隨機(jī)通脹下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值

何學(xué)強(qiáng), 王傳玉，余 鑫

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

在養(yǎng)老金計(jì)劃的設(shè)計(jì)中，根據(jù)繳費(fèi)和支付方式的不同，可以分為確定給付(Defined Benefit，DB)型和確定繳費(fèi)(Defined Contribution，DC)型計(jì)劃。DB養(yǎng)老金計(jì)劃中養(yǎng)老基金是養(yǎng)老金支付的主要來(lái)源，養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人在需要時(shí)有道德義務(wù)向養(yǎng)老金計(jì)劃提供支持。如果養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)赤字問(wèn)題和發(fā)起人公司破產(chǎn)，那么DB養(yǎng)老金計(jì)劃會(huì)出現(xiàn)養(yǎng)老基金提前終止和發(fā)起人資產(chǎn)遇險(xiǎn)終止兩種風(fēng)險(xiǎn)。一旦出現(xiàn)這兩種風(fēng)險(xiǎn)，員工退休時(shí)的收益就得不到保障。因此，DB養(yǎng)老金計(jì)劃通過(guò)引入PBGC為養(yǎng)老金計(jì)劃提供擔(dān)保，使養(yǎng)老金計(jì)劃受益人能夠從PBGC獲得足夠的養(yǎng)老金。作為回報(bào)，養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人需要支付一筆保費(fèi)給PBGC以確保利益。研究的目的是確定PBGC應(yīng)該為其保險(xiǎn)收取的價(jià)格，以保持財(cái)務(wù)穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)自籌資金。

關(guān)于PBGC保費(fèi)計(jì)算的一系列工作中，最早的工作可以追溯到Sharpe,Sharpe假定PBGC是解決養(yǎng)老基金赤字的第一條途徑。Marcus將PBGC的負(fù)債建模為遠(yuǎn)期合約，這使得PBGC能夠從終止的計(jì)劃中獲得盈余，然而這是不太現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)榉刹辉试SPBGC的責(zé)任是消極的。Lewis通過(guò)為公司的非養(yǎng)老金資產(chǎn)建立獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程來(lái)計(jì)算養(yǎng)老金保險(xiǎn)的理論保費(fèi)、非養(yǎng)老金債務(wù)、養(yǎng)老基金和養(yǎng)老金負(fù)債，并將PBGC的負(fù)債建模為看跌期權(quán)合約。Bodie和Brown的工作表明，從PBGC的角度來(lái)看，統(tǒng)一保費(fèi)是錯(cuò)誤的，而定價(jià)不當(dāng)?shù)酿B(yǎng)老保險(xiǎn)對(duì)計(jì)劃發(fā)起人是有害的。而Stewart提供了背后的經(jīng)濟(jì)理由和相關(guān)后果，經(jīng)濟(jì)的理由是，對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的公司來(lái)說(shuō)，收取固定的保費(fèi)會(huì)導(dǎo)致股票的市場(chǎng)價(jià)值增加，從而為贊助商提供更多風(fēng)險(xiǎn)和資金的激勵(lì)。另一個(gè)研究的方向是設(shè)計(jì)PBGC的終止或監(jiān)管規(guī)則，以及一般的養(yǎng)老金擔(dān)保制度。Cheng根據(jù)關(guān)鍵資金比率提出了一項(xiàng)養(yǎng)老金保障保險(xiǎn)的終止規(guī)則，這是通過(guò)解決優(yōu)化問(wèn)題而實(shí)現(xiàn)的。此外，養(yǎng)老金監(jiān)管至關(guān)重要。Chen的研究中說(shuō)明，養(yǎng)老金福利可以通過(guò)各種方式得到保障，與養(yǎng)老基金提供的保護(hù)相比，擔(dān)保人的援助只提供了全額養(yǎng)老金支付的部分保障，將償付能力要求與養(yǎng)老保障基金和擔(dān)保人支持相比較。償付能力要求提供了內(nèi)部緩沖，而養(yǎng)老保障基金和擔(dān)保人援助作為外部擔(dān)保機(jī)制。Chen進(jìn)一步了解養(yǎng)老基金的最佳監(jiān)管規(guī)則，并發(fā)現(xiàn)監(jiān)管機(jī)構(gòu)需要充分考慮安全機(jī)制和風(fēng)險(xiǎn)措施。

