基于靈敏度的六自由度并聯(lián)機構(gòu)誤差分配方法

譚 爽，梁鳳超，陳 龍，林 喆，康建兵

（北京空間機電研究所，北京 100090）

0 引言

由于受到發(fā)射力學(xué)環(huán)境、在軌重力場和溫度場等因素的影響，空間光學(xué)載荷系統(tǒng)入軌后部組件易產(chǎn)生相對位姿失配和面形誤差，導(dǎo)致光學(xué)載荷的探測性能偏離原有設(shè)計、系統(tǒng)探測性能和成像質(zhì)量嚴重衰減［1-2］。對于傳統(tǒng)中小口徑光學(xué)載荷系統(tǒng)，通常采用先進的熱控、輕量化、桁架、重力卸載等技術(shù)手段，弱化入軌后重力場和溫度場變化所造成的影響，從而保證光學(xué)系統(tǒng)的探測性能和成像質(zhì)量［3-5］。而對于大口徑高性能光學(xué)載荷系統(tǒng)，其部組件尺寸更大，受熱力場與重力場變化的影響更敏感，探測性能和成像質(zhì)量對部組件位姿及面形精度的要求更加精確，傳統(tǒng)的輕量化、無熱化等被動技術(shù)手段已無法滿足大口徑高性能光學(xué)載荷的宇航工程需求。針對這一工程難點，國外已采用主動光學(xué)與自適應(yīng)光學(xué)的方法，在光學(xué)載荷系統(tǒng)中增加精密主動調(diào)整控制裝置，在軌矯正部組件的相對位姿失配與面形誤差，確保大口徑高性能光學(xué)載荷在軌運行時的探測性能和成像質(zhì)量［6-8］。在工程實現(xiàn)方面，國外主要采用六自由度并聯(lián)機構(gòu)作為次鏡或拼接主鏡的位姿調(diào)整機構(gòu)［9-11］。六自由度并聯(lián)機構(gòu)有精度高，剛度大，動態(tài)性能好和摩擦小等優(yōu)點［12-14］。

大口徑光學(xué)載荷系統(tǒng)對六自由度并聯(lián)機構(gòu)的精度要求可達到亞微米級與角秒級，對六自由度并聯(lián)機構(gòu)精度指標(biāo)較為嚴格，因此在設(shè)計時必須進行精度分析與誤差分配［15-16］。精度分析是根據(jù)六自由度并聯(lián)機構(gòu)各組成部件的加工誤差和安裝誤差，分析它們對六自由度并聯(lián)機構(gòu)位姿誤差的影響，修改相關(guān)誤差參數(shù)，以達到期望的精度指標(biāo)。誤差分配是根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)位姿精度指標(biāo)的要求，反求應(yīng)分配給各組成部件的制造誤差和安裝誤差，并使其達到一定的均衡。

在并聯(lián)機床的精度分析領(lǐng)域，已經(jīng)有一些學(xué)者進行了探討，但在精度綜合領(lǐng)域，目前研究還較少。在誤差綜合中，由于位姿誤差與鉸點誤差關(guān)系高度非線性與強耦合，在給出精度指標(biāo)要求時，無法利用誤差模型直接求出鉸點誤差。盧強等［17］利用蒙特卡洛法，綜合考慮零部件制造公差和運動副配合間隙誤差，對六腿并聯(lián)機床進行了精度綜合。該方法具有過程清晰、編程簡單的優(yōu)點，但Monte Carlo方法計算精度的可靠性體現(xiàn)在樣本點的容量，對一個位姿，樣本容量為（10～100）×104，如果在全工作空間內(nèi)進行位姿精度分析，其計算量巨大，難以實現(xiàn)。趙永杰等［18］運用誤差獨力作用原理和原始誤差等效原則，將誤差模型線性化，進行誤差綜合，使并聯(lián)機器人精度綜合變得簡單可行，但是忽略了模型的耦合性。趙新華等［19］以6-SPS并聯(lián)機器人機構(gòu)為例，在結(jié)構(gòu)誤差敏感方向建立了桿長誤差與位姿誤差之間的解析關(guān)系，得出誤差影響系數(shù)，該方法在某一位姿時只需要計算一個方程組，就能夠?qū)崿F(xiàn)精確、定量的誤差分析，但沒有考慮鉸點位置誤差關(guān)系，無法為鉸點安裝與制作提供指導(dǎo)依據(jù)。

本文建立六自由度并聯(lián)機構(gòu)誤差模型，并利用誤差模型定義鉸點誤差的靈敏度，給出位姿誤差一定時鉸鏈鉸點位置誤差分配方法，避免了大量運算。該方法簡單高效，適用于六自由度并聯(lián)機構(gòu)鉸點誤差分析。

1 理論基礎(chǔ)

Stewart平臺是典型的六自由度并聯(lián)機構(gòu)，本文研究的是如圖1 所示的6-UCU并聯(lián)機構(gòu)：該機構(gòu)上下平臺以6 個分支相連，每個分支兩端是兩個胡克鉸，中間是一圓柱副。驅(qū)動器推動圓柱副作相對移動，改變各桿的長度，使上平臺變化在空間的位置和姿態(tài)。

