三維大地電磁響應(yīng)各向異性特征研究

王 磊, 岳明鑫,,3, 楊曉冬,, 李 勇, 吳小平

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 地球和空間科學(xué)學(xué)院，合肥 230026；2.中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院 地球物理地球化學(xué)勘查研究所,自然資源部地球物理電磁法探測(cè)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn),廊坊 065000；3.安徽國(guó)科驕輝科技有限公司,合肥 230040)

0 引言

地球介質(zhì)的各向異性現(xiàn)象是普遍存在的[1-4]，微觀上，電導(dǎo)率各向異性與晶體的優(yōu)勢(shì)取向以及地球動(dòng)力學(xué)過(guò)程密切相關(guān),能提供有關(guān)巖體內(nèi)部介質(zhì)裂隙,礦物晶體排列和應(yīng)力場(chǎng)、形變帶特征等信息[5-6]；宏觀上，成礦作用時(shí)地下巖漿活動(dòng)會(huì)引起地殼應(yīng)力變化，進(jìn)而影響含流體微裂隙以及孔隙的定向排列從而引發(fā)強(qiáng)烈的電各向異性特征[7]。因此,研究地下結(jié)構(gòu)的電導(dǎo)率各向異性特征，有助于揭示巖石圈殼幔物質(zhì)的分布特征以及變形機(jī)制，對(duì)于理解構(gòu)造運(yùn)動(dòng)和巖漿活動(dòng)等球動(dòng)力學(xué)過(guò)程具有重要的科學(xué)意義。

大地電磁測(cè)深法(MT)以天然交變電磁場(chǎng)為場(chǎng)源，工作效率高、探測(cè)深度大，可以獲取地下介質(zhì)的電性參數(shù),是深部地球物理探測(cè)的一種主要方法技術(shù)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于尋找地?zé)豳Y源[8]、深部地殼結(jié)構(gòu)研究[9]以及上地幔結(jié)構(gòu)等研究中[10]。現(xiàn)階段大地電磁數(shù)據(jù)的處理主要基于各向同性理論[11-13]，各向同性假設(shè)會(huì)對(duì)大地電磁實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理與解釋帶來(lái)較大的偏差，無(wú)法反應(yīng)真實(shí)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)，甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。現(xiàn)階段野外觀測(cè)數(shù)據(jù)中的某些特征，例如相位超象限現(xiàn)象已經(jīng)被認(rèn)為對(duì)電各向異性結(jié)構(gòu)起到一定的指示意義，然而更多的因電各向異性產(chǎn)生的數(shù)據(jù)特征，需要電各向異性理論模型數(shù)值實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，因此迫切需要研究準(zhǔn)確高效的電各向異性三維正演模擬算法，模擬各向異性地質(zhì)體對(duì)觀測(cè)大地電磁場(chǎng)的影響。

數(shù)值模擬是反演方法研究和數(shù)據(jù)解釋的基礎(chǔ)，關(guān)于電各向異性介質(zhì)的數(shù)值模擬研究最早可以追溯到上世紀(jì)六十年代[14]。Pek等[15]實(shí)現(xiàn)了各向異性介質(zhì)中二維MT有限差分法，解釋了相位超象限現(xiàn)象； Li[16]實(shí)現(xiàn)了各向異性介質(zhì)中二維MT有限元法，能更好的模擬復(fù)雜地下介質(zhì)條件。在三維MT各向異性的數(shù)值模擬方面，目前主要包括積分方程法[17]、有限差分法[18]、有限體積法和有限元法[19]。其中基于有限元方法的MT正演能更好模擬地下不規(guī)則異常體，矢量有限元法因其完美模擬單元邊界上電磁場(chǎng)的不連續(xù)性，并嚴(yán)格滿足散度為零的條件，故在MT數(shù)值模擬領(lǐng)域得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。近幾年，曹曉月等[20]、Liu 等[21]先后提出基于總場(chǎng)的各向異性介質(zhì)中三維MT非結(jié)構(gòu)矢量有限元模擬方法；秦策等[22]、李志旋等[23]先后提出基于二次場(chǎng)的各向同性介質(zhì)三維正演模擬方法，而基于二次場(chǎng)任意各向異性介質(zhì)三維非結(jié)構(gòu)矢量有限元大地電磁正演模擬尚少見(jiàn)報(bào)道。

