具有非線性發(fā)生率函數(shù)的隨機(jī)SEIR模型性質(zhì)研究

朱 哲，王 鋒

具有非線性發(fā)生率函數(shù)的隨機(jī)SEIR模型性質(zhì)研究

朱 哲，王 鋒

（萍鄉(xiāng)學(xué)院 工程與管理學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000）

文章研究了一類具有非線性發(fā)生率函數(shù)的隨機(jī)SEIR模型的動力學(xué)行為，利用隨機(jī)微分方程理論探討了隨機(jī)擾動對模型軌跡的影響，最后列舉了一個例子來驗(yàn)證得到的結(jié)論。結(jié)果表明，隨機(jī)擾動有利于抑制疾病的發(fā)生。

SEIR模型；隨機(jī)擾動；滅絕性

1 引言

2020年伊始，新冠肺炎疫情在中國暴發(fā)，隨后肆虐全球，給世界帶來了巨大的災(zāi)難。當(dāng)疫情在武漢暴發(fā)初期，學(xué)者們利用不同傳染病模型對感染人數(shù)進(jìn)行擬合和預(yù)測[1–2]。傳染病模型在疾病的預(yù)防和控制中起著重要的作用，因此很多學(xué)者研究了不同模型的各類性質(zhì)[3–5]。Lan等[5]通過研究SIRS模型的性質(zhì)闡述了醫(yī)院病床等醫(yī)療資源對于疾病控制的重要影響。SEIR模型是傳染病模型重要類型之一，它將群體分為易感者類（S），潛伏期類（E），受感染者類（I），恢復(fù)者類（R）。帶有非線性發(fā)生率函數(shù)的模型可表達(dá)如下：

眾所周知，生活充斥著各種隨機(jī)因素，這些隨機(jī)因素會不同程度的改變事務(wù)原本的軌跡。數(shù)學(xué)中常用布朗運(yùn)動來刻畫這些隨機(jī)因素[5–6]。本文假設(shè)隨機(jī)擾動為按各群體的比例計(jì)，具體形式如下：

本文將研究隨機(jī)模型（3）的動力學(xué)行為。第2節(jié)給出了隨機(jī)微分方程的一些基本知識，第3節(jié)研究了隨機(jī)擾動對模型行為的影響，第4節(jié)舉出例子來驗(yàn)證第3節(jié)所得結(jié)果。

2 預(yù)備知識

3 模型（3）的動力行為

這一節(jié)將研究疾病滅絕性的條件。

對（6）式從0到積分，并同時除以，得

4 數(shù)值模擬

這一節(jié)將列舉例子并給出其軌跡來驗(yàn)證前面所得結(jié)論。

圖1 例1中確定型模型（2）的軌跡

圖2 例1中隨機(jī)模型（3）的軌跡

5 結(jié)論

本文研究了一類具有非線性發(fā)生率函數(shù)的隨機(jī)SEIR模型的動力學(xué)行為，并利用隨機(jī)微分方程理論探討了隨機(jī)擾動對模型軌跡的影響，數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果表明，隨機(jī)擾動有利于疾病的滅絕。

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Study on Properties of Stochastic SEIR Model with Nonlinear Incidence Rate

ZHU Zhe, WANG Feng

(School of Engineering and Management, Pingxiang University, Pingxiang, Jiangxi 337000, China)

The paper studies the dynamic behavior of a class of stochastic SEIR model with nonlinear incidence rate, explores the effects of stochastic perturbations on model trajectories using stochastic differential equation theory, and finally presents an example to verify the obtained conclusions. The results show that the stochastic perturbation is beneficial to suppress the occurrence of the disease.

SEIR model; stochastic perturbation; extinction

O211.6；O29

A

2095-9249（2021）06-0001-05

2020-12-24

江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（GJJ202713）

朱哲（1990—），男，江西萍鄉(xiāng)人，助教，碩士，研究方向：概率統(tǒng)計(jì)及應(yīng)用，金融數(shù)學(xué)。

〔責(zé)任編校：陳楠楠〕