圖1 6-UCU型Stewart并聯(lián)機構(gòu)

上下平臺各個鉸鏈點分別記作bi和Bi（i=1，2，…，6），分布為：bi分布在半徑為r的圓上，且b1、b3、b5和b2、b4、b6分別構(gòu)成2 個正三角形，其相對夾角為α，如圖2（a）所示；Bi分布在半徑為R的圓上，且B1、B3、B5和B2、B4、B6分別構(gòu)成2 個正三角形，其相對夾角為β，如圖2（b）所示。零位姿時上下鉸點所在平面之間的距離為六自由度并聯(lián)機構(gòu)的高度H，桿長記為L0。r、α、R、β和H決定了六自由度并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型，為結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖2 Stewart平臺鉸點分布

并聯(lián)機構(gòu)常用的誤差模型在只考慮幾何誤差的情況下，非幾何誤差因素對并聯(lián)機構(gòu)運動精度的影響較小，于是在建立Stewart六自由度并聯(lián)機構(gòu)的誤差模型時可忽略非幾何誤差因素，只考慮安裝誤差、制造誤差和桿長誤差等系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差考慮以下幾點：

（1）安裝誤差。對Stewart并聯(lián)機構(gòu)而言，固定在動平臺與靜平臺上的鉸鏈安裝誤差參數(shù)共有36 個獨立參數(shù)。

（2）制造誤差。鉸鏈本身受加工精度和安裝精度的限制，其回轉(zhuǎn)軸線間并不可能理想的垂直，運動中心不可能重合于一點，這些都影響著鉸鏈的運動精度。

（3）桿長誤差。驅(qū)動支鏈桿在加工過程中受到加工精度的影響，其初始長度也會存在誤差，一共6 個獨立的長度誤差參數(shù)dli（i=1，2，…，6）。

鉸鏈的安裝誤差和制造誤差最終造成鉸鏈旋轉(zhuǎn)鉸點有位置偏差，即鉸點位置誤差，一共有36 個：dcj（Δxbi，Δybi，Δzbi和ΔxBi，ΔyBi，ΔzBi）（i=1，2，…，6，j=1，2，…，12）。因此，對于一般的Stewart 平臺，為了減小標(biāo)定模型的復(fù)雜性，在進行誤差建模的過程中只考慮鉸點誤差和桿長誤差共計42 項獨立的機構(gòu)參數(shù)誤差，并進行誤差數(shù)學(xué)建模。

對上平臺進行歐拉旋轉(zhuǎn)：①首先繞動坐標(biāo)系z 軸轉(zhuǎn)動Ψ；②然后繞動坐標(biāo)系y 軸轉(zhuǎn)動φ；③最后繞動坐標(biāo)系x軸轉(zhuǎn)動θ。

由上平臺向慣性參考坐標(biāo)系投影，可得表示上平臺姿態(tài)的方向余弦陣為

式中：

當(dāng)給定機構(gòu)的各個結(jié)構(gòu)尺寸和動平臺的位姿后，可確定動平臺鉸鏈點在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Pbi，再通過旋轉(zhuǎn)矩陣的變換可求出動平臺鉸鏈點在靜坐標(biāo)系中的位置qbi，即

這時，支桿桿長矢量li可在固定坐標(biāo)系中表示為

式中：li為第i個支桿的桿長；ni為第i 個支桿的單位向量；Bi為靜平臺鉸第i個鉸點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

對式（3）進行全微分，得：

綜合6 個驅(qū)動支桿，式（7）整理成矩陣形式，可得：

式中：

將式（8）整理成六自由度并聯(lián)機構(gòu)的誤差模型：

式中，

dq為動平臺位姿誤差矢量；dl 為6 個支桿的桿長誤差；ds為動、靜平臺鉸鏈的鉸點位置誤差；de是包含dl與ds 42 項獨立的機構(gòu)參數(shù)誤差；J是六自由度并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)存在誤差情況下的誤差傳遞矩陣，即誤差傳遞雅克比矩陣。

2 鉸點誤差分配方法

考慮到桿長誤差可以在控制算法中補償，因此為了簡化誤差分配的難度，在誤差分配時只考慮鉸點誤差，即dl=［0 0 0 0 0 0］，代入式（9）可得：

因為Js不是方形矩陣，無法求逆，因此當(dāng)已知六自由度并聯(lián)機構(gòu)位置與姿態(tài)誤差時，無法根據(jù)式（10）的逆向運算求得鉸點誤差。為解決該問題，引入矩陣奇異值進行精度誤差分析。

為了將六自由度并聯(lián)機構(gòu)每個鉸點誤差與機構(gòu)的位置誤差與姿態(tài)誤差分別對應(yīng)，令：

從式（11）可知，J1j與J2j分別為六自由度并聯(lián)機構(gòu)的第j個鉸點對位置和姿態(tài)的誤差傳遞矩陣，對J1j與J2j進行奇異值分解，分析誤差傳遞特性，可以得到機構(gòu)鉸點誤差和位姿誤差的傳遞特性，即機構(gòu)誤差傳遞靈敏度評價指標(biāo)。