筆者從麥克斯韋方程出發(fā)，推導(dǎo)了任意各向異性介質(zhì)中三維大地電磁的二次場(chǎng)變分方程，使用非結(jié)構(gòu)矢量有限元法進(jìn)行求解，對(duì)于大型稀疏線性方程組的求解，選用直接求解器PARDISO。使用本算法計(jì)算COMMEMI模型[24]和二維各向異性模型，與前人已發(fā)表結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)板狀體模型計(jì)算傾斜各向異性條件下的MT響應(yīng)，為突顯非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)球型異常體模型并計(jì)算其在主軸各向異性條件下的MT響應(yīng)，分析異常體主軸電導(dǎo)率對(duì)視電阻率的影響，詳細(xì)討論了水平各向異性條件下，主軸電導(dǎo)率、歐拉角對(duì)視電阻率的影響。

1 二次場(chǎng)的三維MT正演算法

假設(shè)時(shí)諧因子為e-iωt，頻率域的麥克斯韋方程為：

(1)

(2)

電導(dǎo)率各向異性可以由各向異性參數(shù)σx、σy、σz，即αs、αd、αl三個(gè)主軸分量和三個(gè)歐拉角來(lái)表示。以電場(chǎng)為例，式(1)可以寫(xiě)成雙旋度方程如下：

(3)

(4)

這里背景模型采用一維層狀介質(zhì)模型。聯(lián)合式(3)、式(4)，不考慮介電常數(shù)的變化，可得二次場(chǎng)方程：

(5)

(6)

模型空間可以離散為四面體單元，如圖1所示。四面體單元內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)可以近似表達(dá)為式(7)。

圖1 四面體單元及棱邊編號(hào)圖Fig.1 Diagram for tetrahedron element and its edge numbers

(7)

其中：ei表示第i條邊上的電場(chǎng)值；Ni為型矢量形函數(shù)[26]表達(dá)式為式(8)。

Ni=(Li1Li2-Li2Li1)li

(8)

將式(7)、式(8)帶入式(6)，消去變分項(xiàng)可得：

(9)

其中：

(10)

計(jì)算四種單元積分，將結(jié)果帶入式(9)。一次場(chǎng)值Ep由解析公式計(jì)算，得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的一次場(chǎng)值，使用投影法將節(jié)點(diǎn)上一次場(chǎng)值轉(zhuǎn)化到每條棱邊上。將單元?jiǎng)偠染仃嚭铣蔀榭傮w剛度矩陣，表達(dá)式為式(11)。

KEs=S

(11)

式中:K為大型對(duì)稱稀疏矩陣，采用CSR格式進(jìn)行存儲(chǔ)以節(jié)約內(nèi)存空間,為獲得快速穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，選用PARDISO直接求解器進(jìn)行方程組求解。

2 MT響應(yīng)計(jì)算

由式(11)可以得到計(jì)算域內(nèi)每條棱邊上的二次場(chǎng)值，帶入式(1)可得二次電場(chǎng)值。進(jìn)而通過(guò)式(7)可以得到任意測(cè)點(diǎn)的二次場(chǎng)值，將其與此點(diǎn)的一次場(chǎng)相加，即得總場(chǎng)值。另外，各向異性介質(zhì)中的電磁場(chǎng)一般不能解耦，故阻抗張量Zxx與Zyy一般不為零，這里在兩個(gè)正交源下分別模擬得到兩組數(shù)據(jù)，求解阻抗，公式如下：

(12)

式中：下角標(biāo)1和2分別表示x、y方向的源。最后可以通過(guò)式(13)計(jì)算視電阻率與相位：

(13)

圖2 一維層狀模型示意圖Fig.2 Diagram of one-dimensional layered model

圖3 一維層狀解析解與模擬結(jié)果對(duì)比Fig.3 1D layered analytical solution compared with simulation

