基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石非定常蠕變本構(gòu)模型

李娜,于曉要

基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石非定常蠕變本構(gòu)模型

李娜,于曉要

商丘工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 河南 商丘 476000

基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，對巖石蠕變本構(gòu)模型中常用的Abel黏壺元件進(jìn)行改進(jìn)，得到表征損傷閥值效應(yīng)的非定常性元件模型，并論證該模型可以良好適用于巖石加速蠕變階段?；诮?jīng)典元件組合理論，通過彈性體、Abel黏壺體以及改進(jìn)后的損傷閥值觸發(fā)的Abel黏壺元件體建立了新的巖石蠕變本構(gòu)模型?；趯?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反演擬合，結(jié)果表明，該巖石蠕變本構(gòu)模型能良好的表征巖石蠕變?nèi)A段，特別是非線性加速蠕變階段，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相關(guān)程度高，誤差較小，且該模型考慮的損傷閾值觸發(fā)作用情況更貼切巖石蠕變行為。通過對本構(gòu)模型中加載應(yīng)力及求導(dǎo)階數(shù)敏感度分析，獲得了影響蠕變應(yīng)變量的參數(shù)為加載應(yīng)力，影響蠕變速率的為求導(dǎo)階數(shù)，從本構(gòu)模型上揭示了影響巖石蠕變行為特性的基本參數(shù)。

巖石蠕變; 分?jǐn)?shù)階微積分; 本構(gòu)模型

在工程領(lǐng)域，常常需要對巖石進(jìn)行長期變形和長期強(qiáng)度的預(yù)測，即巖石的蠕變變形能力研究。巖石的蠕變特性在巖石力學(xué)領(lǐng)域是一個(gè)重要的研究方向。對于巖石蠕變變形研究，限于時(shí)效較長，試驗(yàn)成本較高的問題，因而常常通過研究巖石蠕變本構(gòu)模型對巖石長期變形和長期強(qiáng)度進(jìn)行定量分析。根據(jù)巖石蠕變理論模型與實(shí)驗(yàn)研究可知，巖石蠕變包含了初始減速蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變、加速蠕變?nèi)A段。對應(yīng)的蠕變本構(gòu)模型需要良好概括這三個(gè)階段，就必須引入特殊性的元件模型進(jìn)行合理量化。通常來說，非線性加速蠕變階段較難模擬，針對非線性加速蠕變階段的特殊性，必須要構(gòu)建合適的本構(gòu)模型進(jìn)行描述[1-3]。

隨著基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的發(fā)展，巖石力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)逐漸引入較多數(shù)學(xué)模型進(jìn)行巖石材料本構(gòu)模型構(gòu)建。蒲少云等[4]通過開展低頻率動應(yīng)力加載下巖石變形破壞實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建了巖石分?jǐn)?shù)階Burgers本構(gòu)模型。何志磊等[5-7]基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)提出了非線性蠕變模型，并借此推導(dǎo)出三維有限差分狀態(tài)下的蠕變模型，并利用編程與室內(nèi)巖石蠕變實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該模型的可靠性。陳衛(wèi)忠等[8]在Burgers模型的基礎(chǔ)上，建立起鹽巖非定常Burgers蠕變本構(gòu)模型，并將所建方程有限元程序化。吳斐等[9,10]通過對分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型的改進(jìn)，通過室內(nèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)研究了帶應(yīng)力或應(yīng)變觸發(fā)的分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型，并且從室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該蠕變本構(gòu)模型更加簡單合理。蘇騰等[11]研究了變階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的巖石蠕變模型，并從實(shí)驗(yàn)結(jié)果論證了模型的正確性。從上述學(xué)者研究成果可知，分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型在巖石力學(xué)蠕變模型中具有較好的應(yīng)用前景，對于巖石的非線性加速蠕變階段具有良好的適用性[12]。

前文較多學(xué)者主要聚焦于非線性加速蠕變階段的適用性，而對于非線性加速蠕變階段損傷差異性卻研究較少。在外部荷載的作用下，巖石內(nèi)部逐漸產(chǎn)生損傷，當(dāng)損傷積累到一定程度時(shí)，巖石發(fā)生失穩(wěn)破壞，因此巖石的損傷是一個(gè)逐漸演化的過程。蠕變破壞過程同樣是如此。當(dāng)外部荷載維持穩(wěn)定時(shí)，巖石內(nèi)部也逐漸發(fā)生損傷破壞。因而，構(gòu)建巖石蠕變本構(gòu)模型必須要考慮模型參數(shù)損傷差異性。為此，本文將從損傷的閥值效應(yīng)出發(fā)，通過改進(jìn)經(jīng)典模型，建立考慮巖石損傷效應(yīng)下的模型元件，并構(gòu)建出考慮巖石實(shí)際損傷狀態(tài)的蠕變本構(gòu)模型。

