虛實結(jié)合的板球系統(tǒng)設(shè)計與教學

郭艷婕，趙 丹，田小靜，要義勇，楊立娟，劉金鑫

（1.西安交通大學a.機械工程學院；b.高端裝備研究院，西安 710049；2.西安航空職業(yè)技術(shù)學院，自動化工程學院，西安 710089）

0 引言

“新工科”強調(diào)學科的實用性、交叉性與綜合性，尤其注重信息通信、電子控制、軟件設(shè)計等新技術(shù)與傳統(tǒng)工業(yè)技術(shù)的緊密結(jié)合［1-4］。板球系統(tǒng)是多變量、非線性、復雜的欠驅(qū)動動力學系統(tǒng)，也是控制理論研究的典型對象，其控制目標是讓一個自由滾動的小球能夠平衡在具有兩個自由度的平板上的特定位置，或者沿一定的軌跡滾動。該系統(tǒng)以圖像作為反饋信息，通過電動機轉(zhuǎn)動讓平板發(fā)生傾斜，從而控制平板上的小球運動軌跡［5-7］。

板球系統(tǒng)作為一個具有兩自由度的機械系統(tǒng)，通常用于對動態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論以及運動控制技術(shù)、數(shù)字圖像處理技術(shù)等課程實驗和研究。板球系統(tǒng)是一個非常典型結(jié)合視覺、運動控制和自動控制技術(shù)的系統(tǒng)，也是培養(yǎng)學生綜合能力的平臺［8-11］。

1 板球系統(tǒng)簡介

1.1 板球系統(tǒng)組成

板球系統(tǒng)實物和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。包括電腦、PCI總線的運動控制卡、帶Gige接口的相機以及板球系統(tǒng)本體。板球系統(tǒng)本體包括2 個電動機及連桿機構(gòu)、圓盤和小球。直流伺服電動機通過偏心輪控制連桿運動，讓圓盤發(fā)生傾斜。圓盤正中心為十字聯(lián)軸器，可以隨著板球的傾斜發(fā)生旋轉(zhuǎn)。相機可以捕獲和讀取小球的位置，通過控制電動機的運動，實現(xiàn)小球位置的控制。

圖1 板球系統(tǒng)組成

1.2 控制系統(tǒng)

（1）相機標定。圖像的表示為像素點，為確定小球的具體空間位置，需要建立圖像與相機之間空間坐標系，為小球的定位準備。本系統(tǒng)中，將X 軸電動機所帶連桿與盤的接觸點與圓盤中心連線設(shè)為X 軸，其中板球水平時，電動機順時針轉(zhuǎn)動，小球滾動方向為X軸正方向；將Y軸電動機所帶連桿與盤的接觸點與圓盤中心連線設(shè)為Y 軸，小球滾動方向為Y 軸正方向。在圓盤上有6 個位置固定點，這6 個點與坐標軸關(guān)系如圖2 所示，這6 個點之間距離見表1。

當板發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，這6 個點坐標發(fā)生變化，球盤繞X軸旋轉(zhuǎn)角度α，繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度β，此時球盤上某點坐標（x，y，z）會從原來的（x0，y0，z0）發(fā)生變化：

圖2 標定點與坐標軸關(guān)系

表1 標定點距離

當α、β的值均為0.1878 rad，根據(jù)傳動比計算此時電動機旋轉(zhuǎn)角度為0.8 rad，此時球盤上6 個標定點坐標發(fā)生變化，根據(jù)式（1）即可計算出坐標點變化值，見表2。

表2 旋轉(zhuǎn)后標定點距離

反方向旋轉(zhuǎn)同樣角度，6 個標定點坐標發(fā)生變化，此時坐標見表3。

表3 旋轉(zhuǎn)后標定點距離

通過電動機的旋轉(zhuǎn)共得到18 個點的坐標（世界坐標及圖像坐標），并根據(jù)這些點的坐標計算出攝像機的內(nèi)外參數(shù)，為后續(xù)的控制提供依據(jù)。

（2）電動機控制。板球系統(tǒng)實時控制如圖3 所示。該系統(tǒng)需要完成對小球在平板位置數(shù)據(jù)的采集，根據(jù)讀取的電動機位置反求此時小球的位置，根據(jù)控制算法計算出響應的控制量并下發(fā)給執(zhí)行機構(gòu)。

圖3 控制流程圖

為了提高執(zhí)行效率，開發(fā)了基于C++的實時控制程序，其核心代碼如下：

2 板球系統(tǒng)理論分析

板球系統(tǒng)通過X、Y 方向各有電動機帶動連桿運動，從而讓小球運動，小球在X、Y 方向上的運動與該方向的電動機密切相關(guān)，如圖4（a）所示。在這里以單個方向的連桿運動為例，如圖4（b）所示，建立板球的傳遞函數(shù)，幫助分析小球的運動。

以板上小球為例，對小球建立動力學方程：

圖4 板球系統(tǒng)的傳遞函數(shù)建立

式中：φ為板在該方向傾角；m為小球重量；R為小球半徑；J=為小球的轉(zhuǎn)動慣量；g 為重力加速度，9.8 m/s2；r為小球運動距離；f0為小球受到摩擦力；σ為小球往下滾動的角加速度。