3 算法驗(yàn)證

3.1 一維層狀解析解

使用一維層狀解析解來(lái)驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性。一維層狀模型示意圖如圖2所示，對(duì)比結(jié)果如圖3所示，可以看到對(duì)于不同頻點(diǎn)，本算法模擬結(jié)果與解析結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性。

3.2 COMMEMI-3D1模型

一維層狀介質(zhì)和簡(jiǎn)單二維模型具有解析解，一般的三維模型很難得到其解析解，因此對(duì)于三維模型，當(dāng)不同的數(shù)值模擬方法得到不同的結(jié)果時(shí)，需要一個(gè)客觀標(biāo)準(zhǔn)COMMEMI(Comparison of Modeling Methods for Electroma -gnetic Induction)是一個(gè)眾多學(xué)者參與的國(guó)際合作項(xiàng)目[24]，各個(gè)機(jī)構(gòu)采用不同的數(shù)值模擬方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)模型的MT響應(yīng)，為新的算法提供一個(gè)對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)。

圖4 COMMEMI-3D1模型Fig.4 COMMEMI-3D1 model(a)YOX剖面;(b)XOZ剖面

圖5 模擬結(jié)果與前人結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparisons of modelling results and previous results(a)x測(cè)線結(jié)果；(b)x測(cè)線結(jié)果;(c)y測(cè)線結(jié)果；(d)y測(cè)線結(jié)果

筆者采用COMMEMI-3D1模型驗(yàn)證三維正演算法的正確性。模型如圖4所示，背景電阻率為100 Ω·m，異常體電阻率為0.5 Ω·m，測(cè)線布置為過(guò)原點(diǎn)的沿x、y軸兩條測(cè)線，模型生成186 627個(gè)非結(jié)構(gòu)四面體單元，設(shè)置頻點(diǎn)為0.1 Hz，圖5顯示本文算法計(jì)算結(jié)果與前人結(jié)果相吻合，曲線平滑且落在誤差區(qū)間內(nèi)，驗(yàn)證了本算法對(duì)于三維模型模擬的正確性。

3.3 水平各向異性模型

為了驗(yàn)證算法對(duì)各向異性介質(zhì)模擬計(jì)算的準(zhǔn)確性，參考Pek等[15]設(shè)計(jì)了一個(gè)較為復(fù)雜的二維各向異性模型(圖6)，各向異性塊體出露地表，下方與各向異性水平層相接，上下兩個(gè)異常體的各向異性水平主軸相互垂直異常體1的參數(shù)為：ρ1=30,ρ2=100,ρ3=30,αs=30°；異常體2的參數(shù)為：ρ1=10,ρ2=100,ρ3=10,αs=120°。本程序模擬的視電阻率模擬對(duì)比如圖7所示?？梢钥吹侥M結(jié)果與有限差分結(jié)果吻合，驗(yàn)證了算法的正確性。

圖6 二維水平各向異性模型Fig.6 Two-dimensional horizontal anisotropy model(a)電性介質(zhì)分布圖;(b)水平各向異性示意圖

圖7 水平各向異性模型視電阻率的有限差分結(jié)果與本文矢量有限元結(jié)果Fig.7 Comparison of apparent resistivity between finite difference method and the finite element method proposed by this paper(a)ρxx;(b)ρxy;(c)ρyx;(d)ρyy

圖8 三維傾斜各向異性模型Fig.8 Three-dimensional dipping anisotropy mode(a)XOY剖面;(b)傾斜各向異性示意圖

4 算例

4.1 傾斜各向異性

傾斜各向異性介質(zhì)是y、z軸在yoz平面中繞x軸旋轉(zhuǎn)αd得到，電導(dǎo)率張量與主軸電導(dǎo)率張量以及旋轉(zhuǎn)角αd的關(guān)系式為式(14)。

(14)

其中：

(15)

