基于最小構(gòu)造模型的地空瞬變電磁一維正反演技術(shù)研究

張振雄, 易國(guó)財(cái), 王仕興, 郭 明, 何 可, 張賽民, 毛立峰

(成都理工大學(xué) 地球勘探與信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059)

0 引言

地空瞬變電磁法(Ground-airborne TEM)，是采用接地長(zhǎng)導(dǎo)線源供以階躍電流信號(hào)從而在空間產(chǎn)生一次磁場(chǎng)，一次磁場(chǎng)通過(guò)激勵(lì)地下地質(zhì)體感應(yīng)出變化的二次場(chǎng)，通過(guò)空中的接收線圈接收二次場(chǎng)信號(hào)，從而達(dá)到探測(cè)地下目標(biāo)體的目的。地空瞬變電磁系統(tǒng)在上世紀(jì)50年代開(kāi)始研究，直到90年代后才被應(yīng)用于海岸線結(jié)構(gòu)調(diào)查、火山結(jié)構(gòu)調(diào)查、地下斷層調(diào)查等[1-3]。國(guó)內(nèi)的起步研究較晚，陽(yáng)貴紅[4]對(duì)電性源低空探測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，總結(jié)了數(shù)據(jù)預(yù)處理的若干方法；嵇艷鞠[5]用無(wú)人飛艇進(jìn)行了首次試飛探測(cè)，驗(yàn)證了地空瞬變電磁的可行性；李貅[6]提出了地空瞬變電磁逆合成孔徑成像技術(shù)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的單點(diǎn)處理方式；高嵩等[7]提出了地空瞬變電磁信號(hào)的模型, 并在原有噪聲的基礎(chǔ)上加入了無(wú)人機(jī)干擾和接收線圈運(yùn)動(dòng)的噪聲，增加了系統(tǒng)的靈敏度和精確性等。

瞬變電磁的一維正反演技術(shù)在上世紀(jì)40年代-60年代由前蘇聯(lián)人首先實(shí)現(xiàn)，并建立了具體的解釋理論和工作方法，使得瞬變電磁真正進(jìn)入了實(shí)用階段。李吉松等[8]研究了電偶源瞬變測(cè)深的一維正演和視電阻率響應(yīng)；翁愛(ài)華等[9]討論了提高長(zhǎng)偏移距瞬變電磁測(cè)深晚期數(shù)值響應(yīng)計(jì)算精度的計(jì)算方法；閆國(guó)翔[10]對(duì)帶激電效應(yīng)的電性源瞬變電磁法進(jìn)行了一維正反演研究。目前而言，瞬變電磁的二維、三維正反演技術(shù)計(jì)算量過(guò)大，耗費(fèi)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，難以短時(shí)間內(nèi)應(yīng)用于瞬變電磁資料的解釋?zhuān)砸痪S正反演技術(shù)仍是現(xiàn)在瞬變電磁解釋資料的首要選擇。

筆者通過(guò)對(duì)長(zhǎng)導(dǎo)線源一維正演公式的梳理，經(jīng)過(guò)Hankel變換、Gauss積分和頻-時(shí)轉(zhuǎn)換，得出了長(zhǎng)導(dǎo)線源的一維時(shí)間域響應(yīng)公式，并通過(guò)解析解和數(shù)值解的對(duì)比驗(yàn)證了正演程序的準(zhǔn)確性。不同于李鋒平[11]煙圈反演的定性研究和張澎[12]采用最平坦模型約束的自適應(yīng)正則化反演。筆者對(duì)比了三種不同約束模型對(duì)目標(biāo)層的識(shí)別能力，將最小構(gòu)造模型約束下的正則化反演方法，運(yùn)用于某滑坡實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的反演中，結(jié)果表明，最小構(gòu)造約束模型下的自適應(yīng)正則化反演，可以較為準(zhǔn)確地反映工區(qū)的地下電阻率分布，為搭載該方法的地空瞬變電磁系統(tǒng)應(yīng)用于其他工區(qū)開(kāi)了先例。

1 一維正演研究

1.1 正演算法

對(duì)于水平層狀一維頻率域垂直磁場(chǎng)正演公式有：

(1)

式中：Hz為垂直分量的頻率域磁場(chǎng)響應(yīng)(A/m)；ω為采樣角頻率(rad/s)；I為電流強(qiáng)度(A)；L為長(zhǎng)導(dǎo)線源長(zhǎng)度的一半(m)；R為偏移距(m)；rTE是TE模式下的反射系數(shù)；z是接收線圈距離地面的高度(m)；λ是積分變量；J1是一階貝塞爾函數(shù)。