1 考慮損傷的分?jǐn)?shù)階非定常蠕變模型

1.1 考慮損傷的分?jǐn)?shù)階非定常Abel黏壺

在分?jǐn)?shù)階積分領(lǐng)域，Riemann-Liouville（R-L）積分常常被引入到巖土材料本構(gòu)模型中，R-L積分的數(shù)學(xué)概念定義為[13]：在自變量為非負(fù)區(qū)間上，存在一個(gè)()可積，并定義出分?jǐn)?shù)階的函數(shù)為：

式中：Γ為廣義Gamma函數(shù)，為非負(fù)非零的數(shù)，-1<<，=1,2，…，采用微積分領(lǐng)域中的Laplace正變換與逆變換求解。

由數(shù)學(xué)微積分轉(zhuǎn)換理論可知，R-L積分微分表達(dá)式為：

目前，有學(xué)者提出了一種新的元件模型[14,15]，該元件模型既不是一種固體模型，亦不是流體模型，而是一種半固體半流體模型，該模型可表述為：

式中：為粘滯系數(shù)，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)為0時(shí)，該元件為彈性固體模型；當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)為1時(shí)，該模型為牛頓流體；當(dāng)分?jǐn)?shù)階為介于0~1的分?jǐn)?shù)時(shí)，即為一種全新模型元件Abel黏壺，可用于描述材料的黏彈性變形。

根據(jù)蠕變實(shí)驗(yàn)的原理可知，巖石原始狀態(tài)可認(rèn)為(0)=0，根據(jù)此數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而求出積分表達(dá)式為：

式（4）為巖石在無損傷作用下Abel黏壺的表達(dá)式。

巖石屬于典型的非均質(zhì)性材料，在蠕變加載過程中，其實(shí)質(zhì)上是內(nèi)部裂隙逐漸擴(kuò)展聯(lián)結(jié)貫通形成宏觀裂紋失穩(wěn)破壞的過程。因此研究巖石蠕變本構(gòu)方程時(shí)考慮巖石在蠕變過程中的損傷時(shí)效作用很有必要，蠕變損傷時(shí)效作用將影響粘滯系數(shù)參數(shù)發(fā)生變化。根據(jù)文獻(xiàn)[7,12]知粘滯系數(shù)在損傷作用下為減小的趨勢，且呈指數(shù)衰減的態(tài)勢，并給出具體函數(shù)關(guān)系式：

′=-at(5)

式中：為初始粘滯系數(shù)，為巖石材料參數(shù)。

另一方面，巖石的損傷作用是具有閥值的，應(yīng)將損傷作用分兩部分來考慮，損傷作用只有達(dá)到一定門檻值時(shí)才會發(fā)生。當(dāng)蠕變加載應(yīng)力低于損傷閥值時(shí)，巖石不發(fā)生損傷，此時(shí)粘滯系數(shù)為定常數(shù)，且根據(jù)已有研究表明[16]，此時(shí)巖石并不出現(xiàn)加速蠕變破壞階段。當(dāng)超過損傷閥值時(shí)，巖石內(nèi)部定常粘滯系數(shù)將會發(fā)生衰減，巖石也會出現(xiàn)黏彈性加速蠕變階段。

損傷變量作為其中重要的中間參量，必須要進(jìn)行公式化衡量表述，根據(jù)文獻(xiàn)[17]定義的損傷方法及原理可知：

式中：0為巖石初始彈性模量，(,)某一時(shí)刻巖石變形模量，與加載應(yīng)力和加載時(shí)間有關(guān)，根據(jù)文獻(xiàn)[16,18]的研究，(,)可定義為：

(,)=0exp[-<-σ>/](7)

式中：σ為巖石長期強(qiáng)度值，長期強(qiáng)度可根據(jù)蠕變實(shí)驗(yàn)中等時(shí)曲線法確定，為巖石材料性質(zhì)參數(shù)，其中<-σ>為雙開關(guān)函數(shù)，即：

式（7）代入式（6）可得損傷變量為：

(,)=1-exp[-<-σ>/](9)

從上式可知，當(dāng)應(yīng)力低于長期強(qiáng)度值時(shí)，損傷為零；當(dāng)應(yīng)力超過長期強(qiáng)度時(shí)，巖石出現(xiàn)損傷，隨應(yīng)力增大，損傷更大，這與巖石破壞機(jī)制也是一致的。根據(jù)Kachanov有效應(yīng)力概念，巖石在加載破壞過程中，應(yīng)力會隨著巖石破壞產(chǎn)生衰減，實(shí)質(zhì)上加載應(yīng)力是一種有效應(yīng)力，并且給出了有效應(yīng)力的表達(dá)式為[19,20]。

因而，對應(yīng)于巖石加速蠕變階段會產(chǎn)生有效應(yīng)力，并且會產(chǎn)生粘滯系數(shù)的衰減，聯(lián)立式（9）、（10）得：

