線性代數(shù)課程的若干教學(xué)案例

黃逸飛 郭述鋒

摘 要 線性代數(shù)課程是工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，隨著計(jì)算軟件的發(fā)展，線性代數(shù)課程在實(shí)際應(yīng)用中越來(lái)越重要，傳統(tǒng)的教學(xué)方式難于滿足學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的需要。文章以應(yīng)用型本科高校的工科專業(yè)為例，對(duì)線性代數(shù)課程融入教學(xué)案例進(jìn)行了探討，針對(duì)行列式、矩陣、線性方程組的求解、矩陣特征值與特征向量、二次型等重要知識(shí)點(diǎn)，給出了相關(guān)教學(xué)案例，并探討了如何將案例自然地融入教學(xué)過(guò)程中。

關(guān)鍵詞 代數(shù)課程 教學(xué)案例

中圖分類號(hào)：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.057

Some Teaching Cases of Linear Algebra

HUANG Yifei， GUO Shufeng

（School of Science， Guilin University of Aerospace Technology， Guilin， Guangxi 541004）

Abstract Linear algebra course is an important basic course for engineering majors. With the development of computing software， linear algebra course is more and more important in practical application. Traditional teaching methods are difficult to meet the needs of students' subsequent professional courses. Taking the engineering specialty of application-oriented universities as an example， this paper discusses the integration of linear algebra into teaching cases. According to the determinant， matrix， the solution of linear equations， matrix eigenvalue and eigenvector， quadratic form and other important knowledge points， it gives the relevant teaching cases， and discusses how to integrate the cases into the teaching process naturally.

Keywords Algebra course; teaching cases

0 引言

隨著人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)課程已經(jīng)成為大學(xué)基礎(chǔ)課程中的一門網(wǎng)紅課，其作用和地位更加突出。傳統(tǒng)的教學(xué)模式以單一的傳授知識(shí)為主，而線性代數(shù)內(nèi)容比較抽象，概念多，符號(hào)多，對(duì)應(yīng)用型本科專業(yè)的學(xué)生來(lái)講感覺(jué)比較枯燥，學(xué)習(xí)效果不好。在教學(xué)中，融入合適的案例，通過(guò)建立模型，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是提高教學(xué)效果的一個(gè)好方法。

1 教學(xué)案例

1.1 行列式的教學(xué)案例

一般的線性代數(shù)教材中，行列式是第一個(gè)概念，這個(gè)概念的定義比較抽象，煩瑣，學(xué)生往往不知道定義一個(gè)如此復(fù)雜而奇怪的概念有什么用，可以用案例讓學(xué)生體會(huì)這個(gè)工具對(duì)計(jì)算的便利。

案例1：用2階行列式表示平行四邊形的面積和3階行列式表示平行六面體的體積：2階行列式的絕對(duì)值等于平面上以、（）兩向量為臨邊的平行四邊形的面積，3階行列式的絕對(duì)值等于以為臨邊的平行六面體的體積。

在教學(xué)過(guò)程中對(duì)2階行列式的應(yīng)用可略證，首先（）、（）兩個(gè)向量構(gòu)成的矩形顯然成立，其次一般的2階行列式化成對(duì)角型的行列式就可以了，在這個(gè)過(guò)程中絕對(duì)值保持不變，主要理由可利用圖1就可以講清楚了。

至于3階行列式的應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)中三個(gè)向量的混合積，如果有些高等數(shù)學(xué)教材沒(méi)有涉及，也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)明。

案例2：克萊姆法則是行列式的一個(gè)漂亮的應(yīng)用，該法則利用行列式解決了一類線性方程組的求解問(wèn)題，并且得到了一個(gè)程序化的優(yōu)美公式，課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生思考，以解決問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提煉問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)思維方式。

1.2 矩陣的教學(xué)案例

矩陣是線性代數(shù)課程的核心工具，在各種科技論文和應(yīng)用中，均有矩陣的影子，所以說(shuō)矩陣的應(yīng)用是非常廣泛的。

案例1：利用可逆矩陣設(shè)置密碼

將字母和數(shù)字建立對(duì)應(yīng)規(guī)則，常見(jiàn)的可以將26個(gè)字母和1到26這26個(gè)數(shù)字建立一一對(duì)應(yīng)來(lái)進(jìn)行編碼，也可以用ASCII進(jìn)行編碼，也可以用其他的形式來(lái)編碼，比如用偶數(shù)來(lái)編碼，即：