為求得時(shí)間域感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，需對(duì)式(1)進(jìn)行Hankle變換和Gauss積分，然后通過(guò)頻-時(shí)轉(zhuǎn)換得到時(shí)間域感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

筆者通過(guò)G-S變換將地空瞬變電磁頻率域響應(yīng)轉(zhuǎn)化為時(shí)間域響應(yīng)得：

(2)

式中：Vz為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(V)；Km為G-S變換的系數(shù)；Sm是決定于計(jì)算機(jī)位數(shù)的正偶整數(shù)。

1.2 算法正確性驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)比數(shù)值解跟解析解吻合程度和相對(duì)誤差驗(yàn)證正演程序的準(zhǔn)確性。設(shè)定誤差公式為式(3)。

Re= (Sn-Sa)/Sa×100%

(3)

Nabighian等[13]推導(dǎo)出的均勻大地接地長(zhǎng)導(dǎo)線源瞬變電磁響應(yīng)的表達(dá)式為式(4)。

圖2 偏移距1 400 m相對(duì)誤差曲線Fig.2 Relative error curve of 1 400 m

(4)

圖3 偏移距3 000 m數(shù)值解與解析解對(duì)比Fig.3 Comparison of numerical solution and analytic solution with offset of 3000 m

圖4 偏移距3 000 m相對(duì)誤差曲線Fig.4 Relative error curve of 3 000 m

從圖1～圖4可以看出，相同模型下數(shù)值解與解析解的曲線擬合程度較好。偏移距Y=1 400 m的模型中，1 ms～100 ms的相對(duì)誤差在1%以?xún)?nèi)，100 ms以后的相對(duì)誤差值最大只有2.8%；偏移距Y=3 000 m的模型中，1 ms～100 ms的相對(duì)誤差在0.4%以?xún)?nèi)，100 ms以后的相對(duì)誤差值最大只有0.9%，滿(mǎn)足正演精度要求。兩個(gè)模型和Nabighian[13]正演給出的模擬結(jié)果吻合程度較好，從而定量地驗(yàn)證了正演程序數(shù)值計(jì)算的正確性。

1.3 正演響應(yīng)分析

理論設(shè)置電阻率為20 Ω·m和200 Ω·m的均勻半空間模型。線源長(zhǎng)度為1 000 m；發(fā)射電流為20 A；接收線圈有效面積為1000 m2；接收點(diǎn)坐標(biāo)為(0，200，0)，并繪制了其不同時(shí)刻的場(chǎng)值切片圖(圖5、圖6)。

圖5 均勻半空間20 Ω·m正演場(chǎng)值切片F(xiàn)ig.5 Uniform half space 20 Ω·m forward field value

圖6 均勻半空間200 Ω·m正演場(chǎng)值切片F(xiàn)ig.6 Uniform half space 200 Ω·m forward field value

對(duì)比圖5、圖6可以發(fā)現(xiàn)，均勻半空間的電磁場(chǎng)在低阻地質(zhì)體中擴(kuò)散速度慢且場(chǎng)值衰減慢，在高阻地質(zhì)體中擴(kuò)散速度快且場(chǎng)值衰減快。綜合兩張切片圖，隨著時(shí)間增加，正演得到的響應(yīng)值呈指數(shù)衰減，且衰減規(guī)律與Nabighian的煙圈理論相符合[13]。

2 自適應(yīng)正則化反演

2.1 反演原理

目標(biāo)函數(shù)：

φ(m)=φ1(m)+λφ2(m)

(5)

式中：φ(m)為總目標(biāo)函數(shù);φ1(m)為觀測(cè)數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù);φ2(m)為模型約束目標(biāo)函數(shù);λ為正則化因子；m為模型向量。

觀測(cè)數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)φ1(m)可表示為式(6)。

φ1(m)=‖W1(Δd)‖2

(6)

其中:Δd是觀測(cè)數(shù)據(jù)與理論響應(yīng)差向量;W1為數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣。

模型約束目標(biāo)函數(shù)φ2(m)可表示為式(7)。

φ2(m)=‖Wmm‖2

(7)

其中：Wm為模型數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣。

2.2 約束模型的構(gòu)建

Wm作為模型數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣，可以分為最小構(gòu)造模型、最平坦模型和最光滑模型，三種矩陣模型如下：

為了驗(yàn)證不同約束模型對(duì)反演結(jié)果的影響，分別用三種約束模型對(duì)H型和K型地電模型進(jìn)行反演，初始模型均為100 Ω·m的均勻半空間。得到最終結(jié)果見(jiàn)圖7、圖8。