Kalra首先考慮了養(yǎng)老基金的提前終止，并研究了這類(lèi)非自愿終止的保費(fèi)評(píng)估問(wèn)題。然后Chen在完備市場(chǎng)下討論了養(yǎng)老基金的提前終止，假設(shè)PBGC作為二級(jí)保險(xiǎn)擔(dān)保發(fā)揮作用。考慮到PBGC僅涵蓋養(yǎng)老基金的剩余赤字，并建立養(yǎng)老基金資產(chǎn)和發(fā)起人資產(chǎn)模型，該模型解釋了養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司的資產(chǎn)的聯(lián)合動(dòng)態(tài)，有效地確定PBGC提供的基于風(fēng)險(xiǎn)的養(yǎng)老金保險(xiǎn)的保費(fèi)，還用積分的方法得到了這種基于提前終止風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)的封閉定價(jià)公式。接著Chen在Chen的基礎(chǔ)上建立了養(yǎng)老金擔(dān)保公司(PBGC)提供的基于風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)計(jì)算模型。并且考慮到養(yǎng)老基金和計(jì)劃發(fā)起人的投資政策，還考慮到發(fā)起人資金不足引發(fā)的遇險(xiǎn)終止，實(shí)證地說(shuō)明了對(duì)100家最大的美國(guó)DB贊助公司的理論定價(jià)公式。還觀察到，在基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)計(jì)算中，資金比率和杠桿是主要的風(fēng)險(xiǎn)因素。Qian首次在同時(shí)考慮提前終止和遇險(xiǎn)終止的條件下研究PBGC為DB養(yǎng)老金計(jì)劃擔(dān)保所收取的保費(fèi)估值問(wèn)題。

文獻(xiàn)[1-13]逐步完善了PBGC為養(yǎng)老金計(jì)劃擔(dān)保的保費(fèi)計(jì)算問(wèn)題的研究，從最開(kāi)始不考慮養(yǎng)老金計(jì)劃終止的情況，到后來(lái)單獨(dú)考慮提前終止或遇險(xiǎn)終止，再到后來(lái)同時(shí)考慮兩種終止情況時(shí)的保費(fèi)計(jì)算。雖然這些研究為養(yǎng)老金計(jì)劃?rùn)C(jī)制的完善提供了理論依據(jù)，但是之前的研究都是在理想的條件下進(jìn)行的，例如無(wú)通貨膨脹。這就會(huì)導(dǎo)致研究結(jié)果與現(xiàn)實(shí)會(huì)有較大的差異，即這些研究結(jié)果的應(yīng)用伴隨著一定的風(fēng)險(xiǎn)。而在金融市場(chǎng)中，通貨膨脹是實(shí)際存在的，因此，研究在前人的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)通脹因素，這樣得出的結(jié)果會(huì)與現(xiàn)實(shí)更接近。

近幾年通貨膨脹對(duì)金融市場(chǎng)的影響越發(fā)顯著，因此，在研究DB養(yǎng)老金計(jì)劃基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)時(shí)必須考慮隨機(jī)通脹因素。那么如何引入隨機(jī)通脹就是首先要考慮的問(wèn)題，其次就是保費(fèi)計(jì)算模型的建立，最后的問(wèn)題就是數(shù)值模擬。研究在Qian的基礎(chǔ)上引用了王照中的隨機(jī)通脹模型，假設(shè)隨機(jī)通脹也是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其收益水平滿足一個(gè)微分方程，養(yǎng)老基金資產(chǎn)和發(fā)起人資產(chǎn)在隨機(jī)通脹下的真實(shí)價(jià)值就等于無(wú)通脹時(shí)的價(jià)值除以隨機(jī)通脹的收益水平。然后給出提前終止和遇險(xiǎn)終止觸發(fā)的條件，并對(duì)提前終止時(shí)間和遇險(xiǎn)終止時(shí)間進(jìn)行分析，得出PBGC在提前終止、遇險(xiǎn)終止以及沒(méi)有提前終止和遇險(xiǎn)終止這三種情況下對(duì)DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金援助。建立兩個(gè)終止時(shí)間的聯(lián)合終止概率密度表達(dá)式，通過(guò)對(duì)兩種終止時(shí)間的討論，得出提前終止、遇險(xiǎn)終止以及沒(méi)有提前終止和遇險(xiǎn)終止這三種情況下PBGC對(duì)DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金的均值，然后給出計(jì)劃發(fā)起人需要交給PBGC的保費(fèi)的定價(jià)公式。最后，對(duì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，分析隨機(jī)通脹對(duì)PBGC收取的保費(fèi)的影響并比較了研究模型與Qian的模型。