由于小球設(shè)為純滾動，小球的速度˙r 與小球滾動角速度ω之間存在：

因此，可以得到小球加速度與小球滾動角加速度之間存在：

聯(lián)立式（2）～（5）可得：

由于φ→0，sin φ≈φ，可以得到：

因此可以知道小球的運動距離與板之間傾角傳遞函數(shù)為：

平板在該方向傾斜角度與電動機轉(zhuǎn)動角度之間進行求解。其中連接桿MN之間距離為l；連桿OM間距離為d；O′N間距離為L。圖4（b）中M1、N1為起始點位置，點M2、點N2為運動后的位置，其坐標與電動機角度φ之間存在如下關(guān)系：

從而可以求得：

根據(jù)式（10），可以求得電動機轉(zhuǎn)動角度φ與平板在該方向傾斜角度φ 之間關(guān)系如圖5 所示?？梢姡旊妱訖C轉(zhuǎn)動角度在-1.846～1.394 rad 之間，是近似平滑的一條曲線，但是當超出這個范圍后，電動機轉(zhuǎn)動角度與盤的傾斜角度之間關(guān)系也發(fā)生了改變，因此這個范圍也是電動機運動允許的極限位置。

圖5 電動機轉(zhuǎn)動角度與盤的傾斜角度之間關(guān)系

3 基于根軌跡的虛實結(jié)合實驗項目設(shè)計

在板球系統(tǒng)中，不僅可以驗證圖像處理算法，還可控制小球在平板上的位置。在該實驗平臺上，結(jié)合機械控制工程基礎(chǔ)課程內(nèi)容，開設(shè)綜合性實驗。

該實驗包括2 部分，虛擬仿真與實物控制，通過虛實結(jié)合的方法設(shè)計控制參數(shù)，并比較虛擬仿真結(jié)果與實物控制結(jié)果的區(qū)別。在考核環(huán)節(jié)，引入過程考核，建立實驗項目量規(guī)表。

3.1 虛擬仿真

Simulink是Matlab中的一種可視化仿真工具，采用框圖設(shè)計環(huán)境，可實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析。在該環(huán)境中即可仿真板球系統(tǒng)的控制參數(shù)為實物控制提供依據(jù)［12-13］。

當加入控制環(huán)節(jié)時，通過圖6（a）所示的根軌跡可以確定其增益為0.55，零點為-1 時，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，此時系統(tǒng)的仿真控制框圖如圖6（b）所示?？梢娤到y(tǒng)此時配置了開環(huán)零點-1，配置增益0.55，采用根軌跡方式對系統(tǒng)進行了改善。

圖6 x方向仿真曲線

圖7 為小球在某個方向上的位移階躍響應曲線，其中，橫坐標為仿真時間；縱坐標為小球在該方向上的目標位置。仿真表明，在10 s 時給x 方向干擾，系統(tǒng)會在5 s 內(nèi)達到新的平衡，說明了選取參數(shù)具有良好的穩(wěn)定性。

圖7 x方向階躍響應曲線

3.2 實物對比

為了提高小球的響應速度，采用C++開發(fā)板球控制系統(tǒng)，將根軌跡算法嵌入到控制系統(tǒng)中，從而實現(xiàn)小球的實時響應。該界面包含標定系統(tǒng)，可標定該高度下，圖片像素點位置與空間坐標系關(guān)系，同時還可以顯示圖片，獲取小球?qū)崟r位置，并實時調(diào)整控制參數(shù)，觀察控制結(jié)果。

這里控制參數(shù)與仿真參數(shù)一致，將仿真控制結(jié)果與實際控制結(jié)果進行對比，具體數(shù)值如圖8 所示，可見，當設(shè)定小球位置在中心處時，小球的實際位置在0.28 mm、-0.13 mm處，可以很好滿足控制要求。進一步地對多組數(shù)據(jù)進行分析，表4 為統(tǒng)計多個位置的理論與實際位置，并計算最終的穩(wěn)態(tài)誤差，可見本方法的穩(wěn)態(tài)誤差較小，可以很好地滿足控制要求，達到了最終控制效果。

圖8 實物控制結(jié)果

表4 穩(wěn)態(tài)誤差計算

3.3 實驗考核

板球系統(tǒng)可以設(shè)置為機械控制工程基礎(chǔ)的綜合性實驗，該實驗的考核采用過程考核的方式，實驗劃分的4 部分，將每一部分根據(jù)學生完成情況進行分析。實驗的具體考核見表5。

表5 綜合性實驗量規(guī)表

4 結(jié)語

板球系統(tǒng)結(jié)合圖像、控制于一體系統(tǒng)，學生可以通過該系統(tǒng)直觀地理解圖像處理與控制算法。該系統(tǒng)的研究包括2 個方面：圖像處理方法，通過平板上的固定點在圖像中的像素位置，建立像素點與距離、平板運動的轉(zhuǎn)換矩陣實現(xiàn)位置標定，小球圓心也需要采用圖像處理方法提取出，并建立小球的空間坐標及運動速度；自動控制算法，通過建立小球位置與電動機角度之間的傳遞函數(shù)，通過運動控制算法控制平板上小球到達指定位置或按固定軌跡運動。

在該系統(tǒng)上開設(shè)的虛實結(jié)合的綜合性實驗，將控制技術(shù)應用到實際的機械對象上。激發(fā)學生的學習興趣，增強學生對機械控制的理解能力，培養(yǎng)學生運用控制理論分析問題、解決問題的能力，開闊了視野。