考慮蠕變本構(gòu)模型中的粘滯系數(shù)在損傷階段的非定常性與蠕變加載過程中巖石損傷存在閥值特點(diǎn)，改進(jìn)后的考慮損傷閥值效應(yīng)的非定常性Abel黏壺元件本構(gòu)方程為：

式中：σ指σ時(shí)，發(fā)生蠕變損傷時(shí)Abel黏壺元件中的有效應(yīng)力。結(jié)合式（5）、（11）、（12）獲得Abel黏壺元件損傷閥值以下與損傷閥值以上的方程為：

1.2 分?jǐn)?shù)階非定常蠕變模型的建立與求解

通常來說，巖石蠕變由初始減速蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變、加速蠕變階段組成。傳統(tǒng)的蠕變本構(gòu)模型主要是通過分別構(gòu)建元件，組合成三元體，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)拿枋鋈渥冏冃稳^程。本文將采用彈性體元件表征初始減速蠕變變形ε；而初始減速蠕變與穩(wěn)態(tài)蠕變階段發(fā)生的黏彈性變形主要采用的是損傷閥值以下的Abel黏壺元件表述ε；在加速蠕變階段發(fā)生的黏彈塑性變形則采用損傷閥值以上的非定常性Abel黏壺元件表述ε。

（1）當(dāng)加載應(yīng)力低于長期強(qiáng)度值時(shí)，即σ≤σ時(shí)，巖石不出現(xiàn)加速蠕變，蠕變變形只包含彈性變形與黏彈性變形兩部分。彈性體元件由材料力學(xué)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得：

式中：為巖石的彈性模量。

根據(jù)前文描述，表征粘彈性變形的為損傷閥值以下的Abel黏壺元件，其本構(gòu)方程為：

通過Laplace變換知解為[16]。

故而不出現(xiàn)蠕變損傷即不發(fā)生粘塑性變形之時(shí)，巖石蠕變本構(gòu)方程為：

（2）當(dāng)＞σ時(shí)，巖石將發(fā)生損傷作用，此時(shí)變形包括彈性變形、粘彈性變形及粘塑性變形，故而此時(shí)表征巖石粘塑性變形方程根據(jù)（13）式可寫成：

對（18）式兩邊同時(shí)進(jìn)行Laplace變換，得：

經(jīng)由Laplace逆變換解得：

當(dāng)發(fā)生蠕變損傷時(shí)，聯(lián)立（17）（20）式得蠕變本構(gòu)方程為：

結(jié)合前述損傷閥值兩種情況，構(gòu)建出巖石損傷閥值下的非定常性分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型為：

2 蠕變本構(gòu)模型的驗(yàn)證

為了反演出模型中各個(gè)參數(shù)，采用雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)進(jìn)行模型表述，其中該函數(shù)表達(dá)式為：

當(dāng)參數(shù)=1時(shí)，Mittag-Leffler函數(shù)的一般形式可以總結(jié)為（24）式[21]。

帶入式（22）中，可得＞σ時(shí)本構(gòu)方程為：

粒子群算法[22,23]由待定參數(shù)生成一系列未知變量，每個(gè)粒子均表示一個(gè)可能性解，根據(jù)定義范圍確定所有解的先后順序，最終確定最優(yōu)解。為了反演出本文的蠕變本構(gòu)模型，筆者基于Matlab編程技術(shù)，采用粒子群算法，對模型中參數(shù)進(jìn)行反演求解，并搜索得到最優(yōu)參數(shù)結(jié)果。

2.1 蠕變本構(gòu)模型的擬合

筆者借助于沈明榮[24]紅砂巖分級加載的試驗(yàn)結(jié)果，由過渡曲線法和等時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線法確定該巖石長期強(qiáng)度為22.45 MPa。

（1）當(dāng)≤σ時(shí)，取紅砂巖第一級與第二級進(jìn)行模型反演擬合，第一、二級加載應(yīng)力分別為18.58 MPa、21.65 MPa，通過Matlab編程粒子群算法進(jìn)行參數(shù)識別，得到的蠕變本構(gòu)模型參數(shù)見表（1）。

（2）當(dāng)＞σ時(shí)，蠕變損傷閾值觸發(fā)并發(fā)生粘塑性變形，取紅砂巖第四級與第六級進(jìn)行參數(shù)反演擬合，第四級與第六級加載應(yīng)力分別為26.8 MPa、27.2 MPa，參數(shù)反演擬合結(jié)果見表（1）。

表1 蠕變本構(gòu)模型擬合參數(shù)

