輸電線路圓形截面基礎偏心受拉配筋計算方法

(中國電力工程顧問集團西南電力設計院有限公司，四川 成都 610056)

0 引言

輸電線路中常用的鋼筋混凝土基礎形式包括掏挖基礎、挖孔樁基礎和巖石基礎等，其主柱截面通常為圓形，由于風荷載和角度力的存在，基礎往往會受到上拔荷載，同時存在水平荷載，此時基礎的受力狀態(tài)為偏心受拉。

大多構筑物的基礎只承受壓力，表現(xiàn)為偏心受壓，文獻[1-4]針對鋼筋混凝土圓形截面偏心受壓構件的配筋計算方法進行了探討。而針對鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構件配筋計算方法的研究很少，文獻[5]按原型基本公式求解配筋時，未知量α(對應于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角(rad)與2π的比值)步長極小，可以理解為試算法，計算效率較低。

DLT 5219—2014《架空輸電線路基礎設計技術規(guī)程》[6]條文7.1.3給出了鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構件縱向鋼筋截面面積的計算方法，當偏心距e0不大于計算截面中心至縱向鋼筋截面中心距離的1/2時，可以按照簡化公式計算；否則需要求解超越方程，其計算方法與矩形截面存在巨大差異，不能采用通常的直接解法進行計算，只能依賴于數(shù)值算法。文獻[7]中給出了圖表查系數(shù)法，該圖表即為混凝土結構計算手冊中采用的圖表，該方法計算配筋存在一定的誤差，且不便于工程應用。

本文從鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構件正截面承載力計算方程組出發(fā)，對配筋計算公式進行了整理，提出了高效的鋼筋面積數(shù)值計算方法，并且證明了該方法求解的可靠性和唯一性。

1 基本公式

根據(jù)GB 50010-2010《混凝土結構設計規(guī)范》[7]附錄E.0.5，可以得到沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面偏心受拉構件的正截面受拉承載力計算式：

式中：N為構件的軸心拉力設計值；Nu0為構件的軸心受拉承載力設計值；e0為軸向拉力作用點至截面重心的距離；Mu為構件的正截面受彎承載力設計值；A為圓形截面面積；fy為縱向普通鋼筋的強度設計值；fc為混凝土抗壓強度設計值；As為全部縱向普通鋼筋的截面面積；r為圓形截面的半徑；rs為縱向普通鋼筋重心所在圓周的半徑；α為對應于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角(rad)與2π的比值；αt為縱向受拉普通鋼筋截面面積與全部縱向普通鋼筋截面面積的比值，當α＞0.625時，αt為0；α1為系數(shù)，輸電線路中基礎混凝土強度等級不超過C50，α1取1.0。

在偏心受拉作用下，圓形截面受力簡圖如圖1所示，其中陰影區(qū)為受壓區(qū)。

圖1 圓形截面受力簡圖

由式(1)～式(5)可知，方程組的未知量為As和α，為了得到鋼筋面積，需要求解超越方程組，可采用迭代法求數(shù)值解。

2 計算過程

將公式(1)取等號可得：

式(7)的表達式比較復雜，收斂性證明困難，因此可以從式(4)出發(fā)，假定一個初始鋼筋截面面積As0，通過數(shù)值迭代的方法求解出對應的α，然后將α代入到式(7)即可求解出一個新的鋼筋截面面積As1，再將As0與As1進行比較，如果|As0-As1|達到要求的精度即可終止計算，否則將(As0+As1)/2作為初始值，重復以上計算過程，直至達到要求的計算精度，鋼筋計算面積取最后一步As0和As1的較大值即可。

將α代入到式(7)后，式(7)即為關于As的一元二次方程，計算比較容易，假定B=(l1l2fy-l3Nfy-Ne0fy)，C=-Nl1l2，求解As1的公式為：

為了提高計算效率，初始As0可根據(jù)構造要求取最小配筋面積Asmin，代入式(4)通過迭代法可求解出對應的α，如果式(1)成立，則計算過程結束，不再進行迭代計算，鋼筋面積為最小配筋率控制，有效的規(guī)避了配筋計算面積較小甚至為負的情況。配筋計算過程如圖2所示。

圖2 配筋計算過程

3 迭代方法

計算過程中的關鍵在于當給定一個初始截面面積As0時，如何快速地計算出對應的α，式(4)為非線性方程，不能直接計算，需要采用數(shù)值迭代的方法求解出對應的α。

非線性方程常用的求根方法包括二分法、牛頓法等。二分法通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值，具有線性收斂速度。牛頓法是一種線性化方法，具有二階收斂速度，本文采用收斂速度更快的牛頓法。對于偏心受拉圓形截面，其受壓區(qū)面積所占的比例一般不會太大，在迭代求解α時其初始值可取0.3。牛頓法近似解的表達式為：