以J1j為例，設(shè)鉸點誤差向量滿足≤ρ，根據(jù)式（11）有

對誤差傳遞矩陣F進行奇異值分解，得

式中：U=［u1，u2，…，um］和V=［v1，v2，…，vm］分別是和的特征向量矩陣，且Σ=［diag（σ1，σ2，…，σm）0］，σi是J1j的奇異值項（σ1≥σ2≥…≥σm≥0）。則J1j的逆矩陣為

式中

將式（14）代入式（12）有：

定義J1j和J2j矩陣的奇異值最大值為并聯(lián)機構(gòu)鉸鏈鉸點靈敏度（EAF），

當(dāng)鉸點位置誤差一定時，靈敏度值越大，對應(yīng)的機構(gòu)位姿誤差也就越大，機構(gòu)位姿精度就越低；反之，當(dāng)位姿誤差一定時，靈敏度值越大，鉸點位置誤差值也就越小，即鉸點精度就越高。

對于六自由度并聯(lián)機構(gòu)，當(dāng)位姿誤差為dq 時，可得鉸點位置誤差dcj應(yīng)滿足：

式中

在復(fù)合運動不同位姿中，對每一個誤差傳遞矩陣，先根據(jù)式（16）計算每個鉸點在相應(yīng)位姿時的EAF，再取整個過程中每個鉸點對應(yīng)的EFA最大值，為整個運動過程中該鉸點的EAF。最后根據(jù)式（17）可求出每個鉸點的位置誤差，用來指導(dǎo)鉸鏈的加工與安裝。

3 某型號六自由度并聯(lián)機構(gòu)的鉸鏈鉸點誤差分析

對于某空間光學(xué)遙感系統(tǒng)中六自由度并聯(lián)機構(gòu)精度要求為平移精度2 μm，旋轉(zhuǎn)精度2″，即19.39 μrad，結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：r=239.51 mm，R=249 mm，H=195.03 mm，α=0.23 rad，β=0.268 rad。

為能夠計算出各個鉸點的EFA，需要讓上平臺運動到所有要求的六維工作空間。為簡化計算量，給定上平臺低頻平移自由度運動規(guī)律與高頻轉(zhuǎn)角自由度運動規(guī)律的復(fù)合運動，如表1 所示。以此為仿真規(guī)律，仿真總時間為60 s。

表1 復(fù)合運動仿真規(guī)律

在復(fù)合運動中，以時間0.1 s為步距，在MATLAB中編程，計算每個鉸點在所有位姿下的靈敏度EAF值，如圖3 所示。由圖可以看出，不同位姿對應(yīng)的靈敏度是不一樣的。但靈敏度數(shù)值不會相差過大，始終在一個數(shù)量級上。取最大值為在該復(fù)合運動中鉸點的EAF，如表2 所示。

圖3 位姿位差對鉸鏈鉸點誤差的靈敏度

表2 運動范圍內(nèi)不同鉸點對應(yīng)的EAF

當(dāng)給出位姿誤差（即動平臺運動精度）時，先合理分配位姿誤差，這里考慮工作范圍內(nèi)，鉸點誤差的占比是一樣的，均勻分配給每個鉸點，則對于鉸點b1，有dqt_b1=dqt/12dqr_b1=dqr/12，其位置誤差在半徑為dqt_b1的包絡(luò)球內(nèi)，姿態(tài)誤差在半徑為dqr_b1的包絡(luò)球內(nèi)。根據(jù)式（16）可以求出鉸點b1位置誤差：

對鉸點b1，其位置誤差應(yīng)該在半徑為0.508 μm 的包絡(luò)球內(nèi)。

同理可求出每個鉸點的位置誤差，如表3 所示，可以知道每個鉸鏈在加工與安裝過程中造成的鉸點位置誤差應(yīng)該在某個包絡(luò)尺寸內(nèi)。

表3 鉸鏈鉸點位置誤差

可以得到，每個鉸點的位置誤差在同個數(shù)量級，相差在0.39%以內(nèi)。在實際應(yīng)用過程中，可以選取任意鉸鏈鉸點進行計算分析。

4 結(jié)語

對于高精度六自由度并聯(lián)機構(gòu)，鉸鏈的加工安裝誤差至關(guān)重要。然而位姿誤差與鉸鏈鉸點誤差關(guān)系具有非線性強耦合多變量等特點，在給定六自由度并聯(lián)機構(gòu)的六個位姿誤差時，無法直接求解出36 個鉸點誤差。文章基于靈敏度提供了一種鉸點誤差分配方法。該方法計算過程清晰，相對簡單，計算量小，在高精度六自由度并聯(lián)機構(gòu)的鉸鏈加工與安裝中給出精度指導(dǎo)與依據(jù)。