如圖7所示，其主軸電導(dǎo)率為σ1=0.01 S/m,σ2=0.1 S/m,σ3=0.01 S/m。模型空間被分為186 627個(gè)非結(jié)構(gòu)四面體單元，依次設(shè)置傾角大小為αd=0°、30°、60°、90°，頻點(diǎn)為1 Hz，討論傾角αd對(duì)測(cè)點(diǎn)MT響應(yīng)的影響。二維情況下，視電阻率ρxy與φxy相位不受傾角αd影響，僅與主軸電導(dǎo)率σ1有關(guān)[18]。而三維情況下，不同于二維模擬的結(jié)論，視電阻率ρxy與相位φxy曲線隨著傾角αd會(huì)發(fā)生較小變化。視電阻率ρxy與相位φxy受到較大影響，隨著傾角變大，其異常體范圍(-1 000 m,1 000 m)處的視電阻率值逐漸變小，當(dāng)傾角為0°、90°時(shí)，曲線保持其對(duì)稱性，當(dāng)傾角為30°、90°時(shí)，曲線關(guān)于y=0非對(duì)稱。兩種模式視電阻率的差異以及非對(duì)稱性與傾角αd有顯著關(guān)聯(lián)，因此可以作為判斷異常體各向異性特征的依據(jù)。

4.2 主軸各向異性

主軸各向異性介質(zhì)的電導(dǎo)率張量，只有對(duì)角線存在非零元素：

(16)

設(shè)計(jì)球狀異常體模型，討論主軸各向異性以及水平各向異性，背景電導(dǎo)率為0.01 S/m，球體半徑為500 m，模型空間被分為183 835個(gè)非結(jié)構(gòu)四面體單元，網(wǎng)格剖分見(jiàn)圖10。VTI介質(zhì)與VHI介質(zhì)是主軸各向異性介質(zhì)中兩種常見(jiàn)情況，分別對(duì)兩種介質(zhì)進(jìn)行模擬計(jì)算MT響應(yīng)。

圖9 傾斜各向異性模型視電阻率與相位隨傾角αd變化曲線Fig.9 Dipping anisotropy model apparent resistivity and phase changing with different αd(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖10 球狀異常體模型網(wǎng)格剖分Fig.10 Spheroidal anomaly model and discretation using unstructured girds

4.2.1 VTI介質(zhì)

設(shè)計(jì)球型異常體主軸電阻率σ1=σ2=0.1 S/m保持不變，垂直主軸電導(dǎo)率σ3=1、0.1、0.01、0.001 S/m相相對(duì)背景電導(dǎo)率，經(jīng)歷幾個(gè)量級(jí)的轉(zhuǎn)變，頻點(diǎn)設(shè)為1 Hz其對(duì)測(cè)點(diǎn)MT響應(yīng)的影響見(jiàn)圖11，可以看到：對(duì)于VTI介質(zhì)，雖然垂直主軸電導(dǎo)率σ3經(jīng)歷了幾個(gè)量級(jí)的變化，但測(cè)點(diǎn)處的視電阻率與相位曲線僅有微小變化，說(shuō)明主軸各向異性條件下，σ3對(duì)地面測(cè)點(diǎn)的MT響應(yīng)影響微弱。

4.2.2 VHI介質(zhì)

設(shè)計(jì)異常體主軸電導(dǎo)率為：σ1=σ3=0.1 S/m保持不變，水平y(tǒng)方向主軸電導(dǎo)率σ2=1、0.1、0.01、0.001 S/m從從大到小變化，頻點(diǎn)設(shè)為1 Hz，觀察其對(duì)測(cè)點(diǎn)MT響應(yīng)的影響。如圖12所示，σ2經(jīng)歷幾個(gè)數(shù)量級(jí)的變化，視電阻率ρxy與相位φxy幾乎不受影響，然而視電阻率ρxy與相位φxy則發(fā)生了明顯的變化，隨著主軸電導(dǎo)率分量σ2從大到小變化，視電阻率曲線的異常體位置范圍(-1 000 m,1 000 m)內(nèi)也表現(xiàn)由低阻到高阻的變化特征，這與文獻(xiàn)[16]的結(jié)論是一致的。