如果函數(shù)f(α)在求解區(qū)間(m,n)上連續(xù)、嚴格單調，且f(m)f(n)＜0，這時函數(shù)在區(qū)間(m,n)內有且僅有一個實根，滿足牛頓法的應用條件。

4 算法收斂性證明

從單調性和唯一性出發(fā)，對算法收斂性進行證明。

4.1 單調性證明

為了證明公式(4)的收斂性，將其構造為以下函數(shù)：

由GB 50010—2010《混凝土結構設計規(guī)范》附錄E.0.4可知：

因此可以得到α的取值區(qū)間為0.125≤α＜1，當α＞0.625 時αt等于 0。

將式(9)改寫為關于α的分段函數(shù)：

當0.125≤α≤0.625時：

當 0.625＜α＜1 時 ：

容易看出函數(shù)f(α)在0.625點保持連續(xù)，符合牛頓法的基本要求。其一階導數(shù)計算如下：

當0.125≤α≤0.625時：

當 0.625＜α＜1時 ：

由式(12)和式(13)容易得出，一階導數(shù)f'(α)在整個區(qū)間內存在，且均大于0，因此f(α)是嚴格單調遞增的函數(shù)。一階導數(shù)f'(α)在0.625點并不連續(xù)，說明f(α)在0.625處不光滑，但并不影響此函數(shù)的收斂性，當取到0.625這個點時，取左端或者右端的導數(shù)均能收斂到真解，左端的一階導數(shù)更大，可優(yōu)先取左端的導數(shù)，收斂速度更快。

當采用牛頓法迭代求解α時，近似根的表達式為：

4.2 唯一性證明

為了證明函數(shù)f(α)在區(qū)間內具有唯一的實數(shù)解，可計算區(qū)間的兩個端點值：

架空輸電線路中常用的基礎混凝土等級為C25和C30，縱向普通鋼筋等級為HRB400，根據(jù)JGJ94—2008《建筑樁基技術規(guī)范》條文4.1.1可知，正截面配筋率可取0.65%～0.2%。為了計算出f(0.125)的最大值，混凝土等級取為C30，最小配筋率取為0.2%，可得：

以上過程證明了函數(shù)f(α)在區(qū)間[0.125, 1)內連續(xù)、嚴格單調遞增、有且僅有一個實根，因此給定一個初始鋼筋截面面積以后，可以采用牛頓法求解出式(4)中對應的α。

5 算例

通過兩個算例來驗證本文配筋計算方法的準確性和收斂性，算例一的配筋為最小配筋率控制，算例二的配筋為計算控制。

算例計算對象為承受偏心受拉的圓形截面基礎，基礎樁徑d=1 400 mm，混凝土強度等級為C30，縱向鋼筋等級為HRB400，縱向鋼筋保護層厚度為60 mm，最小配筋率為0.5%，算例均由西南電力設計院有限公司自主開發(fā)的單樁批量快速計算軟件完成。

5.1 算例一

假定軸向拉力N=1 000 kN，偏心距e0=1 000 mm。按照前述計算過程，首先求解出滿足構造要求的最小配筋面積Asmin=7 693 mm2，再通過牛頓法求解出式(4)中對應的α，迭代時初始α可取0.3，迭代過程如表1所示：

表1 算例一迭代過程

由以上迭代過程可知，當?shù)?次時α就達到了較高的精度，將α代入到式(1)可以得到：

因此，式(1)成立，說明此時鋼筋面積由最小配筋率控制，不再進行計算。

5.2 算例二

假定軸向拉力N=2 000 kN，偏心距e0=1 000 mm。由于N＞1 027 kN，所以公式(1)不成立，鋼筋面積為計算控制，將算例一求出的初始Asmin對應的α代入式(8)即可求出新的鋼筋面積As1，如此往復計算直至鋼筋面積達到規(guī)定的精度，迭代過程如表2所示。

表2 算例二迭代過程

由以上迭代過程可知，當?shù)?5次時配筋面積已基本收斂，As1與As0的差異在0.5%，計算精度在工程可接受的范圍內，最終的鋼筋計算面積為15 623 mm2。將最后一個迭代步的α和As1代回到原方程組，計算表明結果吻合，證明了本文計算方法的準確性和可靠性。

6 結語

本文針對輸電線路中常用的圓形截面基礎，提出了基礎偏心受拉時縱向普通鋼筋截面面積的計算方法，并且證明了該計算方法的收斂性和可靠性。算例表明，該方法計算效率高、準確性好，目前已在西南電力設計院有限公司自主開發(fā)的單樁批量快速計算軟件中得到應用。