均布載荷作用下膠接懸臂梁的靜態(tài)響應(yīng)分析

史文譜,王 浩,閆家正

(煙臺(tái)大學(xué)機(jī)電汽車工程學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

層合梁比單層梁有諸多好處,比如剛度強(qiáng)化、受力穩(wěn)定、力學(xué)性能優(yōu)化、降低應(yīng)力集中和減少不必要的附重等[1],因而廣泛應(yīng)用于路橋工程、吊裝碼頭、微納米機(jī)電系統(tǒng)[2]等許多場合。在材料力學(xué)教程[3]中,對(duì)界面不滑移理想結(jié)合組合梁問題已有討論;在假設(shè)疊合梁間光滑接觸情形下,謝麗君[4]討論了簡支疊合梁的撓度計(jì)算問題;談至明[5]則利用Goodman假設(shè)研究了Winkler彈性地基上雙層疊合梁的計(jì)算問題,給出了解析解;趙亮等[6]利用廣義哈密頓原理、有限元法和Newmark迭代法研究了雙層疊合梁上存在移動(dòng)質(zhì)量時(shí)的振動(dòng)特性問題;揭敏在文獻(xiàn)[7]中討論了密實(shí)非膠接自由接觸梁的計(jì)算問題;唐曉雯等[8]基于層合梁彎曲的Timoshenko理論和電測技術(shù)研究和測試了均布載荷作用下的簡支(雙金屬)層合梁的彎曲正應(yīng)力;羅威等[9]分析了膠接接頭可靠性的影響因素和研究進(jìn)展;陳征輝等[10]分析了膠層厚度、膠接真空度和膠接夾持距離等因素對(duì)交接強(qiáng)度的影響問題;羅威等[11]利用ANSYS軟件探討了膠粘劑彈性模量對(duì)膠接接頭的應(yīng)力分布的影響?？v觀列出和未列出的參考文獻(xiàn)看,有關(guān)膠接[1]懸臂梁在均布載荷作用下的變形計(jì)算和剪切應(yīng)力分析的問題還未見有論文發(fā)表,對(duì)此,本文基于線彈性變形和材料力學(xué)假設(shè)進(jìn)行了理論研究,給出了膠接梁的撓度、上下梁的軸向位移以及膠層內(nèi)剪切應(yīng)力隨不同E2/E1時(shí)的變化情況,數(shù)值算例結(jié)果表明膠層內(nèi)最大剪切應(yīng)力靠近梁的固定端一側(cè),且梁的撓度大小和軸向位移大小以及膠層剪切應(yīng)力大小的變化曲線都隨E2/E1的增大呈下降趨勢(shì)。

1 問題模型和分析

圖1是膠接組合懸臂梁,分上梁、膠層和下梁三部分,梁長為L,梁的寬度為b,膠層厚度為δ,上下梁高度分為h1,h2;楊氏模量分別為E1,E2;膠層剪切模量為G。梁的左端固定,右端自由,下梁承受向上的均布載荷作用,線密度為q,建立圖示3個(gè)坐標(biāo)系oxw、o1z1y和o2z2y;o1、o2分別是上下梁截面的形心點(diǎn)。假設(shè)梁變形和膠層剪切變形是線彈性的,上下梁變形的平面假設(shè)成立。

圖1 純彎矩作用下的膠接組合懸臂梁

假設(shè)上下梁截面形心線撓度分別為w1(x),w2(x),形心線上點(diǎn)的軸向位移分別為u10(x,y),u20(x,y);上下梁截面上任意點(diǎn)的軸向位移分別為u1(x,y),u2(x,y)。由于膠合梁的上下梁在變形過程中始終沒有分離,故根據(jù)材料力學(xué)知,在小變形假設(shè)下,上下梁在同一截面上各點(diǎn)的撓度是一樣的,并統(tǒng)一假設(shè)為w(x),即

w1(x)=w2(x)=w(x),

(1)

由梁變形的平面假設(shè)知,膠合梁任意截面x處上梁截面y1處和下梁截面y2處點(diǎn)的軸向位移u1,u2可分別表示為

(2)

其中:w′(x)表示撓度w(x)關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù);y1,y2分別是上下梁截面上計(jì)算位移的點(diǎn)離其中性軸的距離。

與位移u1,u2分別對(duì)應(yīng)的線應(yīng)變?chǔ)?,ε2可寫為

(3)

其中,w″(x)是撓度w(x)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)。

膠層很薄,其角變形假設(shè)為線彈性的,從幾何關(guān)系上,其剪切應(yīng)變?chǔ)脼?/p>

(4)

由問題的本構(gòu)方程(胡克定律)有

(5)

假設(shè)上下梁任意截面x處的軸向力和內(nèi)力矩分別為(FN1,M1)和(FN2,M2),則它們可表示為

(6)

其中:S1,S2分別是上下梁橫截面面積;J1,J2分別是上下梁截面關(guān)于其各自中性軸z1,z2的截面慣性矩。

從上下梁上分別截取微元體進(jìn)行受力分析如圖2所示,容易推出軸向力FN1,FN2與剪應(yīng)力τ之間滿足如下方程組

圖2 上下梁微元體受力分析

(7)

由合力矩定理,對(duì)膠合梁截面的分界線取矩(忽略膠層的厚度)可得組合梁整體截面上的總內(nèi)力矩M(x)為

M=M1+M2-h1FN1/2+h2FN2/2,

(8)

其中,M是任意截面上的總內(nèi)力矩。

綜合考慮式(5)—(8)可得位移函數(shù)u10,u20,撓度w(x)和內(nèi)力矩M(x)滿足的微分方程組如下所示

另外,根據(jù)內(nèi)力矩M(x)與分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系d2M(x)/dx2=q(x),對(duì)式(9)中的第三個(gè)方程兩邊關(guān)于x連續(xù)微分2次得