1 模型構(gòu)建與假設(shè)

研究單一雇主的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的養(yǎng)老金保險(xiǎn)。假設(shè)養(yǎng)老金計(jì)劃在0時(shí)向

α

歲的一名代表受益人發(fā)放，該福利在

T

時(shí)作為一筆一次性付款支付給

R

歲的該受益人。那么支付時(shí)間

T=R

-

α

。從Qian1的研究出發(fā)，可以假設(shè)雇主有義務(wù)支付給受益人的福利為：

(

1

)

式中

,

p

是

α

歲的代表受益人至少活了

j

年的概率

;r>

0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

;F

是規(guī)定的年度福利，具體取決于雇員服務(wù)年數(shù)、退休年齡、福利乘數(shù)和收入歷史。雖然時(shí)變利率或隨機(jī)利率可能更為現(xiàn)實(shí)，并對(duì)養(yǎng)老金支付產(chǎn)生影響，假設(shè)認(rèn)為利率是固定的。主要研究目標(biāo)是在隨機(jī)通貨膨脹下養(yǎng)老金發(fā)起人和養(yǎng)老基金對(duì)PBGC保費(fèi)支付的影響。假設(shè)所有過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在帶流概率空間

(Ω,F,{F

}

0≤≤

,P)

上，且滿足一般條件，其中

P

表示真實(shí)概率測(cè)度。而完備的金融市場(chǎng)是由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)

(

例如銀行存款

)

和有風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)

(

例如股票

)

組成。兩種資產(chǎn)的定價(jià)過(guò)程為：

dB

=rB

dt,

(

2

)

(

3

)

(

4

)

假設(shè)養(yǎng)老基金表現(xiàn)良好，那么所有福利都將由養(yǎng)老基金自己支付。如果養(yǎng)老基金資金不足，那么發(fā)起人的資產(chǎn)將是支付福利的潛在資源。發(fā)起人資產(chǎn)

a

滿足下面的微分方程：

(

5

)

隨機(jī)通貨膨脹也是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其收益水平

Q

滿足下面的微分方程

:

(

6

)

考慮通貨膨脹的影響，則在

t

時(shí)刻的養(yǎng)老基金總資產(chǎn)的真實(shí)資產(chǎn)為

:

發(fā)起人公司資產(chǎn)的真實(shí)資產(chǎn)為：

則

(

7

)

(

8

)

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，養(yǎng)老基金和發(fā)起人資產(chǎn)的表達(dá)式為

:

(

9

)

(

10

)

由伊藤公式解得：

2 計(jì)劃發(fā)起人和PBGC對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)終止，無(wú)論是計(jì)劃發(fā)起人還是PBGC都沒(méi)有義務(wù)對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供資金援助。研究的重點(diǎn)是考慮養(yǎng)老金計(jì)劃提前終止和遇險(xiǎn)終止。

為了描述每種類(lèi)型的終止，首先介紹一些關(guān)鍵的符號(hào)。對(duì)于養(yǎng)老基金的提前終止，定義了養(yǎng)老基金在

t

時(shí)刻的臨界值是

ηB

e

--，其中

B

e

--表示未來(lái)退休金支付在

t

時(shí)刻的貼現(xiàn)值，

η

是終止觸發(fā)時(shí)的資產(chǎn)比例，也就是說(shuō)，是一種乘數(shù)，允許養(yǎng)老基金在一段寬限期內(nèi)恢復(fù)，以防它暫時(shí)表現(xiàn)不佳。