對(duì)“GUI LIN SHAN SHUI JIA TIAN XIA”進(jìn)行編碼，對(duì)應(yīng)的向量為：（14，42，18，24，18，28，38，16，2，28，38，16，42，18，20，18，2，40，18，2，28，48，18，2），對(duì)這24個(gè)變量，利用一個(gè)6行4列的矩陣來(lái)存儲(chǔ)：

原信息矩陣：，

設(shè)置加密矩陣

用得到加密信息矩陣，

需要解密的時(shí)候，用就可以得到原信息矩陣了，C的可逆矩陣通過(guò)計(jì)算軟件可以算出。

該案例教學(xué)過(guò)程中要選矩陣要選有意義的矩陣，融入課程思政元素，比如需要加密的信息選了“桂林山水甲天下”，加密矩陣選的數(shù)字也是具有紀(jì)念意義的。1921是中國(guó)共產(chǎn)黨成立的年份，2021年將是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，引導(dǎo)出“兩個(gè)一百年的奮斗目標(biāo)”這一課程元素;0773是桂林的區(qū)號(hào)，桂林航天工業(yè)學(xué)院坐落在風(fēng)景優(yōu)美的桂林，引導(dǎo)出“愛(ài)國(guó)愛(ài)家愛(ài)桂林，講德講孝講文明”的課程思政元素;1979是桂林航天工業(yè)學(xué)院成立之年，2012是桂林航天工業(yè)學(xué)院升格為本科院校的年份，這些具有特殊意義的數(shù)字融入課堂，增加學(xué)生的愛(ài)國(guó)、愛(ài)家、愛(ài)校的情懷。

在該案例教學(xué)中，一定要用到Matlab軟件，經(jīng)過(guò)矩陣運(yùn)算的學(xué)習(xí)，同學(xué)們肯定知道這些復(fù)雜的數(shù)字如果用筆來(lái)計(jì)算，那是很煩瑣的，用計(jì)算軟件，輸入以后，一兩行命令，只要一回車就出結(jié)果了，讓學(xué)生體會(huì)科學(xué)計(jì)算的魅力。

在該案例教學(xué)中，可以進(jìn)一步設(shè)問(wèn)，編碼的方式是不是唯一？還有什么其他的形式？如果是中文，能不能也可以用來(lái)編碼呢？比如我們可以選一本文字比較多的書(shū)，一個(gè)中文字可以對(duì)應(yīng)一個(gè)3維的向量，第一個(gè)變量是該字在書(shū)中的頁(yè)碼，第二個(gè)變量是該字在這一頁(yè)的行數(shù)，第三個(gè)變量是該字在這一行中的第幾個(gè)，這樣一個(gè)中文字就對(duì)應(yīng)了一個(gè)3維變量，選一個(gè)相應(yīng)階數(shù)的可逆矩陣作為加密矩陣，就可以做一套編碼系統(tǒng)了。這個(gè)編碼系統(tǒng)有點(diǎn)類似于電視劇《潛伏》中的橋段，學(xué)生比較有共鳴。這個(gè)題目教師稍微點(diǎn)撥，可以留給學(xué)生作為一個(gè)課外作業(yè)。

1.3 線性方程組的案例

線性方程組的應(yīng)用范圍包括自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的方方面面，具體應(yīng)用中往往變量和方程都比較多，比如哈佛大學(xué)教授Wassily Leontief將美國(guó)經(jīng)濟(jì)分解為500個(gè)部門，列出了一個(gè)包含500個(gè)方程和500個(gè)未知數(shù)的線性方程組，當(dāng)初非常困難的解出了這個(gè)線性方程組，并于1973年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在解大規(guī)模線性方程組有了很大的進(jìn)步，從而促使了線性方程組的應(yīng)用具有廣泛性。在課堂教學(xué)中，受學(xué)時(shí)和學(xué)情等限制，不可能來(lái)解大規(guī)模的線性方程組，但我們可以通過(guò)加工案例，將這種建模的思想傳遞給學(xué)生。這方面的案例很多，比如著名的“投入-產(chǎn)出”模型，化學(xué)方程式的配平，電路中的電流，城市規(guī)劃和道路規(guī)劃模型。

案例1：圖2是某地的公路交通網(wǎng)絡(luò)的流量圖，假設(shè)所有道路都是按箭頭單向行駛的，路上不能停車，數(shù)字表示每小時(shí)進(jìn)出的交通網(wǎng)的車輛數(shù)，在這一個(gè)小時(shí)中有2300輛車進(jìn)入交通網(wǎng)絡(luò)中，求出圖中各路段的車流量。

