基于L1自適應(yīng)控制律的無人機(jī)滾轉(zhuǎn)控制

張 磊，楊鳳田，周文雅，黃 俊

(1.沈陽飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽 110135；2.沈陽航空航天大學(xué)遼寧省通用航空重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136；3.遼寧通用航空研究院，沈陽 110136；4.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024；5.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083)

隨著航空器在無人控制方面的發(fā)展，各種控制算法被廣泛研究，包括PID (proportional integral derivative)控制[1]、線性二次型控制(linear quadratic regulator,LQR)、模糊控制[2]、遺傳算法控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、反饋線性化控制、模型預(yù)測(cè)控制[3]、反步控制[4]和自適應(yīng)控制等。其中設(shè)計(jì)PID控制算法時(shí)，需要先將無人機(jī)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)模型在某些特定狀態(tài)下(如定常水平直線飛行或定常盤旋飛行)簡(jiǎn)化為線性模型，再將縱向和橫側(cè)向解耦，并分別設(shè)計(jì)PID控制律來控制升降舵、油門、副翼和方向舵等操縱機(jī)構(gòu)。盡管PID控制器在設(shè)計(jì)過程中考慮了裕度范圍，但仍然對(duì)數(shù)學(xué)模型的精確程度存在較強(qiáng)的依賴。其PID控制參數(shù)無法根據(jù)無人機(jī)實(shí)際飛行狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整[5]。模糊控制、遺傳算法控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制方法雖然具有較少依賴控制模型精確參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，但其控制系統(tǒng)很難用精確的數(shù)學(xué)原理去描述，很難用系統(tǒng)分析方法去優(yōu)化控制器。而自適應(yīng)控制方法對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部模型參數(shù)和外部干擾信息依賴較少，可以在系統(tǒng)運(yùn)行過程中逐步改善控制，具有一定的適應(yīng)能力。自適應(yīng)控制包括模型參考自適應(yīng)控制(model reference adaptive control,MRAC)和自校正控制等。其中模型參考自適應(yīng)控制針對(duì)存在不確定性的系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)，具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)控制器增益權(quán)重的優(yōu)點(diǎn)，但其控制穩(wěn)定性受參數(shù)和外部干擾因素不連續(xù)性的影響較大。自適應(yīng)滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性和較快的響應(yīng)速度，但存在易抖振缺點(diǎn)[6]。因此，在自適應(yīng)控制方法基礎(chǔ)上加以改進(jìn)的控制算法越來越多地被引入無人機(jī)控制與制導(dǎo)中[7-9]。

L1自適應(yīng)控制律，是在模型參考自適應(yīng)控制算法基礎(chǔ)上，引入低通濾波器將高頻振蕩信號(hào)過濾，進(jìn)而減輕控制律的振蕩，使其既具有良好的適應(yīng)性，又具有良好的魯棒性[10-12]。王俊玲等[13]采用基于線性二次型調(diào)節(jié)器的L1自適應(yīng)控制方法進(jìn)行了無人機(jī)橫側(cè)向控制，仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)跟蹤誤差的快速收斂。薛靜等[14]采用L1自適應(yīng)控制方法進(jìn)行無人機(jī)橫側(cè)向控制，仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器可以適應(yīng)飛機(jī)不確定因素和外部干擾，具有良好的瞬態(tài)性能和魯棒性。胡龍珍等[15]采用L1自適應(yīng)控制方法對(duì)無人機(jī)進(jìn)行俯仰控制，針對(duì)無人機(jī)模型不確定性、舵面效能變化等情況進(jìn)行仿真分析，得出所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的魯棒性能。

針對(duì)存在參數(shù)不確定性的無人機(jī)滾轉(zhuǎn)通道模型，分別設(shè)計(jì)了L1自適應(yīng)控制律和PD控制律，實(shí)現(xiàn)了滾轉(zhuǎn)通道控制，并對(duì)比分析了這兩種控制算法的效果和關(guān)鍵因素。

1 無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

無人機(jī)動(dòng)力學(xué)方程為非線性方程組，為了簡(jiǎn)化控制對(duì)象，采用小擾動(dòng)原理將其化簡(jiǎn)為配平狀態(tài)下的線性方程組，配平條件可為定常水平直線飛行或定常盤旋飛行等。線性化時(shí)可假設(shè)無人機(jī)油門固定不變，沒有風(fēng)干擾，則無人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程可化為小擾動(dòng)方程，即

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：β為側(cè)滑角;p為滾轉(zhuǎn)角速度;r為偏航角速度;φ為滾轉(zhuǎn)角;δa為副翼偏角;δr為方向舵偏角;μe為航跡傾斜角;θe為俯仰角，g為重力加速度;V為速度;A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;B為控制矩陣；E為雅克比矩陣[16];氣流坐標(biāo)軸系內(nèi)力和力矩的量綱導(dǎo)數(shù)定義如下：

