三臺(tái)基礎(chǔ)的動(dòng)力特性分析

李子琪, 石志飛

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

古建筑是人類智慧的結(jié)晶和文明進(jìn)步的重要標(biāo)志，在人類發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中具有重要的價(jià)值。中國(guó)古建筑式樣豐富，其中的一系列先進(jìn)制造工法豐富了人類文明的建筑寶庫(kù)。

對(duì)古建筑思想精髓和科學(xué)內(nèi)涵的研究得到越來(lái)越多的關(guān)注。曹峰等[1]研究了環(huán)境溫度、孔隙率、孔徑和初始含水率四個(gè)因素對(duì)北京明長(zhǎng)城青磚毛細(xì)吸水性的影響，指出前三者影響較大，且具有正相關(guān)性。李皓[2]提出了一種基于拉普拉斯濾波算法的古建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移測(cè)量方法，提高了測(cè)量結(jié)果的精度。王謙等[3]采用數(shù)值模擬和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的方法，研究了盾構(gòu)近距離側(cè)穿二七紀(jì)念塔時(shí)控制地表沉降的技術(shù)。周乾等[4-5]分析了太和殿的動(dòng)力特性以及基座對(duì)動(dòng)力特性的影響。然而，現(xiàn)有關(guān)于古建筑的研究，大多工作主要關(guān)注于上部結(jié)構(gòu)，很少關(guān)注古建筑基礎(chǔ)的動(dòng)力特性及其對(duì)上部結(jié)構(gòu)的影響。而實(shí)際上，中國(guó)古建筑之所以能歷久彌新，其堅(jiān)實(shí)的地基基礎(chǔ)可謂功不可沒(méi)。已有研究表明，建筑基礎(chǔ)的動(dòng)力特性對(duì)上部結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有著顯著的影響[6-8]。

故宮中的三大殿坐落在白石包砌成的三層高臺(tái)上(簡(jiǎn)稱“三臺(tái)”)，三臺(tái)下面的基礎(chǔ)通常被稱為三臺(tái)基礎(chǔ)。白麗娟[9]根據(jù)多年的研究指出，三臺(tái)基礎(chǔ)是由黃黏土層-碎磚層-黃黏土層-卵石層-黃黏土層-碎磚層-黃黏土層-卵石層……交替夯筑而成。文獻(xiàn)[10]給出了三臺(tái)基礎(chǔ)的局部剖面圖和實(shí)測(cè)圖，如圖1所示。由圖1(a)可以看出，1～5號(hào)層為地面構(gòu)造層，5～7號(hào)層即為本文分析的三臺(tái)基礎(chǔ)層。

從圖1可以看出，三臺(tái)基礎(chǔ)為層狀結(jié)構(gòu)，并具有明顯的周期性排布特征，目前尚無(wú)關(guān)于三臺(tái)基礎(chǔ)動(dòng)力特性的研究成果。為此，基于周期結(jié)構(gòu)理論，建立由四層材料構(gòu)成的典型單元作為三臺(tái)基礎(chǔ)的分析模型，研究三臺(tái)基礎(chǔ)的動(dòng)力特性，進(jìn)而揭示相關(guān)參數(shù)對(duì)該類基礎(chǔ)動(dòng)力特性的影響規(guī)律。

圖1 三臺(tái)基礎(chǔ)[10]Fig.1 The foundation of three platforms[10]

1 三臺(tái)基礎(chǔ)的工況

位于故宮外朝中路的太和殿、中和殿和保和殿坐落在白石包砌成的三臺(tái)上。三臺(tái)直接坐落在基礎(chǔ)上，該基礎(chǔ)通常被稱為三臺(tái)基礎(chǔ)，如圖2所示。

圖2 故宮三大殿平面圖Fig.2 Plan of the 3 main palaces in the Forbidden City

三臺(tái)上曾進(jìn)行過(guò)鉆孔施工，以便探明三臺(tái)基礎(chǔ)的構(gòu)造。白麗娟[10]指出，鉆孔深度在8.5 m以下有卵石與黏土混在一起，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了地下水。由此可知，三臺(tái)基礎(chǔ)已經(jīng)位于地下水位以下，各層材料均處于水飽和狀態(tài)。因此，研究中將采用飽和土模型。

周乾等[4]對(duì)三臺(tái)各層高度做了詳細(xì)記錄。由上至下各層的高度依次為2.59、1.88、3.66 m，三臺(tái)總高度為8.13 m；同時(shí)，三臺(tái)埋入地下的總厚度為0.86 m。三臺(tái)之上又坐落著三大殿，這些均在三臺(tái)基礎(chǔ)中產(chǎn)生了初壓應(yīng)力。因此，研究中也需要考慮初壓應(yīng)力。