考慮通過(guò)A，B，C，D，E五個(gè)結(jié)點(diǎn)的車流量，流進(jìn)結(jié)點(diǎn)的車輛等于流出結(jié)點(diǎn)的車流量，可以得到以下線性方程：

解得該線性方程組

是自由未知量

這個(gè)解不是流量的全部解，需要滿足1，2，3，4，5，6，交通警察可以該方程組解的情況進(jìn)行調(diào)度，比如值過(guò)大，可以考慮改變x6所在線路的方向，避免出現(xiàn)堵車現(xiàn)象。

1.4 矩陣的特征值與特征向量的案例

馬爾科夫鏈在許多學(xué)科如化學(xué)、商業(yè)、工程、生物、物理等學(xué)科都有應(yīng)用，主要描述現(xiàn)狀態(tài)數(shù)據(jù)依賴上一個(gè)狀態(tài)的數(shù)據(jù)。

案例1 某地的城市與郊區(qū)之間人口有互相移動(dòng)，每年有5%的農(nóng)村人口流動(dòng)到城市，有3%的城市人口流動(dòng)到郊區(qū)，2019年該城市人口為40萬(wàn)，郊區(qū)人口60萬(wàn)，求2020年該地城市人口和農(nóng)村人口數(shù)量，2021年？2022年？………

構(gòu)造一個(gè)人口流動(dòng)矩陣，其中0.95表示農(nóng)村95%的人口留在農(nóng)村，0.03表示從城市流出3%人口到農(nóng)村，0.05表示從農(nóng)村流出5%人口到城市，0.97表示城市97%的人口留在城市。為了便于計(jì)算，假設(shè)2019年城市人口占40%，農(nóng)村人口占60%，表示經(jīng)過(guò)年農(nóng)村人口占的比例，表示經(jīng)過(guò)年城市人口占的比例，設(shè)：，2020年農(nóng)村人口是58.2萬(wàn)，城市人口是41.8萬(wàn)，2021年：，2021年農(nóng)村人口是56.5萬(wàn)，城市人口是43.5萬(wàn)，類似的辦法，可以求出后面每一年的人口比例。

再分析：

，要求n年過(guò)后該地人口的比例，關(guān)鍵在求出矩陣A的n次方?？梢酝ㄟ^(guò)求出矩陣A的特征值和特征向量，通過(guò)將矩陣A對(duì)角化來(lái)處理。

1.5 二次型的應(yīng)用案例

案例1：（瑞利原理）元二次型在限制條件下，該二次型的最大值等于矩陣A的最大特征值，最小值等于矩陣A的最小特征值，并且取到最值時(shí)等于該特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量。

例：已知，求，使得二次型取得最大值？

在高等數(shù)學(xué)中，介紹了一元函數(shù)的和二元函數(shù)求極值的方法，但對(duì)于三元函數(shù)，教材并未提到，雖然構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，通過(guò)條件極值可以完成部分，但也只是求出可能是極值點(diǎn)，并沒(méi)有一個(gè)進(jìn)一步判斷的條件。

案例2：對(duì)n元函數(shù)，假設(shè)的某個(gè)領(lǐng)域具有一、二階連續(xù)偏導(dǎo)，構(gòu)造Hessian矩陣：

，

顯然該矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，求n元函數(shù)的極值分三步，第一步：求解由全部一階偏導(dǎo)等于零組成的方程組，得出駐點(diǎn);第二步：將駐點(diǎn)代入Hessian矩陣，得出一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值矩陣;第三步：判斷該數(shù)值矩陣的正定性：如果是正定矩陣，那么就是極小值點(diǎn)，就是極小值;如果是負(fù)定矩陣，那么就是極大值點(diǎn)，就是極大值;如果是不定矩陣，那么就不是極值點(diǎn)，就不是極值。

例：求四元函數(shù)的極值。

2 結(jié)論

本文列舉的線性代數(shù)課程教學(xué)中的案例，適用于應(yīng)用型本科高校的課堂教學(xué)，這些案例能反映線性代數(shù)課程應(yīng)用的廣泛性。由于線性代數(shù)普遍學(xué)時(shí)少，所以在教學(xué)中要把這些案例用多媒體教學(xué)，計(jì)算要用Matlab等計(jì)算軟件實(shí)現(xiàn)。

基金項(xiàng)目：桂林航天工業(yè)學(xué)院2018年度教學(xué)改革研究項(xiàng)目基金資助（項(xiàng)目編號(hào)：2018JB12）;廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目一般項(xiàng)目A類基金資助（項(xiàng)目編號(hào)：2019JGA334）

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