由圖7、圖8可以看出，無(wú)論是中間層為低阻的H型模型或中間層為高阻的K型模型，采用不同約束模型得到的反演結(jié)果都能大致反應(yīng)出模型的真實(shí)值。然而針對(duì)中間層為低阻的H型模型，采用最小構(gòu)造模型約束的反演結(jié)果更精確。針對(duì)中間層為高阻的K型模型，采用最平坦模型約束得到的反演結(jié)果更為精確，在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)不同的目標(biāo)層選擇合適的模型約束。

2.3 正則化因子的選取

正則化因子λ采用陳小斌[14]提出的CMD方案：

(8)

圖7 不同約束模型下H型模型反演結(jié)果Fig.7 H model inversion results under different constraint models

圖8 不同約束模型下K型模型反演結(jié)果Fig.8 K model inversion results under different constraint models

采用這種方案，能同時(shí)滿(mǎn)足觀測(cè)數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)和模型約束目標(biāo)函數(shù)的需求，且不需要設(shè)置正則化因子的初值，對(duì)比常用的正則化方法，減少了計(jì)算量并提高了效率。

2.4 模型修正量及終止條件

根據(jù)總目標(biāo)函數(shù)的極小化原則，可得到反演方程為式(9)。

(9)

其中：Δm為待求的模型修正向量；Jk為當(dāng)前模型的雅克比矩陣。求解可得模型參數(shù)修正量為式(10)。

m=m0+Δm

(10)

反演的終止條件由相對(duì)擬合誤差(RFE)進(jìn)行判斷，RFE定義為式(11)。

(11)

當(dāng)反演擬合差小于RFE或者達(dá)到給定的迭代次數(shù)的時(shí)候反演迭代結(jié)束，從而得到最佳的反演模型。

2.5 反演模擬計(jì)算

為了驗(yàn)證反演程序的準(zhǔn)確性，這里以?xún)蓪覦型地電模型，三層H型地電模型和四層HK型模型為例進(jìn)行了最小構(gòu)造模型約束下的自適應(yīng)正則化反演計(jì)算。

設(shè)置發(fā)射電流為20 A，線源長(zhǎng)度為1 000 m，接收點(diǎn)坐標(biāo)為(0，200，50)。在時(shí)間為0.01 ms～10 ms內(nèi)等對(duì)數(shù)間隔取32個(gè)采樣點(diǎn)，設(shè)定RFE=1.0×10-5，迭代次數(shù)為10次，取擬合差最小的數(shù)據(jù)作為最終反演結(jié)果，初始模型為均勻半空間模型。反演模型參數(shù)如表1所示。

模型反演所得結(jié)果如圖9、圖10、圖11所示。

從圖9～圖11中可以看出，反演結(jié)果曲線與設(shè)定模型擬合程度較好，驗(yàn)證了反演方法的有效性。然而通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，模型的高阻部分?jǐn)M合程度較差，在H模型的起始高阻部分，出現(xiàn)了反演結(jié)果的電阻率值較實(shí)際模型電阻率略高的現(xiàn)象，在HK型模型的中間高阻層出現(xiàn)了反演結(jié)果比實(shí)際模型的電阻率值略低的現(xiàn)象。但是在模型的低阻部分，反演結(jié)果與模型擬合情況較好。說(shuō)明該反演方法對(duì)于低阻層的識(shí)別性要高于高阻層，對(duì)于低阻層的反映值比較真實(shí)。

圖9 D型模型反演結(jié)果圖Fig.9 D model inversion results

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

圖10 H型模型反演結(jié)果圖Fig.10 H model inversion results

圖11 HK型模型反演結(jié)果Fig.11 HK model inversion results

圖12 測(cè)線布置三維地貌圖Fig.12 A three-dimensional geomorphologic map of line layout

圖13 測(cè)線2電磁響應(yīng)曲線Fig.13 Electromagnetic response curve of Line2

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 工區(qū)概況及測(cè)線布置

本次地空瞬變電磁測(cè)線布置如圖12所示，從西北到東南海拔逐漸降低。其中紅色線條表示線源布置，長(zhǎng)度為1 100 m，黃色線條為測(cè)線布置，共計(jì)12條測(cè)線。測(cè)線長(zhǎng)度因高壓線影響，最長(zhǎng)測(cè)線長(zhǎng)度為800 m，最短測(cè)線為600 m，每條測(cè)線間距為50 m，測(cè)線與線源相互平行。