(10)

由式(9)容易得到

(11)

將(11)式兩邊關(guān)于x微分一次得

(12)

將式(12)代入式(10)中整理得

對(duì)式(9)中的第一個(gè)方程關(guān)于x連續(xù)微分3次有

(14)

其中,w(4)是撓度函數(shù)w(x)關(guān)于x的四階導(dǎo)數(shù)。

將式(12)和式(13)代入式(14)中整理得

(15)

d2f/dx2-β2f=Q,

(16)

方程(16)的解為

f(x)=Ach(βx)+Bsh(βx)-Qβ-2,

即

(17)

連續(xù)對(duì)方程(17)關(guān)于x積分3次有

u10(x)=β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]-

(18)

其中,A,B,A1,A2,A3是待定積分常數(shù)。

u20(x)=-χ{β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]-

(19)

其中:A4,A5是積分常數(shù),χ=E1S1/(E2S2)。

將式(17)代入方程(13)中有

(20)

方程(20)的解為

w(x)=ζβ-4[Ach(βx)+Bsh(βx)]+

(21)

問題的邊界條件為

(22)

將式(18)、式(19)和式(21)代入式(22),可得如下方程組

(23)

另外,由于膠接梁任意截面x處的總內(nèi)力矩為M(x)=(L-x)2q/2,將該結(jié)果代入式(9)中的第三個(gè)方程有

(L-x)2q/2,

(24)

將式(18)、式(19)和式(21)代入方程(24)中,通過x的次冪同類項(xiàng)比較,可得如下待定系數(shù)方程組

(25)

最后,對(duì)于膠接梁任意截面x處,位移函數(shù)u10(x),u20(x),w(x)還應(yīng)滿足式(9)中的第一個(gè)方程,同樣利用x的次冪同類項(xiàng)比較,可得待定系數(shù)方程組

(26)

聯(lián)合求解方程組(23)、(25)和(26)得到待定系數(shù)A,B,Aj(j=1,2,…,9)結(jié)果如下

(27)

將式(27)代入下列方程組(28)就最終確定了軸向位移u10(x),u20(x)、撓度w(x)和剪切應(yīng)力τ(x)的具體表達(dá)式

(28)

2 算例與分析

假設(shè)L=0.9 m,b=0.055 m,h1=0.065 m,h2=0.085 m,E1=2.0×109N/m2,E2/E1=0.5,1.5,2.5,3.5,膠層厚度δ=0.000 2 m,剪切模量G=2.5×107N/m2,q=200 N。計(jì)算結(jié)果給出了在其他條件不變的情形下,梁撓度w(x)、膠層剪切應(yīng)力τ(x)和上下梁形心線上點(diǎn)的位移u10(x),u20(x)隨梁不同材質(zhì)E2/E1比和截面位置x的變化情況,如圖3—6所示。從圖3看出,膠接梁撓度w(x)隨E2/E1的增大呈遞減變化,但又隨著x的增大而增大,這符合懸臂梁變形的特點(diǎn);從圖4看出,在這4種材質(zhì)組合下,膠接梁膠層內(nèi)的剪切應(yīng)力τ(x)呈現(xiàn)相似規(guī)律變化,即都有一個(gè)明顯的峰值,位于[0.041,0.065]m之間,而在該峰值前后大體呈現(xiàn)直線規(guī)律變化,并且在x=L處為零,這是符合膠接梁在該處無剪切應(yīng)力的邊界條件的;此外,隨著E2/E1比的增大,該峰值呈下降趨勢(shì)。從圖5和圖6看出,隨著E2/E1比的增大,上下梁形心線上點(diǎn)的位移值呈減少趨勢(shì),但對(duì)一定材質(zhì)組合來說,它們的絕對(duì)值又隨著截面位置參數(shù)x的增大而增加;另外,圖5說明了上梁形心線發(fā)生壓縮變形,懸垂端變形最大;圖6說明下梁形心線發(fā)生了拉伸變形,懸垂端拉伸變形最大。圖7說明了當(dāng)膠層厚度為δ=0.000 2 m時(shí),膠層界面剪切應(yīng)力的變化情形,剪切應(yīng)力峰值更偏向梁的固定端。

圖3 膠接梁撓度隨不同材質(zhì)組合和截面位置的變化

圖4 膠層剪切應(yīng)力隨不同材質(zhì)組合和截面位置的變化

圖5 上梁形心線軸向變形隨不同材質(zhì)組合和截面位置的變化

圖6 下梁形心線軸向變形隨不同材質(zhì)組合和截面位置的變化

圖7 膠層厚度為時(shí)其邊界剪切應(yīng)力隨不同材質(zhì)組合和截面位置的變化

3 結(jié)束語

根據(jù)上述理論分析和算例結(jié)果可得如下結(jié)論:

(1)對(duì)不同材質(zhì)膠接成的組合懸臂梁,在均布載荷作用下,膠層內(nèi)的剪切應(yīng)力不為零,在靠近梁的固定端附近的一定范圍內(nèi)剪切應(yīng)力較大,增加也比較快,是容易發(fā)生剪切破壞的地方。

(2)隨著下梁與上梁楊氏模量比E2/E1的增大,膠接梁的撓度逐步減少,但梁的撓度沿著梁的長度方向卻總是單調(diào)增加的,這與懸臂梁的變形特點(diǎn)吻合。

(3)對(duì)于膠接梁來說,在其下梁受到均布載荷作用時(shí),上梁形心線承受壓縮;下梁形心線承受拉伸。

(4)從計(jì)算結(jié)果看,在本文受載條件下,上下梁楊氏模量比越小,膠合梁的強(qiáng)度和剛度性能就越好,這是采用膠合工藝的重要原因之一。