二維函數(shù)光子晶體不同函數(shù)形式對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)控

張斯淇, 李 宏, 李美萱, 劉小涵

(吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 量子信息技術(shù)交叉學(xué)科研究院, 吉林省量子信息技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春 130052)

光子晶體[1-2]是多種介電常數(shù)在空間呈周期性變化的人工微結(jié)構(gòu). 利用光子晶體的光子帶隙和光子局域等特性可控制光子運(yùn)動(dòng)[3-8]. 光子晶體產(chǎn)生的物理效應(yīng)可用于設(shè)計(jì)光子晶體器件, 如濾光器、 光開關(guān)、 激光器、 光纖及微腔等[9-12]. 文獻(xiàn)[13-14]研究表明, 光子帶隙帶寬與光子晶體器件性能成正比, 帶寬越寬應(yīng)用價(jià)值越大. 可通過降低光子晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性得到較寬的光子禁帶[15-16], 如改變散射子形狀及晶格結(jié)構(gòu)[17]、 采用復(fù)合式結(jié)構(gòu)[18]或用各向異性介質(zhì)材料代替各向同性材料[19]等方法. 但在實(shí)際中實(shí)現(xiàn)這些方法均存在困難, 如采用復(fù)合式結(jié)構(gòu)方法會(huì)使光子晶體的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜, 且不適合工藝制造. 文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一種二維函數(shù)光子晶體, 可通過對(duì)介質(zhì)柱施加電場(chǎng)、 光場(chǎng)和磁場(chǎng)[21]改變其折射率. 在此基礎(chǔ)上, 本文利用平面波展開法研究二維函數(shù)光子晶體介質(zhì)柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式對(duì)橫電(TE)波和橫磁(TM)波帶結(jié)構(gòu)的影響. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明： 二維函數(shù)光子晶體比二維常規(guī)光子晶體的帶隙更寬； 通過變換介質(zhì)柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式可使二維函數(shù)光子晶體帶隙的個(gè)數(shù)、 位置及寬度均發(fā)生變化, 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)二維函數(shù)光子晶體帶隙的調(diào)節(jié). 二維函數(shù)光子晶體易于調(diào)節(jié)且可重復(fù)使用, 僅需改變光強(qiáng)分布即可得到所需的帶隙結(jié)構(gòu).

1 二維函數(shù)光子晶體

對(duì)于二維函數(shù)光子晶體, 介質(zhì)柱的介電常數(shù)為εa(r), 介質(zhì)柱位于介電常數(shù)εb的背景中. 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換[20]表達(dá)式為

(1)

二維常規(guī)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換表達(dá)式為

(2)

當(dāng)方程(1)中的εa(r)=εa(εa為常數(shù))時(shí), 方程(1)即變換為方程(2)的形式. 二維光子晶體TM波和TE波特征方程分別為

(3)

(4)

二維函數(shù)光子晶體可通過Kerr效應(yīng)或電光效應(yīng)制備[19]. 考慮Kerr效應(yīng), 其介質(zhì)柱的介電常數(shù)為

(5)

(6)

不同光強(qiáng)分布可得到不同介質(zhì)柱介電常數(shù)的線性函數(shù)形式. 當(dāng)光強(qiáng)分布為I=I0r(I0為光強(qiáng)振幅)時(shí), 方程(6)變?yōu)?/p>

(7)

(8)

(9)

(10)

利用平面波展開法, 由方程(1),(3)，(4)計(jì)算二維函數(shù)光子晶體TE波和TM波的帶隙結(jié)構(gòu), 由方程(2)～(4)計(jì)算二維常規(guī)光子晶體TE波和TM波的帶隙結(jié)構(gòu).