系統(tǒng)由發(fā)射系統(tǒng)和接收系統(tǒng)兩部分組成。本次施工中發(fā)射系統(tǒng)采用TXU-30發(fā)射電流大小為20 A的雙極方波。采用搭載接收機(jī)和感應(yīng)線圈的無(wú)人機(jī)在空中進(jìn)行接收，感應(yīng)線圈的有效面積為1 055 m2,飛行高度為50 m，以2.5 m/s的速度沿著測(cè)線連續(xù)觀測(cè)測(cè)量。

3.2 反演結(jié)果及解釋

采集到的原始數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)據(jù)預(yù)處理后得到電磁響應(yīng)剖面，從電磁響應(yīng)剖面可以初步判定信號(hào)的強(qiáng)度和質(zhì)量。以測(cè)線2為例可以看出信號(hào)的強(qiáng)度較高，滿(mǎn)足反演要求(圖13)。

由于該滑坡的地質(zhì)結(jié)構(gòu)中間層電阻較低，采用最小構(gòu)造模型約束的正則化反演方法進(jìn)行反演工作，得到測(cè)線2的反演結(jié)果和地質(zhì)解釋推斷圖(圖14、圖15)。

圖14 測(cè)線2數(shù)據(jù)反演結(jié)果Fig.14 Inversion results of Line2 measured data

圖15 測(cè)線2地質(zhì)解釋推斷圖Fig.15 Geological interpretation inference map of Line 2

圖16 反演切片圖Fig.16 Inversion section diagram

由圖14可以看出，反演結(jié)果可以較好地反映出滑坡的地下電性結(jié)構(gòu)。圖14的左上部表層呈現(xiàn)出的電阻率值相對(duì)較高，推測(cè)是第四系高阻覆蓋層，中間含水夾層呈現(xiàn)明顯的相對(duì)低阻特征，再向下達(dá)到電阻率較高的以中厚層砂巖為主的基巖層。隨著地勢(shì)的降低，滑坡電阻率呈現(xiàn)上低下高的趨勢(shì)，推測(cè)是滑坡發(fā)生后導(dǎo)致含水坡積物堆積，表層電阻率降低。將已知的地質(zhì)信息結(jié)合反演結(jié)果得到地質(zhì)解釋推斷圖(圖15)，從上到下依次為覆蓋層、強(qiáng)風(fēng)化界線、含水層和基巖層。

將測(cè)線2、測(cè)線3、測(cè)線4聯(lián)合做反演切片得到圖16，可以看出測(cè)線的橫向連續(xù)性較好，三條測(cè)線的電性結(jié)構(gòu)大致相同，測(cè)線-300 m到0 m表層均反映出高阻特征；-300 m到0 m中間目標(biāo)層均呈現(xiàn)低阻特征；0 m到400 m表層為表現(xiàn)出低阻的滑坡體堆積物；-300 m到400 m整體下層是呈現(xiàn)高阻的砂巖層。該結(jié)果與已有的地質(zhì)資料吻合度較好，驗(yàn)證了地空瞬變電磁探測(cè)方法的有效性。

從圖16可以得知，在滑坡區(qū)域使用地空瞬變電磁法來(lái)進(jìn)行滑坡內(nèi)部結(jié)構(gòu)的探測(cè)，為滑坡區(qū)域提供內(nèi)部電性構(gòu)造，對(duì)于滑坡的治理有一定的積極意義。

4 結(jié)論

1)正演計(jì)算時(shí)利用Hankel變換、Gauss積分和頻-時(shí)轉(zhuǎn)換，得出了長(zhǎng)導(dǎo)線源在層狀介質(zhì)中的時(shí)間域響應(yīng)公式，并通過(guò)對(duì)比解析解和數(shù)值解的吻合程度，驗(yàn)證了正演程序的準(zhǔn)確性。

2)通過(guò)對(duì)正則化自適應(yīng)反演公式的推導(dǎo)，分析了不同約束模型對(duì)反演結(jié)果的影響，針對(duì)不同地質(zhì)目標(biāo)要選擇合適的約束模型。經(jīng)理論反演可得該方法對(duì)高阻層的反映有些偏差，對(duì)低阻層的反映較精確的特點(diǎn)。

3)通過(guò)對(duì)滑坡實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的反演研究可以發(fā)現(xiàn)，該方法可以較為準(zhǔn)確地反映工區(qū)的地下電阻率分布，為進(jìn)一步的解釋工作提供了材料，為地空瞬變電磁系統(tǒng)的推廣提供借鑒。

致謝

感謝審稿專(zhuān)家對(duì)本文的審閱及所提寶貴的修改意見(jiàn)，感謝物探化探計(jì)算技術(shù)期刊以及編輯部的審稿、收錄等幫助。