綜上分析，三臺(tái)基礎(chǔ)既處于水飽和狀態(tài)，又受上部宮殿和三臺(tái)共同產(chǎn)生的初壓應(yīng)力作用。考慮到三臺(tái)基礎(chǔ)具有明顯的周期布置特性，在計(jì)及初壓應(yīng)力情況下，建立如圖3所示的典型單元來(lái)研究三臺(tái)基礎(chǔ)的動(dòng)力特性。該典型單元含四層材料，是對(duì)傳統(tǒng)二層層狀周期單元的推廣[11]。各層厚度由上至下依次為10、14、4.5、13.5 cm，并可得單元的周期常數(shù)a=42 cm。

圖3 典型單元示意圖Fig.3 Schematic diagram of typical element

2 三臺(tái)基礎(chǔ)的材料參數(shù)

為了研究三臺(tái)基礎(chǔ)的動(dòng)力特性，除需知道其幾何信息外，還必須知道典型單元各組分的材料參數(shù)。下面通過(guò)相關(guān)文獻(xiàn)，并利用復(fù)合材料理論，首先求得其材料參數(shù)。

2.1 碎磚和黏土

翟福寧[8]總結(jié)了碎磚和黏土的各項(xiàng)參數(shù)，如表1所示。

(1) 采用壁面通氣的氣液兩相沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)存在明顯的氣液分層現(xiàn)象, 氣體不能與液體充分混合， 成為限制其性能提升的重要原因.

表1 飽和碎磚和飽和黏土的參數(shù)Table 1 The parameters of both saturated brick and saturated clay

2.2 卵石土

卵石土的材料參數(shù)與卵石在基體土中的百分含量有密切關(guān)系。在三臺(tái)基礎(chǔ)中，基體土是一樣的，故按照卵石百分含量的不同確定卵石土的各材料參數(shù)。

2.2.1 彈性模量

馬輝等[12]基于均勻應(yīng)變假設(shè)，給出了卵石土等效彈性模量的計(jì)算公式，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性，現(xiàn)擬用該公式確定卵石土的彈性模量。絕大多數(shù)卵石為橢球形[13]，對(duì)單位邊長(zhǎng)的卵石土典型單元，設(shè)其包含一長(zhǎng)、短半軸分別為a和b的卵石橢球，則卵石土等效彈性模量E的表達(dá)式為

(1)

2.2.2 密度

對(duì)卵石百分含量為f的卵石土，設(shè)基體土密度為ρ1，卵石密度為ρ2，則卵石土的密度ρ為

ρ=ρ1(1-f)+ρ2f

(2)

2.2.3 泊松比

(3)

(4)

(5)

在下面的分析中，卵石土的泊松比取其上下邊界值的平均值，即

(6)

式中：K1和K2分別為基體1和基體2的體積模量；G1和G2分別為基體1和基體2的剪切模量。

結(jié)合文獻(xiàn)[10-19]，給出了不同卵石百分含量下卵石土的有關(guān)等效材料參數(shù)，如表2所示。

表2 飽和卵石土參數(shù)Table 2 The parameters of saturated gravel

3 三臺(tái)基礎(chǔ)的初壓應(yīng)力

三臺(tái)基礎(chǔ)的初壓應(yīng)力由三部分組成：基礎(chǔ)自身質(zhì)量、三臺(tái)質(zhì)量和三臺(tái)上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，其中后兩部分為主要部分，本文分析中將忽略基礎(chǔ)自重的貢獻(xiàn)。

3.1 三臺(tái)部分

3.2 上部結(jié)構(gòu)

三大殿坐落在臺(tái)基上，臺(tái)基坐落在三臺(tái)上，這些結(jié)構(gòu)均會(huì)引起三臺(tái)基礎(chǔ)產(chǎn)生初壓應(yīng)力。有資料[4]顯示，古建筑木結(jié)構(gòu)密度為420 kg/m3，臺(tái)基砌體的容重為20 kN/m3。上部結(jié)構(gòu)的其他參數(shù)如表3所示[4,8,20-22]。

表3 三大殿幾何參數(shù)Table 3 Geometric parameter of the 3 main palaces

Yin等[23]研究了沈陽(yáng)清代宮室木框架體積的近似計(jì)算方法，并給出回歸公式，即

(7)

式(7)中：V代表建筑結(jié)構(gòu)總體積；n表示建筑物數(shù)目；Si表示每個(gè)建筑的占地面積。

利用式(8)和表3相關(guān)數(shù)據(jù)，不難求得上部結(jié)構(gòu)和臺(tái)基的總體積，進(jìn)而求得總重力為

G結(jié)+臺(tái)=897.6×420×9.8/1 000+4 257.21×20=

88 838.72 kN

(8)

通過(guò)上述分析，得到了三臺(tái)基礎(chǔ)的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和初壓應(yīng)力，建立了典型單元模型，在此基礎(chǔ)上，下面即可求解三臺(tái)基礎(chǔ)的衰減域并分析相關(guān)因素對(duì)衰減域的影響。

