的有窮非空集合，E 是圖G中邊的有限集合。設(shè)G 為圖，圖的頂點(diǎn)集為V=｛v1，v2，…，vn｝，邊集為E=｛e1，e2，…，en｝，對(duì)圖的每一條邊e=（vi，vj）來(lái)說(shuō)，都對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)wij（可以理解為邊的“長(zhǎng)度”），把wij稱(chēng)為e 的“權(quán)”，這樣的圖G 稱(chēng)為“加權(quán)圖”，其加權(quán)鄰接矩陣L=（lij）n×n可以定義為

圖的用途是將圖中的點(diǎn)和映射關(guān)系反映到現(xiàn)實(shí)生活，例如“頂點(diǎn)”可以對(duì)應(yīng)為旅游交通節(jié)點(diǎn)城市；邊對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)城市公路的長(zhǎng)度，如此便構(gòu)成了一張區(qū)域交通圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網(wǎng)絡(luò)，如果只考慮旅游城市與高速公路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)潢P(guān)系，可將旅游交通路線抽象成一個(gè)圖（Graph），其中旅游城市是圖的頂點(diǎn)；連接旅游城市的高速公路是圖的邊。在圖論中，最短路問(wèn)題通常指求加權(quán)圖中兩個(gè)指定點(diǎn)（一般為不相鄰的點(diǎn)）之間的最短路徑。許多學(xué)者開(kāi)展了最短路問(wèn)題和最短路徑優(yōu)化問(wèn)題的研究，如文獻(xiàn)［5-12］。

0-1 規(guī)劃是決策變量?jī)H取值0 或1 的規(guī)劃模型。0-1 變量可以數(shù)量化地描述諸如開(kāi)與關(guān)、取與棄、有與無(wú)等現(xiàn)象所反映的離散變量間的邏輯關(guān)系、順序關(guān)系，以及互斥的約束條件，因此0-1 規(guī)劃模型非常適合描述和解決如線路設(shè)計(jì)、工廠選址、生產(chǎn)計(jì)劃安排、人員安排、代碼選取、可靠性等人們所關(guān)心的多種問(wèn)題，是運(yùn)籌學(xué)的重要分支［13-14］。

2.3 兩點(diǎn)之間最短路問(wèn)題一般模型

已知無(wú)向加權(quán)圖有n個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)為v1，v2，…，vn，見(jiàn)圖1。

假設(shè)圖G的加權(quán)鄰接矩陣為

其中：lii=0。若vi，vj之間沒(méi)有邊，不直接連通，則lij=∞；若vi，vj之間有邊，則lij=wij，i，j=1，2，…，n。圖1是無(wú)向圖，L0是對(duì)稱(chēng)矩陣，lij=lji。

圖1 有n個(gè)頂點(diǎn)的加權(quán)圖

利用Floyd 算法計(jì)算各頂點(diǎn)之間的最短通路值，其基本思路是：遞推產(chǎn)生一個(gè)矩陣序列L0，L1，L2，…，Lk，…，Ln，Lk（i，j）表示從頂點(diǎn)vi到頂點(diǎn)vj的路徑上所經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)序號(hào)不大于k的最短路徑長(zhǎng)度。建立迭代模型如下：

其中：k是迭代次數(shù)，i，j，k=1，2，…，n。當(dāng)k=n 時(shí)，Ln即是各頂點(diǎn)之間的最短路徑［15-16］。

2.4 遍歷所有頂點(diǎn)的最短路徑一般模型

假設(shè)n個(gè)頂點(diǎn)每2 個(gè)頂點(diǎn)以最短的距離互相連通，dij表示vi到vj的最短距離。設(shè)0-1 矩陣Xij=（xij）n×n，且xij=于是，若每個(gè)點(diǎn)之前只有一個(gè)點(diǎn)，1，i=1，2，…，n；若每個(gè)點(diǎn)之前只有一個(gè)點(diǎn)，則1，j=1，2，…，n。同時(shí)，為避免在一次遍歷n個(gè)點(diǎn)的計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生多于一個(gè)互不相連的回路，加入約束條件，引入額外變量ui（i=1，2，…，n），使得：ui-uj+nxij≤n-1，1 ＜i≠j≤n。對(duì)于此約束條件的解釋是：一方面，vi、vj不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回路，則xij=1 且xji=1，則ui-uj≤-1 且uj-ui≤-1，于是0≤-2，矛盾。另一方面，vi、vj和vk不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回路，則xij=1、xjk=1 且xki=1，于是ui-uj≤-1、uj-uk≤-1 且uk-ui≤-1，三式子相加可得0≤-3，矛盾。

于是可以建立最短路徑的一般模型如下：

2.5 成渝城市群最短旅游交通路線實(shí)際案例

學(xué)生選取川東北地級(jí)市南充、廣安、達(dá)州、遂寧和重慶的合川、沙坪壩、永川、南川、武隆9 個(gè)成渝地區(qū)旅游節(jié)點(diǎn)城市，以高速公路交通線路構(gòu)建城市群旅游路線，9 個(gè)城市交通矢量圖如圖2 所示。