若采用副翼控制滾轉(zhuǎn)角，方向舵不參與滾轉(zhuǎn)角控制，方向舵保持中立位置，則可以將式(1)化為

(5)

(6)

2 L1自適應(yīng)控制理論

L1自適應(yīng)控制方法以模型參考自適應(yīng)控制算法為基礎(chǔ)，在控制輸入端添加一個(gè)低通濾波器來濾除高頻干擾信號(hào)。其既具有根據(jù)控制對(duì)象參數(shù)變化而自動(dòng)調(diào)整控制律的優(yōu)點(diǎn)，又具有抗高頻干擾的優(yōu)點(diǎn)，是一種快速魯棒的控制方法[17]。L1自適應(yīng)系統(tǒng)包括四個(gè)部分：被控對(duì)象、狀態(tài)觀測(cè)器、自適應(yīng)律和控制律[18]。

重點(diǎn)考慮包含時(shí)變未知參數(shù)向量的被控對(duì)象的L1自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)。

被控對(duì)象采用狀態(tài)空間形式描述，即

(7)

式(7)中：x(t)為可觀測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t)為控制向量；θ(t)為時(shí)變未知參數(shù)向量；y(t)為輸出向量；c為系統(tǒng)輸出矩陣，其中：

u(t)=u1(t)+u2(t)

(8)

u2(t)=-hTx(t)

(9)

則式(7)可以簡(jiǎn)化為

(10)

設(shè)計(jì)向量h，使Am為Hurwitz矩陣，其表達(dá)式為

Am=A-bhT

(11)

設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器為

(12)

根據(jù)狀態(tài)觀測(cè)器測(cè)得的估計(jì)值和實(shí)際值之間的誤差值，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(13)

式(13)中：Γ為系統(tǒng)的自適應(yīng)增益。

(14)

P為正定對(duì)稱矩陣，并且滿足

(15)

Proj(*,*)為投影算子，且有

Q=QT>0

(16)

設(shè)計(jì)控制向量u1(t)為

(17)

式(17)中：C(s)為低通濾波器；r(t)為參考輸入向量，且有

(18)

H(s)=(sI-Am)-1b

(19)

則可以推導(dǎo)得到

(20)

式中：I為單位矩陣。

低通濾波器C(s)設(shè)計(jì)時(shí)，需要滿足如下條件：

(1)C(s)漸進(jìn)穩(wěn)定，嚴(yán)格正則，且低通增益C(0)=1。

L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System diagram of L1 adaptive control law

3 仿真分析

研究對(duì)象為某型固定翼無人機(jī)，分別利用PID控制律和L1自適應(yīng)控制律實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角控制。重點(diǎn)給出L1自適應(yīng)控制律的設(shè)計(jì)過程。在無人機(jī)定常水平直線飛行時(shí)，無人機(jī)橫側(cè)向動(dòng)力學(xué)方程[19]為

(21)

(22)

求解矩陣A的特征根為-15.295 9、-2.060 4±5.906 2i、-0.022 1，可知系統(tǒng)雖然是穩(wěn)定的，但穩(wěn)定裕度不理想，因此采用極點(diǎn)配置法進(jìn)行調(diào)節(jié)，令hT=[-0.019 5 -1.640 5 -0.040 8 -5.157 5]。

假設(shè)系統(tǒng)模型的時(shí)變未知參數(shù)向量的變化范圍為

|θi(t)|≤0.7,i=1,2,3,4

(23)

圖隨k的變化曲線Fig.2 The simulation curve of with k

根據(jù)圖2可以選定k=600，則低通濾波器為

(24)

假設(shè)無人機(jī)滾轉(zhuǎn)角有1°的初始值，則分別采用L1自適應(yīng)控制方法和PD控制律將滾轉(zhuǎn)角調(diào)整為0°。對(duì)理想模型θT=[0 0 0 0]和變參模型θT=[0 -0.7 0 0]分別進(jìn)行L1自適應(yīng)控制仿真和PD控制仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖3 理想模型θT=[0 0 0 0]和變參模型θT=[0 -0.7 0 0]仿真結(jié)果Fig.3 The simulation results of ideal model θT=[0 0 0 0] and variable parameter model θT=[0 -0.7 0 0]

由圖3可知，仿真中所設(shè)定的時(shí)變未知參數(shù)向量θ(t)對(duì)L1自適應(yīng)控制效果幾乎沒有影響，即L1自適應(yīng)控制能夠很好地克服參數(shù)不確定性的影響；然而，對(duì)時(shí)變未知參數(shù)向量θT=[0 -0.7 0 0]存在時(shí)，PD控制律無法對(duì)該變參模型進(jìn)行良好控制，滾轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)振蕩發(fā)散狀態(tài)，無法回到指令要求的0°。

圖4 理想模型θT=[0 0 0 0]和變參模型θT=[0.7 -0.3 0.7 0.7]仿真結(jié)果Fig.4 The simulation results of ideal model θT=[0 0 0 0] and variable parameter model θT=[0.7 -0.3 0.7 0.7]