因此，在養(yǎng)老基金資產(chǎn)第一次低于或越過(guò)臨界值時(shí)，得到提前終止時(shí)間如下：

π

=inf{t|X

≤

ηB

e

--

},

(

11

)

式中，如果

η>

0，終止將永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生，而

η

≥1則意味著PBGC將作為完全資助的計(jì)劃結(jié)束。假設(shè)

η

∈

(

0

,

1

)

，并且要求

X

>ηB

e

-以確保最初的養(yǎng)老基金不會(huì)提前終止。遇險(xiǎn)終止與計(jì)劃發(fā)起人的資產(chǎn)有關(guān)，通常來(lái)說(shuō)，計(jì)劃發(fā)起人會(huì)發(fā)布公司債務(wù)。因此，假定發(fā)起人公司有責(zé)任在

t

時(shí)償還的債務(wù)為

θA

e

，0

<θ<

1是其初始杠桿率

;v

是反映公司債務(wù)增長(zhǎng)率的預(yù)定常數(shù)

;A

是發(fā)起人資產(chǎn)的初始價(jià)值；

θA

是計(jì)劃發(fā)起人的初始債務(wù)水平。假定發(fā)起人公司優(yōu)先償還公司債務(wù)是合理的，使用停止時(shí)間

τ

來(lái)描述計(jì)劃發(fā)起人第一次未能支付債務(wù)和繼續(xù)經(jīng)營(yíng)。這種終止的臨界值被定義為

ξA

e

。其中，

ξ

是一個(gè)比計(jì)劃發(fā)起人的杠桿比率

θ

更高的參數(shù)。假設(shè)養(yǎng)老金發(fā)起人有道德上的義務(wù)來(lái)彌補(bǔ)所要求的養(yǎng)老金福利的一些赤字。此外，我們還規(guī)定了

ξ<

1的技術(shù)條件，以確保發(fā)起人在0時(shí)刻不違約。因此，得到提前終止時(shí)間如下：

τ

=inf{t|A

≤

ξA

e

}

。

(

12

)

2.1 計(jì)劃發(fā)起人對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金

在這一部分中，分析3種終止：標(biāo)準(zhǔn)、遇險(xiǎn)和提前終止。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)終止，PBGC不提供任何資金。因此，只研究其他兩種情況：

τ

>τ

和

τ

≤

τ

。如果

τ

>τ

，那么發(fā)起人公司破產(chǎn)，并將首先觸發(fā)遇險(xiǎn)終止。此外，將情況

τ

≤

τ

分成兩個(gè)子情況：

τ

≤

T

和

τ

>T

。

(

1

)

發(fā)起人資產(chǎn)在

T

時(shí)刻之前低于臨界值，即

τ

≤

T

。此時(shí)有：

X

>ηB

e

--和

A

=ξA

e

。①養(yǎng)老基金表現(xiàn)得很好，即

X

>B

e

--。這意味著養(yǎng)老基金資產(chǎn)的價(jià)值大于所承諾的養(yǎng)老金福利付款的貼現(xiàn)值。這種情況下，計(jì)劃發(fā)起人和PBGC都不要提供資金。②養(yǎng)老基金不足以支付所有貼現(xiàn)的養(yǎng)老金福利，即

X

<B

e

--。雖然

X

>ηB

e

--，但是仍然有可能使得

X

<B

e

--。這時(shí)發(fā)起人公司提供的資金為

:

S

(τ

)=(B

e

---

X

)I

----×

I

----+

(ξ

-

θ)A

e

I

---≥-×

I

----，

(

13

)

式中

,I

是示性函數(shù)；

B

e

---

X

指發(fā)起人公司的資產(chǎn)足以滿足

τ

時(shí)刻的養(yǎng)老金福利時(shí)，發(fā)起人公司能夠承受的部分。因此

,

這種情況下發(fā)起人公司將能夠填補(bǔ)在此情況下養(yǎng)老基金的不足。另一種情況是

,

當(dāng)遇險(xiǎn)終止發(fā)生時(shí)