圖2 9個(gè)城市高速公路交通矢量圖

假設(shè)以廣安為起點(diǎn)和終點(diǎn)（即從廣安出發(fā)，旅行完8 個(gè)城市后回到廣安）求解最短交通路線。利用模型（1）、（2）求出遍歷9 個(gè)城市的最短路線。假設(shè)9 個(gè)城市與圖的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1。

表1 9 個(gè)城市與圖的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系

第1 步：根據(jù)任意兩點(diǎn)最短路徑求解模型（1），編寫(xiě)Lingo程序如下：

可以計(jì)算出各個(gè)節(jié)點(diǎn)城市之間的最短距離，見(jiàn)表2。

表2 9 個(gè)節(jié)點(diǎn)城市之間的最短距離

第2 步：根據(jù)遍歷所有頂點(diǎn)的最短路徑求解模型（2），編寫(xiě)Lingo程序：

計(jì)算出最優(yōu)化路線為：v1→v2→v3→v5→v6→v7→v8→v9→v4→v1，即最優(yōu)化的旅游交通路線為廣安→南充→遂寧→合川→沙坪壩→永川→南川→武隆→達(dá)州→廣安，如圖3 所示。

圖3 9個(gè)城市高速最短路徑

3 探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效果

本探索性實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題采用的算法和軟件較多，大致可以歸納為以下幾個(gè)算法和軟件（見(jiàn)表3）。

表3 學(xué)生采用的算法和軟件

學(xué)生基于圖論知識(shí)，積極學(xué)習(xí)、掌握以上算法的基本思路，融匯貫通，創(chuàng)建了切實(shí)可行的模型，比較圓滿(mǎn)地解決了問(wèn)題。對(duì)于參與本實(shí)驗(yàn)的12 個(gè)小組使用的算法情況統(tǒng)計(jì)如表4。

表4 12 個(gè)小組使用的算法、程序統(tǒng)計(jì)

通過(guò)實(shí)施探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐有積極影響，有效培養(yǎng)了大學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)。具體表現(xiàn)在以下3 個(gè)方面：①激發(fā)了學(xué)生好奇心，培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、獨(dú)立自信的良好特質(zhì)，解決了“想不想”的問(wèn)題。探索性實(shí)驗(yàn)來(lái)源于生產(chǎn)生活，沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，沒(méi)有解決的范式和套路，具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心、樹(shù)立學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生不畏困難、勇于挑戰(zhàn)。②訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問(wèn)題的方法，鍛煉了學(xué)生思維能力，解決“能不能”的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)以項(xiàng)目的方式展開(kāi)，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，運(yùn)用新知識(shí)、新技術(shù)、新方法開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中創(chuàng)新運(yùn)用了各種新知識(shí)、新理論和新軟件，進(jìn)一步鍛煉了學(xué)生邏輯思維和開(kāi)放性思考方式，拓展了學(xué)生理論知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。③有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生全身心投入創(chuàng)新實(shí)踐，解決學(xué)生“做不做”的問(wèn)題。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)鍛煉了學(xué)生快速獲取信息和資料的能力，學(xué)生必須快速查閱大量信息和資料，才能對(duì)問(wèn)題有全面、深入地了解，問(wèn)題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化才準(zhǔn)確、具體；實(shí)驗(yàn)中每個(gè)人分工明確，同時(shí)又相互協(xié)作，一起討論實(shí)驗(yàn)方案，充分討論數(shù)學(xué)模型和求解方案，在個(gè)性得到充分彰顯的同時(shí)，更注重團(tuán)隊(duì)協(xié)作。

表5 所示清晰地列出了探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)效果。

表5 探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的影響

近年來(lái)，學(xué)生在全國(guó)大學(xué)生建模大賽中獲得全國(guó)一等獎(jiǎng)2 項(xiàng)，二等獎(jiǎng)5 項(xiàng)，省級(jí)獎(jiǎng)17 項(xiàng)，較探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施之前增加100%；學(xué)生科研近年來(lái)申請(qǐng)實(shí)用新型專(zhuān)利2 項(xiàng)，與教師申報(bào)校級(jí)科研課題3 項(xiàng)，發(fā)表論文5 篇。

4 結(jié)語(yǔ)

相對(duì)于既定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣度、挑戰(zhàn)度和獲得感，有利于學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)。但探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施過(guò)程中也存在一系列問(wèn)題，比如：學(xué)生對(duì)背景資料的查閱、分析、整理不夠重視，知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有完全吃透便急于開(kāi)始實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)報(bào)告的撰寫(xiě)浮躁、低級(jí)錯(cuò)誤較多，如排版、字體字號(hào)不規(guī)范；在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中或多或少存在著依賴(lài)現(xiàn)象，對(duì)問(wèn)題沒(méi)有自行深入學(xué)習(xí)、分析和研究，遇到問(wèn)題便請(qǐng)教老師等。對(duì)于探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，我們將進(jìn)一步規(guī)范流程和要求，完善評(píng)價(jià)體系，注重過(guò)程性評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思維、知識(shí)、理論和實(shí)踐創(chuàng)新，提升學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)，不斷鞏固實(shí)驗(yàn)效果，為培養(yǎng)新時(shí)代創(chuàng)新型人才貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)力量。