2 數(shù)值分析

圖1 二維三角晶格光子晶體

下面分別研究介質(zhì)柱型二維三角晶格常規(guī)和函數(shù)光子晶體的帶結(jié)構(gòu), 其三角晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示. 二維三角晶格常規(guī)光子晶體TE波和TM波的帶結(jié)構(gòu)如圖2所示, 其中歸一化頻率為縱坐標(biāo), 波矢為橫坐標(biāo). 其結(jié)構(gòu)參數(shù)為： 空氣的介電常數(shù)εb=1, 介質(zhì)柱材料的介電常數(shù)εa=12.96, 介質(zhì)柱半徑ra=0.3a(晶格常數(shù)a=10-6m). 由圖2(A)可見, 當(dāng)頻率為0～0.8時(shí), 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.217～0.319, 帶寬Δω=0.102; 第二條禁帶的頻率為0.413～0.532, 帶寬Δω=0.119; 第三條禁帶的頻率為0.635～0.749, 帶寬Δω=0.114. 由圖2(B)可見, 在TM波的帶隙中出現(xiàn)2條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.349～0.384, 帶寬Δω=0.035; 第二條禁帶的頻率為0.431～0.496, 帶寬Δω=0.065. 當(dāng)光波頻率處于禁帶位置時(shí), 光波無法通過光子晶體, 但在其他波段可以通過光波, 從而實(shí)現(xiàn)了選頻作用. 當(dāng)頻率為0.431～0.496時(shí), TE波和TM波的帶隙發(fā)生重疊, 即絕對(duì)禁帶. 頻率處于重疊波段的光在各方向均不能通過, 從而加強(qiáng)了光子晶體控光的能力.

圖2 二維三角晶格常規(guī)光子晶體的帶結(jié)構(gòu)

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)如圖3所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質(zhì)柱半徑ra=0.3a. 由圖3(A)可見, 當(dāng)頻率為0～0.8時(shí), 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.198～0.293, 帶寬Δω=0.095; 第二條禁帶的頻率為0.373～0.495, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.59～0.69, 帶寬Δω=0.1; 第四條禁帶的頻率為0.714～0.724, 帶寬Δω=0.01. 由圖3(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.321～0.369, 帶寬Δω=0.048; 第二條禁帶的頻率為0.421～0.476, 帶寬Δω=0.055; 第三條禁帶的頻率為0.711～0.72, 帶寬Δω=0.009. 當(dāng)頻率為0.421～0.476和0.714～0.72時(shí), 帶隙中出現(xiàn)2條絕對(duì)禁帶.

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r2+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)如圖4所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×1013,b=12.96,εb=1, 介質(zhì)柱半徑ra=0.3a. 由圖4(A)可見, 當(dāng)頻率為0～0.8時(shí), 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.212～0.311, 帶寬Δω=0.099; 第二條禁帶的頻率為0.403～0.525, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.624～0.74, 帶寬Δω=0.116. 由圖4(B)可見, 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.341～0.382, 帶寬Δω=0.041; 第二條禁帶的頻率為0.427～0.493, 帶寬Δω=0.066; 第三條禁帶的頻率為0.729～0.733, 帶寬Δω=0.004. 當(dāng)頻率為0.427～0.493和0.729～0.733時(shí), 帶隙中出現(xiàn)2條絕對(duì)禁帶.

圖3 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)

圖4 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r2+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·(r+d)-1+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)如圖5所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×10-5,b=12.96,d=10-6,εb=1, 介質(zhì)柱半徑ra=0.3a. 由圖5(A)可見, 當(dāng)頻率為0～0.8時(shí), 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.154～0.238, 帶寬Δω=0.084; 第二條禁帶的頻率為0.298～0.396, 帶寬Δω=0.098; 第三條禁帶的頻率為0.452～0.559, 帶寬Δω=0.107; 第四條禁帶的頻率為0.622～0.698, 帶寬Δω=0.076. 由圖5(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.259～0.293, 帶寬Δω=0.034; 第二條禁帶的頻率為0.376～0.395, 帶寬Δω=0.019; 第三條禁帶的頻率為0.495～0.524, 帶寬Δω=0.029; 第四條禁帶的頻率為0.563～0.574, 帶寬Δω=0.011. 當(dāng)頻率為0.376～0.395和0.495～0.524時(shí), 帶隙中出現(xiàn)2條絕對(duì)禁帶.