,

發(fā)起人公司在清償?shù)狡趥鶆?wù)后沒(méi)有剩余多少資金

,

此時(shí)提供的資金是

(ξ

-

θ)A

e

。

(

2

)

發(fā)起人資產(chǎn)在時(shí)刻

T

之后低于臨界值，即

τ

>T

。這意味著

X

>ηB

且

A

>ξA

e

，且當(dāng)

τ

≥

T

時(shí)，養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉。值得注意的是，如果

X

≥

B

,

那么無(wú)論是計(jì)劃發(fā)起人還是PBGC都不需要介入并負(fù)責(zé)養(yǎng)老金的支付。因此，我們將專(zhuān)注于

X

<B

繼續(xù)進(jìn)行分析。此時(shí)發(fā)起人公司提供的資金如下：

S

(T)=(B

-

X

)I

0--×

I

I

+

(A

-

θA

e

)I

-≥-×

I

I

,

(

14

)

如果

τ

≤

τ

，提前終止將在遇險(xiǎn)終止之前觸發(fā)。我們也考慮兩種情況：

τ

≤

T

和

τ

>T

。

(

1

)

養(yǎng)老基金

T

時(shí)刻前資金不足，即

τ

≤

T

。這意味著

X

=ηB

e

--且

A

>ξA

e

，這時(shí)養(yǎng)老基金面臨提前終止，對(duì)于發(fā)起人資產(chǎn)有：

①發(fā)起人公司有部分償付能力，即

B

e

---

X

>A

-

θA

e

,

在這種情況下，PBGC提供了發(fā)起人公司無(wú)法承受的赤字比例。

②發(fā)起人公司表現(xiàn)足夠好，即

B

e

---

X

≤

A

-

θA

e

,

此時(shí)，受益人的養(yǎng)老金福利可以由發(fā)起人公司自己處理。

基于以上分析，可以從發(fā)起人公司獲得資金如下：

S

(τ

)=(A

-

θA

e

)I

1----×

I

+

(

1-

η)B

e

--

I

1---≤-×

I

。

(

15

)

(2)養(yǎng)老基金低于臨界值的時(shí)間不早于時(shí)刻

T

，即

τ

>T

。這時(shí)候有

X

>ηB

且

A

>ξA

e

。當(dāng)

τ

>T

時(shí)，養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉。只需要關(guān)注

X

<B

的情況，因?yàn)?p>X

≥

B

意味著養(yǎng)老基金足以支付所承諾的養(yǎng)恤金。因此有

S

(T)=(B

-

X

)I

0--×

I

I

+

(A

-

θA

e

)I

-≥-×

I

I

。

(

16

)

發(fā)起人公司提供的全部資金為

:

S

=[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

+

[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

≥。

2.2 PBGC對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金

與Chen和Chen相一致，PBGC是養(yǎng)老金支付過(guò)程中的第三條途徑，它涵蓋了養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司無(wú)法支付的剩余赤字。因此，PBGC提供的資金如下：

如果

τ

<τ

且

τ

≤

T,

即養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)生遇險(xiǎn)終止，則

S

(τ

)=(B

e

---

X

-

(ξ

-

θ)A

e

)

×

I

---≥-×

I

----。

(

17

)

如果

τ

<τ

且

τ

>T,

或者

τ

≥

τ

且

τ

>T,

即養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉

,

則

S

(T)=(B

-

X

-

(A

-

θA

e

))I

-≥-×

I

I

。

(

18

)

如果

τ

≥

τ

且

τ

≤

T

,

即養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)生提前終止，則

S

(τ

)=((

1-

η)B

e

---

(A

-

θA

e

))

×

I

1----×

I

。

(

19

)

結(jié)合以上4種情況，得出PBGC提供的資金為：

S

=[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

+

[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

≥。

(

20

)