從表（1）來看，本文所建立的巖石損傷閥值效應(yīng)下的非定常分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型良好的模擬出蠕變?nèi)A段，特別是在非線性加速蠕變階段，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合程度高，且本文在所用模型參數(shù)并沒有增多的情況下考慮到蠕變損傷的時(shí)效作用對粘滯系數(shù)的影響，在工程應(yīng)用中更具有應(yīng)用價(jià)值，由擬合結(jié)果精度可知，本文模型誤差較小，此亦論證了該模型的適用性與有效性。

2.2 參數(shù)敏感性

根據(jù)該模型中參數(shù)可知，加載應(yīng)力與求導(dǎo)階數(shù)是影響模型結(jié)果的重要變量。加載應(yīng)力所處于的范圍，關(guān)乎到損傷閥值的觸發(fā)，進(jìn)而影響本構(gòu)模型應(yīng)用的合理性。因而，本文對上述兩變量進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。

圖1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)-本文模型對比

針對本構(gòu)模型，保留本構(gòu)模型中除加載應(yīng)力以外的所有參數(shù)，將加載應(yīng)力取一組不同的數(shù)值，得到加載應(yīng)力的一簇曲線。該曲線表征了不同加載應(yīng)力水平下的本構(gòu)模型。從圖2可看出，隨著加載應(yīng)力水平的增大，蠕變應(yīng)變量值逐漸增大，但是蠕變曲線的走向并沒有發(fā)生較大改變，表明加載應(yīng)力的增大或下降，只影響蠕變變形量，并不影響蠕變速率。

圖 2 加載應(yīng)力敏感度

圖 3 求導(dǎo)階敏感度

同理，保留本構(gòu)模型中除求導(dǎo)階數(shù)以外的所有參數(shù)，改變求導(dǎo)階數(shù)取值，得到不同求導(dǎo)階數(shù)的一簇曲線。從圖3可看出，當(dāng)求導(dǎo)階數(shù)愈大時(shí)蠕變曲線走向均有顯著改變，蠕變速率發(fā)生較大的變動，求導(dǎo)階數(shù)愈大，蠕變速率愈大，表征了求導(dǎo)階數(shù)反映了巖石蠕變速率。

3 結(jié) 論

本文從損傷的閥值效應(yīng)出發(fā)，通過改進(jìn)經(jīng)典模型，建立考慮巖石損傷效應(yīng)下的模型元件，構(gòu)建出考慮巖石實(shí)際損傷狀態(tài)的蠕變本構(gòu)模型。主要結(jié)論如下：

（1）基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，對Abel黏壺元件進(jìn)行改進(jìn)，得到表征損傷閥值效應(yīng)的非定常性元件模型，基于經(jīng)典元件組合理論，通過一個(gè)彈性體、Abel黏壺元件以及改進(jìn)后的考慮損傷閥值觸發(fā)作用的Abel黏壺元件建立了一個(gè)新的巖石蠕變本構(gòu)模型，并論證該模型適用于巖石加速蠕變階段；

（2）通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的反演擬合，結(jié)果表明，建立的巖石蠕變本構(gòu)模型能良好的表征巖石蠕變?nèi)A段，特別是非線性加速蠕變階段，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相關(guān)程度高，誤差較小，且該模型考慮的損傷閾值觸發(fā)作用情況更貼切巖石蠕變行為；

（3）通過對本構(gòu)模型中加載應(yīng)力及求導(dǎo)階數(shù)敏感度分析，獲得了影響蠕變應(yīng)變量的參數(shù)為加載應(yīng)力，影響蠕變速率的為求導(dǎo)階數(shù)。從本構(gòu)模型上揭示了影響巖石蠕變行為特性的基本參數(shù)。

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Non-steady State Creep Constitutive Model of Rock Based on Fractional Calculus

LI Na, YU Xiao-yao

476000,

Based on fractional calculus theory, the commonly used Abel clay pot element in rock creep constitutive model is improved, and the unsteady element model representing damage threshold effect is obtained. It is proved that the model can be well applied to rock creep stage. Based on the classical component combination theory, a new constitutive model of rock creep is established by using elastomer, Abel clay pot and Abel clay pot element triggered by improved damage threshold. Based on the inversion and fitting of experimental data, the results show that the creep constitutive model can well characterize the three stages of rock creep, especially the non-linear accelerated creep stage. It has high correlation with experimental data and small error. Moreover, the damage threshold triggering effect considered by the model is more suitable for rock creep behavior. Through the sensitivity analysis of loading stress and derivative order in the constitutive model, the parameters affecting creep strain are obtained as loading stress and creep rate as derivative order. The basic parameters affecting creep behavior of rock are revealed from the constitutive model.

Rock creep; fractional calculus; constitutive model

TU45

A

1000-2324(2021)02-0288-05

10.3969/j.issn.1000-2324.2021.02.023

2019-02-14

2019-04-07

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(17A120012)

李娜(1984-),女,碩士,講師,研究方向:微分方程數(shù)值解. E-mail:lgdlina@163.com

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