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k1·r2+k2·r+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)如圖6所示, 其中函數(shù)系數(shù)k1=1.6×1013,k2=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質(zhì)柱半徑ra=0.3a. 由圖6(A)可見, 當(dāng)頻率為0～0.8時(shí), 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.196～0.286, 帶寬Δω=0.09； 第二條禁帶的頻率為0.368～0.486, 帶寬Δω=0.118； 第三條禁帶的頻率為0.584～0.673, 帶寬Δω=0.089； 第四條禁帶的頻率為0.698～0.714, 帶寬Δω=0.016. 由圖6(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.314～0.363, 帶寬Δω=0.049; 第二條禁帶的頻率為0.417～0.471, 帶寬Δω=0.054; 第三條禁帶的頻率為0.7～0.71, 帶寬Δω=0.01. 當(dāng)頻率為0.417～0.471和0.7～0.71時(shí), 帶隙中出現(xiàn)2條絕對(duì)禁帶.

圖5 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·(r+d)-1+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)

圖6 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k1·r2+k2·r+b時(shí)的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)

二維函數(shù)光子晶體不同線性函數(shù)形式對(duì)應(yīng)TE波和TM波帶隙數(shù)目列于表1, 二維常規(guī)和函數(shù)光子晶體對(duì)應(yīng)TE波和TM波的帶隙位置和帶寬列于表2. 由表1和表2可見, 在歸一化頻率為0～0.8內(nèi), 二維常規(guī)光子晶體與二維函數(shù)光子晶體的帶隙個(gè)數(shù)、 位置及寬度均不相同, 介質(zhì)柱介電常數(shù)不同線性函數(shù)形式對(duì)應(yīng)的二維函數(shù)光子晶體比二維常規(guī)光子晶體的帶隙數(shù)目多, 位置發(fā)生改變, 且可得到較寬的帶隙. 二維常規(guī)光子晶體介質(zhì)柱的介電常數(shù)是常數(shù), 為均勻介質(zhì), 對(duì)稱性較高, 二維常規(guī)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)無法更改. 二維函數(shù)光子晶體介質(zhì)柱的介電常數(shù)是空間位置坐標(biāo)函數(shù), 為非均勻介質(zhì), 具有點(diǎn)群對(duì)稱性, 但平移對(duì)稱性降低, 從而整體對(duì)稱性降低. 由于二維函數(shù)光子晶體可通過光折變非線性光學(xué)效應(yīng)或電光效應(yīng)制備, 將所有介質(zhì)柱兩端并聯(lián), 同時(shí)加上外電壓, 其電壓隨時(shí)間變化為不同的函數(shù)形式, 介質(zhì)柱介電常數(shù)變化曲線發(fā)生改變, 導(dǎo)致相應(yīng)的帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生改變. 因此通過調(diào)節(jié)電壓, 可得到較寬的光子禁帶.

表1 二維函數(shù)光子晶體不同線性函數(shù)形式對(duì)應(yīng)TE波和TM波的帶隙數(shù)目

表2 二維常規(guī)和函數(shù)光子晶體對(duì)應(yīng)TE波和TM波的帶隙位置和帶寬

綜上, 本文用平面波展開法研究了二維函數(shù)光子晶體介質(zhì)柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式對(duì)TE波和TM波帶結(jié)構(gòu)的影響. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明: 與二維常規(guī)光子晶體相比, 二維函數(shù)光子晶體的帶隙數(shù)目較多, 帶隙位置發(fā)生移動(dòng)且可得到更寬的帶隙； 通過變換介質(zhì)柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式可使二維函數(shù)光子晶體的帶隙個(gè)數(shù)、 位置和寬度均發(fā)生變化, 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)二維函數(shù)光子晶體帶隙的調(diào)節(jié). 因此二維函數(shù)光子晶體不需重新制備, 可重復(fù)使用.