3 PBGC收取的保費(fèi)

研究將推導(dǎo)PBGC在為養(yǎng)老金計(jì)劃提供保險(xiǎn)時(shí)應(yīng)收取的基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)

p

的計(jì)算公式。基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)定義為

S

的貼現(xiàn)值的期望，如式(21)所示

:

p=E

{[e

-

S

(τ

)I

≤+

e

-

S

(T)I

]I

+

[e

-

S

(τ

)I

≤+

e

-

S

(T)I

]I

≥

}

。

(

21

)

(

22

)

(

23

)

引理

1 設(shè)

f

(z

,t)

，

f

(z

,t)

，

f(z

,z

,t)

分別表示

Z

1，

Z

2，

(Z

1

,Z

2

)

的密度函數(shù)

,

并且令

則

式中，

t

∈

[

0

,T]

。由于模型是同時(shí)分析不同類(lèi)型的終止，所以無(wú)法使用

τ

和

τ

的邊際密度函數(shù)來(lái)計(jì)算保費(fèi)。將遇險(xiǎn)終止和提前終止放在一個(gè)單一的框架內(nèi)時(shí)，需要

(τ

,τ

)

的聯(lián)合密度作為計(jì)算的重要組成部分。

g(t

,t

)

是通過(guò)時(shí)間

(τ

,τ

)

的聯(lián)合密度函數(shù)。如果

τ

和

τ

獨(dú)立，則

g(t

,t

)=g

(t

)g

(t

)

，而

g

(t

)

和

g

(t

)

表示

τ

和

τ

的邊際密度函數(shù)。

引理

2 設(shè)

g

(t)

和

g

(t)

分別表示

τ

和

τ

的密度函數(shù)，則

式中，

φ(

·

)

表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，

t

∈

[

0

,T]

。

證明

由

Harrison

15可知

式中，

Φ(

·

)

表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。上式兩邊對(duì)

t

求導(dǎo)，得到

同理可得

將式

(

21

)

分解成4個(gè)部分，即養(yǎng)老金計(jì)劃遇險(xiǎn)終止時(shí)，PBGC收取的保費(fèi)為：

p

=E

(e

-

S

(τ

)I

≤

I

),

養(yǎng)老金計(jì)劃在計(jì)劃到期日

T

自然終止時(shí)，PBGC收取的保費(fèi)為：

p

=E

(e

-

S

(T)I

I

),

養(yǎng)老金計(jì)劃提前終止時(shí)，PBGC收取的保費(fèi)為：

p

=E

(e

-

S

(τ

)I

≤

I

≥

),

養(yǎng)老金計(jì)劃在計(jì)劃到期日

T

自然終止時(shí)，PBGC收取的保費(fèi)為：

p

=E

(e

-

S

(T)I

I

≥

)

。

在給出主要結(jié)果之前，先定義

和

D(t,x,y)=xB

e

--+

yA

e

。

定理

1 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率大于公司債務(wù)增長(zhǎng)率時(shí)

(r>v)

，PBGC保險(xiǎn)的保費(fèi)

p

如下所示：

p=p

+

p

+

p

+

p

=

證明

根據(jù)式

(

17

)

可以得出

p

=E

[e

-

S

(τ

)I

≤

I

]=E

[e

-

(B

e

---

X

-

(ξ

-

θ)A

e

)

×

I

---≥-×

I

----

I

≤

I

]

。

為了讓上式取非零值，上述示性函數(shù)中的所有事件都必須發(fā)生。

當(dāng)事件

{ηB

e

--

<X

}

和

{X

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

同時(shí)發(fā)生，則有

ηB

e

--

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

，

從而得出

(r

-

v)τ

>lnC(r)

。結(jié)合

τ

≤

T

和

r>v

，可得

τ

的區(qū)間為

顯然，必須滿足約束條件

事件

{ηB

e

--

<X

}

和

{X

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

同時(shí)發(fā)生等價(jià)于

ηB

e

--

<X

e

1

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

。把上式先除以

X

,

然后兩邊取自然對(duì)數(shù)得到

Z

1的定義域。

否則

p

=

0。根據(jù)式

(

18

)

計(jì)算

p

，

p

=E

[e

-

S

(T)I

I

]=E

[e

-

(B

-

X

-

(A

-

θA

e

))

×

I

-≥-

I

I

I

I

]