圖11 VTI介質(zhì)視電阻率與相位隨σ3變化曲線Fig.11 Apparent resistivity and phase of VTI media with different σ3(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

4.3 水平各向異性

水平各向異性是x軸與y軸在xoy平面內(nèi)繞z軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，其余角度為零，其電導(dǎo)率張量表達(dá)式為式(18)。

(17)

(18)

沿用球模型，均勻半空間電阻率與球體位置大小均不變，研究水平旋轉(zhuǎn)角αs變化對(duì)測(cè)點(diǎn)MT響應(yīng)的影響。設(shè)異常體的電導(dǎo)率參數(shù)為：σ1=0.1 S/m,σ2=0.001 S/m,σ3=0.01 S/m，水平旋轉(zhuǎn)角由零逐漸變大。過(guò)模型空間中心點(diǎn)的x方向測(cè)線在1 Hz下的視電阻率與相位曲線(圖13)可以看到，視電阻率與相位均受到αs的顯著影響，當(dāng)αs=0°時(shí)，此時(shí)介質(zhì)為主軸各向異性，ρxy和ρyx對(duì)應(yīng)圖13(a)綠色曲線；隨著αs變大，ρxy曲線中心由低阻向高阻轉(zhuǎn)變，相反ρyx曲線由高阻逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榈妥?，原因在于，σxx的值逐漸向σ2過(guò)渡，而σyy逐漸向σ1變化所導(dǎo)致，直到αs=90°，此時(shí)σxx=σ2，σyy=σ1。

圖12 VHI介質(zhì)視電阻率與相位隨σ2變化曲線Fig.12 Apparent resistivity and phase of VHI media with different σ2(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖13 過(guò)中心點(diǎn)測(cè)線的視電阻率與相位隨αs變化曲線Fig.13 Central survey line apparent resistivity and phase with different αs(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖14 視電阻率在1 Hz平面內(nèi)隨αs變化Fig.14 Apparent resistivity in the 1 Hz plane with different αs

圖16 αs=45°、γ不同情況下、ρxy旋轉(zhuǎn)程度大小Fig.16 In condition of αs=45°，γ changing , the degree of ρxy rotation(a)γ=1.4;(b)γ=3.2;(c)γ=7.7;(d)γ=14.1

5 結(jié)論

實(shí)現(xiàn)了電導(dǎo)率任意各向異性大地電磁三維非結(jié)構(gòu)矢量有限元法正演數(shù)值模擬，一維層狀解析解、COMMEMI模型以及各向異性模型的計(jì)算結(jié)果與前人模擬結(jié)果很好吻合，驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了不同電導(dǎo)率各向異性模型的數(shù)值模擬，結(jié)果表明，傾斜各向異性條件下，視電阻率ρxy曲線隨著傾角αs會(huì)發(fā)生較小變化，而視電阻率ρyx受到較大影響而產(chǎn)生非對(duì)稱特征。主軸各向異性條件下，α3對(duì)視電阻率產(chǎn)生較小影響，而ρxy主要反映α1的信息，ρyx主要反映α2的信息。特別在水平各向異性條件下，視電阻率形態(tài)隨著走向角αs變化而發(fā)生旋轉(zhuǎn)，只有當(dāng)水平各向異性系數(shù)γ非常大時(shí)，視電阻率形態(tài)的旋轉(zhuǎn)角能夠比較準(zhǔn)確地反映αs的大??；當(dāng)水平各向異性系數(shù)γ相對(duì)較小時(shí)，視電阻率形態(tài)的旋轉(zhuǎn)角與αs差別較大，必須同時(shí)考慮水平各向異性系數(shù)γ的影響。實(shí)際地球深部介質(zhì)的電導(dǎo)率各向異性比較復(fù)雜、大小不一，筆者大地電磁各向異性數(shù)值模擬獲得的一些新的認(rèn)識(shí)，對(duì)深部巖石圈電性結(jié)構(gòu)探測(cè)有重要意義。