4 三臺(tái)基礎(chǔ)的衰減域及影響因素分析

4.1 模型正確性驗(yàn)證

三臺(tái)基礎(chǔ)處于水飽和狀態(tài)，并且受初壓應(yīng)力作用，利用有限元軟件Comsol Multiphysics 5.3求解衰減域。取卵石土百分含量為60%，通過(guò)退化的方法，驗(yàn)證本文所建分析模型及計(jì)算方法的正確性?；趩蜗嘟橘|(zhì)假設(shè)，取典型單元周期常數(shù)為0.75 m，碎磚層厚度為0.25 m，王萌薇[7]求解了如圖4(a)所示傳統(tǒng)碎磚黏土基礎(chǔ)的衰減域。針對(duì)如圖4(b)所示本文中建立的包含四組分飽和介質(zhì)模型，先驗(yàn)證該模型和計(jì)算方法的合理性。

圖4 碎磚黏土模型Fig.4 The brick and clay model

首先將本文計(jì)算模型的典型單元周期常數(shù)取為0.75 m；層#1和層#2總厚度取為0.25 m，材料均取為碎磚；層#3和層#4總厚度取為0.5 m，材料均取為黏土。其次，將初壓應(yīng)力值和孔隙率均取為零，這樣就將本文所建模型圖4(b)退化為王萌薇所選取的單相土中的典型單元圖4(a)。采用有限元法，給出了基于本文所建模型計(jì)算得到的頻散曲線，如圖5所示。圖5中同時(shí)給出了文獻(xiàn)[7]計(jì)算所得結(jié)果。不難看出，兩者基本一致。

圖5 單相土假設(shè)下基于不同模型所得頻散曲線Fig.5 The dispersion curves based on different models and single-phase soil assumption

在下面的分析中，只需將材料取為飽和介質(zhì)的相關(guān)參數(shù)，將初壓應(yīng)力值取為三臺(tái)基礎(chǔ)實(shí)際的初壓應(yīng)力值，即可求出三臺(tái)基礎(chǔ)的衰減域。

4.2 卵石含量對(duì)衰減域的影響

三臺(tái)基礎(chǔ)中碎磚和黏土的材料參數(shù)如表1所示。目前，尚無(wú)資料給出三臺(tái)基礎(chǔ)卵石土層中卵石的百分含量，因此，基于本文所建模型并采用表2所給參數(shù)，給出了不同卵石含量f對(duì)三臺(tái)基礎(chǔ)第一衰減域上邊界頻率(upper bound frequency，UBF)、下邊界頻率(lower bound frequency，LBF)和衰減域?qū)挾?width of attenuation zone，WAZ)的影響，如圖6所示。

圖6 卵石百分含量對(duì)第一衰減域的影響Fig.6 The influence of the percent of pebble on the first attenuation zone of the foundation of the three platforms

從圖6中可以看出，衰減域受卵石百分含量影響并不大，隨卵石百分含量增加，衰減域?qū)挾壬宰冋?。在通常的分析中，可將卵石土的百分含量取?0%，其對(duì)應(yīng)的第一衰減域?qū)挾葹?54.17～175.38 Hz。

4.3 初壓應(yīng)力對(duì)衰減域的影響

初壓應(yīng)力對(duì)周期結(jié)構(gòu)的衰減域會(huì)產(chǎn)生影響[24]。為考慮初壓應(yīng)力對(duì)衰減域的影響，在此引入初壓應(yīng)力因子η=|σ0/Gs|，其中σ0為初壓應(yīng)力的大小，Gs為黏土的剪切模量。對(duì)本文所建三臺(tái)基礎(chǔ)典型單元，給出了三臺(tái)基礎(chǔ)衰減域隨初壓應(yīng)力因子的變化規(guī)律，如圖7所示。

圖7 衰減域隨初壓應(yīng)力因子的變化Fig.7 Attenuation zone changing with the initial stress factor

從圖7中不難看出，隨初壓應(yīng)力增大，第一衰減域起始頻率和截止頻率均顯著變低，衰減域?qū)挾葍H稍變窄。也就是說(shuō)，增大初壓應(yīng)力值，對(duì)中低頻段振動(dòng)的隔離是有利的。

5 三臺(tái)基礎(chǔ)的頻響分析

圖8 模型頂部頻響曲線Fig.8 Frequency response at the top of the model

6 結(jié)論

(1)三臺(tái)基礎(chǔ)的動(dòng)力特性可通過(guò)分析本文建立的由四層材料組成的典型單元得到，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，三臺(tái)基礎(chǔ)存在頻率衰減域，第一衰減域大致位于154.17～175.38 Hz。

(2)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，隨卵石百分含量增加，衰減域?qū)挾壬宰冋?，但衰減域受卵石百分含量影響并不大；隨著初壓應(yīng)力值的增大，單元的衰減域向低頻移動(dòng)，增大初壓應(yīng)力值有利于在中低頻段形成衰減域。