。

上式取非零值，必須滿足

B

-

ηB

>B

-

X

>A

-

θA

e

≥

ξA

e

-

θA

e

,

這意味著

C(v)

必須小于1。

由

ηB

<X

=X

e

1

<B

+

θA

e

-

A

≤

B

-

(ξ

-

θ)A

e

,

和

ξA

e

<A

=A

e

2

<B

-

X

+

θA

e

，可得

Z

1和

Z

2的定義域?yàn)?p>

因此，如果

C(v)<

1，則

(D(T,

1

,θ)

-

X

e

-

A

e

)f(z

,z

,T)g(t

,t

)dz

dz

dt

dt

，否則

p

=

0。遵循同樣的想法，可以推導(dǎo)出

p

的表達(dá)式。如果

C(v)<

1，則

(D(T,

1

,θ)

-

X

e

-

A

e

)f(z

,z

,T)g(t

,t

)dz

dz

dt

dt

，否則

p

=

0。

p

=E

[e

-

S

(τ

)I

≤

I

≤

]=E

[e

-

((

1-

η)B

e

---

(A

-

θA

e

))

×

I

1----

I

I

≤

I

]

。

p

的計(jì)算和

p

相似，為了讓上式取非零值，下列不等式必須成立：

(

1-

η)B

e

--

>A

-

θA

e

>(ξ

-

θ)A

e

。

由此得出

(ξ

-

θ)A

e

<(

1-

η)B

e

--。因?yàn)?p>r>v

且

τ

≤

T,

可以得出約束條件

C(r)<

1和

(r

-

v)τ

>lnC(r),

即

所以，如果

C(r)<

1，則

否則

p

=

0。因?yàn)?p>r>v

，所以

C(r)>C(v)

。結(jié)合所有情況，就得出了結(jié)果。

定理

2 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率等于公司債務(wù)增長(zhǎng)率時(shí)

(r=v)

，PBGC保險(xiǎn)的保費(fèi)

p

如下所示：①如果

C(r)=C(v)<

1，則

p=p

+

p

+

p

+

p

=

②如果

C(r)=C(v)

≥1，則

p=

0。

定理

3 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率小于公司債務(wù)增長(zhǎng)率時(shí)

(r<v)

，PBGC保險(xiǎn)的保費(fèi)

p

如下所示：①如果

C(v)<

1，則

p=p

+

p

+

p

+

p

=

②如果

C(v)

≥1且

C(r)<

1，則

p=p

+

p

=

③如果

C(v)

≥1，則

p=

0。

證明類(lèi)似于定理1。

4 數(shù)值模擬與分析

圖1 基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)p與隨機(jī)通脹波動(dòng)率σt的關(guān)系圖 圖2 基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)p與養(yǎng)老基金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例的關(guān)系圖

5 結(jié)論

研究在隨機(jī)通貨膨脹條件得到由PBGC為基于提前和遇險(xiǎn)終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供擔(dān)保的保費(fèi)定價(jià)公式，并進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，隨機(jī)通脹的加入使得保費(fèi)增加了。雖然這一結(jié)果給計(jì)劃發(fā)起人增加了負(fù)擔(dān)，需要支付更多的保費(fèi)給PBGC，但是卻降低了PBGC所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。并且通貨膨脹因素在現(xiàn)實(shí)中是實(shí)際存在的，增加通貨膨脹因素大大降低了結(jié)果的誤差。因?yàn)橐郧暗难芯繘](méi)有考慮到通貨膨脹，所以前期研究的結(jié)果讓PBGC實(shí)際操作過(guò)程中缺少了靈活性。而此處研究結(jié)果是在通貨膨脹條件下得出的，更符合實(shí)際情況，也更容易被PBGC接受。

研究主要的貢獻(xiàn)是在同時(shí)考慮提前終止和遇險(xiǎn)終止的情況下增加隨機(jī)通脹因素來(lái)對(duì)PBGC收取的保費(fèi)進(jìn)行建模。此外，模型還可以在其他一些方面進(jìn)行拓展，比如，將固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率改進(jìn)為隨機(jī)利率。