由圖4可知，仿真中所設(shè)定的時(shí)變未知參數(shù)向量θ(t)對(duì)L1自適應(yīng)控制效果和PD控制效果都幾乎沒有影響，即L1自適應(yīng)控制和PD控制律均能夠很好地克服這種條件下的參數(shù)不確定性的影響，其中L1控制效果比PD控制效果略好。

與上述過程相似，當(dāng)θT=[-0.7 -0.7 -0.7-0.7]時(shí)，分別對(duì)理想模型和該變參模型進(jìn)行L1自適應(yīng)控制仿真和PD控制仿真，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，仿真中所設(shè)定的時(shí)變未知參數(shù)向量θ(t)對(duì)L1自適應(yīng)控制效果幾乎沒有影響。時(shí)變未知參數(shù)向量θT=[-0.7 -0.7 -0.7 -0.7]存在時(shí)，PD控制的滾轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)振蕩變化狀態(tài)，收斂很慢，無法對(duì)該變參模型進(jìn)行有效的滾轉(zhuǎn)角控制。

按照上文仿真方法，分別對(duì)θ(t)進(jìn)行賦值仿真，得到L1自適應(yīng)控制效果和PD控制效果對(duì)比見表1。

由表1可知，不論θ(t)如何變化，L1自適應(yīng)控制律始終能保持良好的滾轉(zhuǎn)角控制，而PD控制律則只能在一定θ(t)取值范圍內(nèi)保持良好控制能力。在PD控制系統(tǒng)中，θ2對(duì)PD控制系統(tǒng)影響較大。

由式(10)可以推得

(25)

時(shí)變參數(shù)不確定性θ(t)通過與控制矩陣b相

表1 θ(t)分別賦值L1自適應(yīng)控制和PD控制效果Table 1 L1 adaptive control law and PD control law with θ(t) assign values separately

圖5 理想模型θT=[0 0 0 0]和變參模型θT=[-0.7 -0.7 -0.7 -0.7]仿真結(jié)果Fig.5 The simulation results of ideal model θT=[0 0 0 0]and variable parameter model θT=[-0.7 -0.7 -0.7 -0.7]

乘，分別對(duì)側(cè)滑角，滾轉(zhuǎn)角速度，偏航角速度，滾轉(zhuǎn)角的控制效果產(chǎn)生影響。由式(22)可知，本算例無人機(jī)的控制矩陣b中各元素取值分別為b1=0，b2=-175.593 9，b3=15.683 5，b4=0，其中b2絕對(duì)值較大，根據(jù)表1中PD控制效果和式(25)，可以判斷，本算例無人機(jī)的參數(shù)不確定性θ2主要通過b2θ2這個(gè)系數(shù)影響控制系統(tǒng)。根據(jù)式(5)可知，b2θ2對(duì)滾轉(zhuǎn)角速度產(chǎn)生影響，滾轉(zhuǎn)角速度變化后又對(duì)滾轉(zhuǎn)角產(chǎn)生影響，由于PD控制律無法根據(jù)θ2的變化而相應(yīng)做出控制增益調(diào)整，導(dǎo)致PD控制系統(tǒng)受到θ2較大影響。而對(duì)于L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)，雖然時(shí)變參數(shù)不確定性θ(t)也對(duì)該系統(tǒng)產(chǎn)生了相同作用，但L1自適應(yīng)控制律可以根據(jù)θ(t)的變化自動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)節(jié)，只要θ(t)在本文定義集合范圍內(nèi)發(fā)生變化，其滾轉(zhuǎn)角控制效果始終良好。

4 結(jié)論

以某型無人機(jī)橫側(cè)向控制為例，在考慮時(shí)變未知參數(shù)向量θ(t)條件下，分別設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制律和PD控制律，根據(jù)θ(t)變化范圍選取具有代表性的典型值，開展兩種控制律作用下的MATLAB仿真，得到以下結(jié)論。

(1)當(dāng)時(shí)變未知參數(shù)向量在±0.7范圍內(nèi)取值時(shí)，L1自適應(yīng)控制律能夠克服參數(shù)不確定對(duì)控制系統(tǒng)的影響，始終具有良好的滾轉(zhuǎn)角控制效果。

(2)PD控制只能適用于一定范圍內(nèi)的模型參數(shù)變化，尤其對(duì)參數(shù)θ2的變化較為敏感，這是因?yàn)镻D系統(tǒng)無法根據(jù)由于存在不確定參數(shù)θ2導(dǎo)致的滾轉(zhuǎn)角控制回路的變化而做出控制增益調(diào)整。

(3)從仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于某型無人機(jī)滾轉(zhuǎn)角控制，L1自適應(yīng)控制律比PID控制更為有效，魯棒性強(qiáng)，這對(duì)無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值。